2018-2019学年福建省泉州市泉港区第一中学高二下学期期末考数学（理）试题 Word版

2018-2019学年福建省泉州市泉港区第一中学高二下学期期末考数学（理）试题 Word版

泉港一中 2018-2019 学年高二下学期数学期末试卷（理科) 试题满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、单选题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上） 1．已知 为虚数单位，复数 满足 ， 是复数 的共轭复数，则下列关于复数 的说法正确的是（ ） A． B． C． D．复数 在复平面内表示的点在第四象限 2．函数 在[1， ]上的平均变化率是( ) A．2 B．2x C． D． 3．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起 讨论。甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人 的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了。”请问下列说法正确的 是（ ） A．甲说对了 B．甲做对了 C．乙说对了 D．乙做对了 4．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么（ ） A． 是函数 的极小值点 B． 是函数 的极大值点 C． 是函数 的极大值点 D．函数 有两个极值点 5．形状如图所示的 2 个游戏盘中（图①是半径为 2 和 4 的两个同心圆， O 为圆心；图②是正六边形，点 P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动 2 个游戏盘后，将 它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这 2 个盘中的小球都停在阴影部分的概 率是（ ） i z (1 ) 2i z i− ⋅ = z z z 1 iz = − − 2z z⋅ = 2z = z A． B． C． D． 6．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量 x，y 之间关系最强的是（　　） A． B． C． D． 7．某科研单位准备把 7 名大学生分配到编号为 1，2，3 的三个实验室实习，若要求每个实验 室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（ ） A．280 B．455 C．355 D．350 8．设函数 的导函数为 ，若 是奇函数，则曲线 在点 处切 线的斜率为（ ） A． B．-1 C． D． 9．某同学将收集到的 6 组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标）， 并由这 6 组数据计算得到回归直线 :y=bx+a 和相关系数 ．现给出以下 3 个结论： ① ；②直线 恰过点 ；③ ．其中正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．已知随机变量 的分布列为（ ） 0 1 16 1 1 8 1 6 1 4 l r 0r > l D 1b > X X 若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 11．已知 ， 分别为双曲线 ： 的左，右焦点，点 是 右支上一 点，若 ，且 ，则 的离心率为（ ） A． B．4 C．5 D． 12．已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置) 13．若二项式 展开式的常数项为 ，则实数 的值为__________． 14．抛物线 C: 上一点 到其焦点的距离为 3，则抛物线 C 的方程为_______. 15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求得 ，类似上述过程，则 __________． 16．如图，在 中， ， 和 分别是边 和 上一点， ， 将 沿 折起到点 位置，则该四棱锥 体积的最大值为_______． P p 1 p− ( )0 13 pDX p= < < p 2 3 1 4 1 3 1 2 1F 2F C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > P C 1 2 0PF PF⋅ =  1 2 4cos 5PF F∠ = C 25 7 5 7 , (0, )2 πα β ∈ sin sin 0β α α β− > 2 πα β+ < 2 πα β+ = α β< α β> 2 2y px= 0(1, )y 11 11 1 + + + 11 xx + = 1 5 2x += 3 3+ + = Rt ABC∆ 1AB BC= = D E BC AC DE BC⊥ CDE∆ DE P P ABDE− 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．2018 年 11 月 21 日，意大利奢侈品牌“ ”在广告中涉嫌辱华，中国明星纷纷站出来 抵制该品牌，随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商品，当天有大量 网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了 100 名网友进行调查统计， 先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成 6 组：[0，10），[10， 20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中 留言不低于 40 条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这 100 名网友进一步统计得到 列联表的部分数据如表． （1）根据如图所示的频率分布直方图，求网友留言条数的中位数； （2）在答题卡上补全 列联表中数据； （3）判断能否有 的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？ 一般关注 强烈关注 合计 &D G 2 2× 95% 男 45 女 10 55 合计 100 参考公式及数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 18．已知椭圆 经过两点 , . (I)求椭圆 E 的方程； (II)若直线 交椭圆 E 于两个不同的点 A，B，O 是坐标原点，求△AOB 的面积 S． 19．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为棱 的 中点， ， ， . （1）证明： 平面 . （2）求二面角 的余弦值. 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad -bcK a+b c+d a+c b+d = 2 0P K K≥（ ） 0k P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD E PB 2PB = 1PD = 45BPC∠ = ° PC ⊥ ADE P AE D− − 20．设函数 ， . 求函数 的单调区间； 当 时，若函数 没有零点，求 的取值范围. 21．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村 地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也 逐年增加。为了更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地 扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收人并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，估计 50 位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组 数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入 服从正态分布 ，其中 近似 为年平均收入, 近似为样本方差 ，经计算得 .利用该正态分布，求: (i)在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 的农民的年收入高于扶 贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况, 扶贫办随机走访了 1000 位农民。 若每个农民的年收人相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千元的人数最有 可能是多少？ 附：参考数据与公式 ，若 ～ ，则① ；② ( ) ln 1f x x ax= − − a R∈ ( )1 ( )f x ( )2 0a > ( )f x a ；③ . 22．已知在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标是 . （1）求直线的极坐标方程及点 到直线的距离； （2）若直线与曲线 交于 两点，求 的面积. 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）解不等式 ； （2）若 对于任意 恒成立，求实数 的最小值，并求当 取最小值时的范围 参考答案 一、选择题 1．B2．C3．A4．C5．A6．D7．B8．D9．A10．A11．C12．C 二、填空题 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解：（1）依题意， ， 2 8y x= 13 1 2 + 3 27 10 (0.010 0.018 0.022) 0.45 0.5× + + = < 所以网友留言条数的中位数为 （2）根据频率分布直方图得，网友强烈关注的频率为 ， 所以强烈关注的人数为 ，因为强烈关注的女行有 10 人，所以强烈关注的男性 有 15 人， 所以一般关注的男性有 人，一般关注的女性有 人， 所以 列联表如下： 一般关注 强烈关注 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 （3）由（2）中的 列联表中数据可得： 所以没有 的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关． 18．解：(1)由题意得: , 解得: 即轨迹 E 的方程为 ＋y2＝1. (2)记 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 故可设 AB 的方程为 x＝y＋1. 由 消去 x 得 5y2＋2y－3＝0， 所以 设直线与 轴交于点 S＝ |OP||y1－y2| S＝ . 19．（1）取 的中点 ，连接 ， ，则 . 0.5 0.4530 320.025 −+ = ( )10 0.020 0.005 0.25× + = 100 0.25 25× ＝ 45 15 30﹣ ＝ 55 10 45﹣ ＝ 2 2× 2 2× 2 2 2 ( ) 100 (30 10 45 15) 3.030 3.841( )( )( )( ) 75 25 45 55 n ad -bcK a+b c+d a+c b+d × × − ×= = ≈ <× × × 95% PC F EF FD EF AD∥ 由题知 平面 ， 面 PDC，所以面 PDC 平面 ， 又底面 为矩形， 故 平面 ，所以 ， 在 中， ， ，则 . 因为 ，所以 ， ， 即△CDP 为等腰三角形，又 F 为 的中点， 所以 . 因为 ， 所以 平面 ， 即 平面 . （2）以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系 ，则 ， ， ， . 由题知 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 令 ，则 ， ，得 . 因为 平面 ， 所以 为平面 的一个法向量， 所以 ， 由图可知，二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为 . PD ⊥ ABCD PD ⊂ ⊥ ABCD ABCD AD ⊥ PDC AD PC⊥ Rt CBP∆ 2PB = 45BPC∠ = ° 2CB = 1PD = 3BD = 1CD = PC DF PC⊥ DF AD D∩ = PC ⊥ ADF PC ⊥ ADE D DA DC DP x y z D xyz− ( 2,0,0)A (0,1,0)C 2 1 1, ,2 2 2E       (0,0,1)P (0,1, 1)PC = − ( 2,0, 1)PA = − 2 1 1, ,2 2 2PE  = −     PAE ( , , )n x y z= 2 0 2 1 1 02 2 2 n PA x z n PE x y z    ⋅ = − = ⋅ = + − = 1x = 0y = 2z = (1,0, 2)n = PC ⊥ ADE PC ADE 3cos , 3| || | PC nPC n PC n ⋅〈 〉 = = −      P AE D− − P AE D− − 3 3 20． ， ， ， 当 时， ， 在区间 上单调递增， 当 时，令 ，解得 ； 令 ，解得 ， 综上所述，当 时，函数 的增区间是 ， 当 时，函数 的增区间是 ，减区间是 ； 依题意，函数 没有零点， 即 无解， 由 1 知：当 时，函数 在区间 上为增函数，区间 上为减函数， 只需 ， 解得 ． 实数 a 的取值范围为 21．解：（1） 千元. （2）有题意， ～ . ( ) ( )1 ln 1f x x ax= − − ( ) 1 1' axf x ax x −= − = ( 0)x > ① 0a ≤ ( )' 0f x > ( )f x ( )0, ∞+ ② 0a > ( )' 0f x < 1x a > ( )' 0f x > 10 x a < < 0a ≤ ( )f x ( )0, ∞+ 0a > ( )f x 10, a      1 ,a  +∞   ( )2 ( )f x ( ) ln 1 0f x x ax= − − = ( ) 0a > ( )F x 10, a      1 ,a  +∞   1 1 1ln 1 ln 2 0f a aa a a   = − ⋅ − = − − <   2a e−> ∴ 2 1 , .e  +∞   （i） 时，满足题意 即最低年收入大约为 14.77 千元 （ii）由 ，得 每个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率为 0.9773， 记 1000 个农民的年收入不少于 12.14 千元的人数为，则 ，其中 ， 于是恰好有 个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率是 从而由 ，得 而 ，所以， 当 时， ， 当 时， ， 由此可知，在所走访的 1000 位农民中，年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是 978 22．（1）由 消去， 得到 ， 则 ， ∴ ， 所以直线的极坐标方程为 . 点 到直线的距离为 . （2）由 ， 得 ， 所以 ， ， 所以 ， 则 的面积为 . 23．（1） 当 时，不等式化为 ，解得 ，可得 ； 当 时，不等式化为 ，解得 ，可得 ； 当 时，不等式化为 ，解得 ，可得 . 综上可得，原不等式的解集为 . （2）若 恒成立，则 恒成立， 又 最小值为 . 此时 解得 .