【数学】2020届一轮复习（文理合用）第7章第5讲直线、平面垂直的判定与性质作业

【数学】2020届一轮复习（文理合用）第7章第5讲直线、平面垂直的判定与性质作业

对应学生用书[练案50理][练案48文]‎ 第五讲　直线、平面垂直的判定与性质 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·青岛质检)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　C　)‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β　　　 B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β　　　 D．a⊂α，b∥β，α⊥β ‎[解析]　对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b.故选C．‎ ‎2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　D　)‎ A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l ‎[解析]　因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D． ‎ ‎3．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是(　A　)‎ ‎[解析]　A中，CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为.‎ ‎4.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有(　A　)‎ A．AH⊥△EFH所在平面　　　 B．AG⊥△EFH所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面　　　 D．HG⊥△AEF所在平面 ‎[解析]　∵AD⊥DF，AB⊥BE，又∵B，C，D重合记为H，∴AH⊥HF，AH⊥HE.∴AH⊥平面EFH.‎ ‎5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　A　)‎ A．直线AB上　　　 B．直线BC上 C．直线AC上　　　 D．△ABC内部 ‎[解析]　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上．‎ ‎6．(2019·长春质检)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是(　D　)‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ACD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BCD D．平面ACD⊥平面ABD ‎[解析]　由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC．因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD．‎ ‎7．(2018·天津模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥D－ABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC．‎ 其中正确的是(　B　)‎ A．①②④　　　 B．①②③　　　‎ C．②③④　　　 D．①③④‎ ‎[解析]　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错，故选B．‎ 二、填空题 ‎8．(2019·湖南五校联考)已知直线m、l，平面α、β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；‎ ‎③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.‎ 其中正确的命题是__①④___.‎ ‎[解析]　对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，若α⊥β，则m∥l或m⊥l或m与l异面，故②错误；对于③，若m⊥l，则α⊥β或α与β相交，故③错误；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故④正确．‎ ‎9．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有__3___对．‎ ‎[解析]　因为AB⊥BD，CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，所以AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABD，所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面ACD，所以互相垂直的平面共有3对．‎ ‎10．(2018·黄冈质检)如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．‎ 其中正确结论的序号是__①②③___.‎ ‎[解析]　①由于PA⊥平面ABC，因此PA⊥BC，又AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，由于PC⊥AF，因此AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB；②因为AE⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB；③在①中已证明AF⊥BC；④若AE⊥平面PBC，由①知AF⊥平面PBC，由此可得出AF∥AE，这与AF，AE有公共点A矛盾，故AE⊥平面PBC不成立．故正确的结论为①②③.‎ 三、解答题 ‎11．如图，在底面为梯形的四棱锥S－ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，AD＝DC ‎＝，SA＝SC＝SD＝2.‎ ‎(1)求证：AC⊥SD；‎ ‎(2)求三棱锥B－SAD的体积．‎ ‎[解析]　(1)证明：设O为AC的中点，连接OS，OD．‎ ‎∵SA＝SC，∴OS⊥AC．‎ ‎∵DA＝DC，∴DO⊥AC．‎ 又∵OS，OD⊂平面SOD，且OS∩DO＝O，‎ ‎∴AC⊥平面SOD，且SD⊂平面SOD，‎ ‎∴AC⊥SD．‎ ‎(2)连接BD，在△ASC中，‎ ‎∵SA＝SC，∠ASC＝60°，点O为AC的中点．‎ ‎∴△ASC为正三角形，且AC＝2，OS＝.‎ ‎∵在△ADC中，DA2＋DC2＝4＝AC2，O为AC的中点，‎ ‎∴∠ADC＝90°，且OD＝1.‎ ‎∵在△SOD中，OS2＋OD2＝SD2，‎ ‎∴∠SOD＝90°，∴SO⊥OD．‎ 又∵OS⊥AC，且AC∩DO＝O，∴SO⊥平面ABCD．‎ ‎∴VB－SAD＝VS－BAD＝VS－CAD＝S△CAD·SO＝×AD·CD·SO＝××××＝.‎ ‎12．如图所示，在△ABC中，AC＝1，AB＝3，∠ACB＝90°，且△ABC与矩形BCDE所在的平面相互垂直，CD＝2，P为AB的中点．‎ ‎(1)求证：AD∥平面PCE；‎ ‎(2)求点P到平面ACE的距离．‎ ‎[解析]　(1)如图，连接BD交CE于点Q，连接PQ.‎ 在△ABD中，BQ＝QD，BP＝PA，则AD∥PQ.‎ 因为PQ⊂平面PCE，AD⊄平面PCE，‎ 所以AD∥平面PCE.‎ ‎(2)因为△ABC与矩形BCDE所成的平面相互垂直，平面ABC∩平面BCDE＝CB，BE⊥CB，所以BE⊥平面ABC．‎ 又AC⊥CB，所以AC⊥平面BCDE，所以AC⊥CE.‎ 在Rt△ACB中，CB＝＝＝2，‎ 则S△ABC＝AC·CB＝×1×2＝.‎ 因为P为AB的中点，所以S△ACP＝S△ABC＝，‎ 所以VE－APC＝S△APC·BE＝××2＝.‎ 在Rt△CBE中，CE＝＝＝2，‎ 所以S△ACE＝AC·CE＝×1×2＝.‎ 设点P到平面ACE的距离为h，则VP－ACE＝S△ACE·h＝h，‎ 又VE－APC＝VP－ACE，所以＝h，‎ 解得h＝，‎ 即点P到平面ACE的距离为.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·湖南衡阳)设α、β是空间两个平面，m、n、l是空间三条直线，则下列四个命题中，逆命题成立的个数是(　C　)‎ ‎①当n⊂α时，若n⊥β，则α⊥β ‎②当l⊥α时，若l⊥β，则α∥β ‎③当n⊂α，且l⊄α，若l∥α，则n∥l ‎④当n⊂α，且l是m在α内的射影时，若n⊥l，则m⊥n.‎ A．1　　　 B．2　　　‎ C．3　　　 D．4‎ ‎[解析]　对于①，逆命题：当n⊂α时，若α⊥β，则n⊥β，由面面垂直的性质定理可知①的逆命题错误；对于②，逆命题：当l⊥α时，若α∥β，则l⊥β，由面面平行的性质可知②的逆命题正确；对于③，逆命题：当n⊂α，且l⊄α时，若n∥l，则l∥α，由线面平行的判定定理可知③的逆命题正确；对于④，逆命题：当n⊂α，且l是m在α内的射影时，若m⊥n，则n⊥l，由三垂线定理可知④的逆命题正确．综上，逆命题成立的序号为②③④，故选C． ‎ ‎2.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E中AC的中点，则下列命题中正确的是(　C　)‎ A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE ‎[解析]　因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C．‎ ‎3．(2018·甘肃二诊)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝，AB＝4，若在棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是(　B　)‎ A．(0,1]　　　 B．(0,2]　　　‎ C．(1，]　　　 D．[1,4)‎ ‎[解析]　连接DP，由D1P⊥PC，DD1⊥PC，且D1P，DD1是平面DD1P上两条相交直线，得PC⊥平面DD1P，PC⊥DP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0

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