2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．设集合A={x|1
3}⇒ A∩(CRB)= (3,4),故选B．
考点：集合的基本运算．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．
2．给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为( )
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】B
【解析】
时，的个数是
时，的个数是
时，的个数是 ，
时，的个数是1
时，的个数是，
时，的个数是
时，的个数是1，
时，的个数是
时，的个数是1
时，的个数是1
时，的个数是
时，的个数是1、
时，的个数是1
时，的个数是1
时， 的个数是1
的有序子集对的个数为49个，
3．如果满足且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
对于A，∵且，∴则，，必有，故A一定成立；对于B，∵，∴，又由，则有
，故B一定成立，；对于C，当时，不成立，当时，成立，故C不一定成立；对于D，∵且，∴，∴，故D一定成立，故选C.
4．设集合，集合，则等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得集合，根据集合的并集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
又由集合，所以，故选B.
【点睛】
本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合A，熟练应用集合并集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5．已知点(a,b)在直线x+2y+3=0上运动，则2a+4b有（ ）
A．最大值16 B．最大值22 C．最小值16 D．最小值22
【答案】D
【解析】
【分析】
由点（a，b）在直线上动，可得a+2b=-3，然后利用基本不等式求2a+4b的最值．
【详解】
因为点（a，b）在直线x+2y=-3上，所以a+2b=-3．
所以2a+4b≥2 2a⋅22b=2 2a+2b=22−3=22,
所以2a+4b有最小值22.
故选:D．
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，以及指数幂的基本运算．
6．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数运算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】
由得：且，
（当且仅当时取等号）
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用对数运算得到积的定值，属于基础题.
7．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
分析：作出可行域，研究目标函数的几何意义可知，当时目标函数取得最大值为.
详解：作出可行域，如下图中的阴影部分，
易知目标函数中的值随直线向上平移而增大，
过点时取得最大值为，故选C.
点睛：将目标函数转化为直线的斜截式方程，当截距取得最大值时，取得最大值；当截距取得最小值时，取得最小值.
二、填空题
8．在中，、、分别是角、、的对边，若，为的中点，且，则的最大值是______
【答案】
【解析】
【分析】
先化简得到A=，因为M是BC中点，所以，平方化简得，结合基本不等式得到所求．
【详解】
由题意，将边化角，得到sinC,
∴,又在中，，∴，得到A=，
∵M是BC中点，
∴，
平方得，4，
即，所以=，
∴,, 则的最大值是，
故答案为．
【点睛】
本题考查了正弦定理以及三角形中线的向量表示，考查了基本不等式的应用，属于中档题.
9．已知，那么的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据对数的运算性质化简得到的值，且由对数函数的定义域得到与都大于，然后把所求的式子通分后，利用分子利用基本不等式变形，将的值代入即可求出式子的最小值．
【详解】
由，得即，且，，
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
10．已知数列是等比数列，若，则的最小值为_____．
【答案】1
【解析】
由得 ，所以
，即最小值为1
11．集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则a=______．
【答案】-12或13或0
【解析】
【分析】
先化简集合，再由子集的关系求解．
【详解】
解：集合A={x|x2+x-6=0}={-3,2}
∵B⊆A，
∴(1)B=⌀时，a=0
(2)当B={-3}时，a=13
(3))当B={2}时，a=-12
故答案为：-12或13或0．
【点睛】
在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.
12．记为偶函数，是正整数，，对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，则的值是__________．
【答案】4、5、6
【解析】
由题意得．
∵为偶函数，是正整数，
∴，
∵对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，
∴中任意相邻的两个元素的间隔必小于1，任意相邻的三个元素的间隔之和必大于1．
∴，解得，
又，
∴．
答案：
13．已知变量满足,则的最大值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：如图,画出不等式组所表示的区域,结合图形可知当动直线过点时,截距最小,的值最大,最大值为.
考点：线性规划的知识及运用．
【易错点晴】本题考查的是线性规划的知识的运用与数形结合的数学思想的运用问题.解答时先准确的画出不等式组所表示的平面区域,再搞清的几何意义,将问题转化为求直线在轴上的截距的最小值问题.解答时借助不等式所表示的平面区域,平行移动,借助图形很容易发现当该动直线经过点时,直线在轴上的截距最小,的值最大为.
三、解答题
14．已知集合，全集，
求：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）=
【解析】
【详解】
试题分析：（1）化简集合A,B后，根据交集的定义即可求出；（2）根据补集及交集的定义运算.
试题解析：
（1）
（2）
=
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
15．已知，，记，，试比较与的大小？
【答案】见解析.
【解析】
分析：根据题意，利用作差法进行求解．
详解：
由题
，
有∵，
∴，
∴．
点睛：此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．
16．设,，且.
（1）求的值及集合A，B；
（2）设全集，求；
（3）写出的所有真子集.
【答案】（1），，；（2）；（3），，，.
【解析】
试题分析：（1）先用列举法求出集合；（2）先求出，再求即可；（3）根据真子集的定义，写出的所有真子集.
试题解析：
（1）由A∩B＝{2}，得2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，∴2a＋10＝0，则a＝-5，此时A＝，B＝{-5,2}.
（2）由并集的概念，得U＝A∪B＝.
由补集的概念易得∁UA＝，∁UB＝.
所以∁UA∪∁UB＝.
（3）∁UA∪∁UB的所有子集即集合的所有子集：，，，.
考点：集合运算.
17．已知函数f(x)=lnx−a2x2+ax(a∈R)．
（1）当a=1时，证明函数f(x)只有一个零点；
（2）若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）(−∞,−12]∪[1,+∞)．
【解析】
解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=lnx−x2+x，其定义域是(0,+∞)
∴∴f′(x)=1x−2x+1=−2x2−x−1x…………2分
令f′(x)=0，即−2x2−x−1x=0，解得x=−12或x=1．
∵x>0，∴∴x=−12舍去．
当00；当x>1时，f′(x)<0．
∴ 函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减
∴ 当x =1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)=ln1−12+1=0．
当x≠1时，f(x)0,∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数，不合题意……8分
② 当a>0时，f′(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax−1)≥0(x>0)，即x≥1a
此时f(x)的单调递减区间为[1a,+∞)．
依题意，得1a≤1,a>0.解之得a≥1． ………10分
③ 当a<0时，f′(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax−1)≥0(x>0)，即x≥−12a
此时f(x)的单调递减区间为[−12a,+∞)， ∴−12a≤1a<0得a≤−12
综上，实数a的取值范围是(−∞,−12]∪[1,+∞)…………12分
法二：①当a=0时，f′(x)=1x>0,∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数，不合题意…8分
②当a≠0时，要使函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数，只需f′(x)≤0在区间(1,+∞)上恒成立，∵x>0 ∴只要2a2x2−ax−1≥0恒成立，
18．（本题满分12分）已知集合,,,全集为实数集
（1）求；
（2）若,求实数的范围[来源:学
【答案】
（1）
（2）
【解析】
试题分析：先化简集合,由得,由得,由得,然后再进行集合运算.
试题解析：
（1）,,, （6分）
所以,（8分）
（10分）
（2）,所以．（12分）
考点：1简单不等式的解法；2对数函数定义域；3集合运算.
19．已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+（m-2）（m+2）≤0，x∈R，m∈R}．
（Ⅰ）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；
（Ⅱ）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）m=2；（Ⅱ）m＞5或m＜-3
【解析】
【分析】
（1）先通过解不等式求出集合A和B，因为A∩B=[0，3]，列出关系式，求出m；（2）写出∁RB，因为A⊆∁RB，列出关系式，可求出m范围.
【详解】
（Ⅰ）A={x|x2－2x－3≤0，x∈R}={x|－1≤x≤3}
B={x|x2－2mx+（m－2）（m+2）≤0 }={x|m－2≤x≤m+2}
因为A∩B=[0，3]
所以，即
所以m=2
（Ⅱ）因为B={x|m－2≤x≤m+2}．
所以∁RB={x|x＞m+2或x＜m－2}
要使A⊆∁RB，
则3＜m－2或－1＞m+2，
解得m＞5或m＜－3，
即实数m的取值范围是m＞5或m＜－3．
【点睛】
本题考查了集合的运算，集合间的包含关系，属于基础题.
20．已知集合 若
（1） 求实数的范围；
（2） 求实数的范围；
（3） 求实数的范围.
【答案】(1) (2) (3)不存在
【解析】
试题分析：（1）分两种情况考虑：当集合不为空集时，得到小于列出不等式，求出不等式的解集得到范围，由为的子集，列出关于的不等式，求出不等式的解集，找出范围的交集得到的取值范围；当集合空集时，符合题意，得出大于，列出不等式，求出不等式的解集得到的范围，综上，得到所有满足题意的范围；（2）利用为常数}，建立不等式，即可求得结论；（3）且无解.
试题解析：（1）集合分两种情况考虑：
①若不为空集，可得，解得，，，且，解得，不成立.
②若为空集，符合题意，可得，解得，综上，实数的范围为.
(2)为常数}，，且，
，且.
（3）且无解.
21．判断命题“若方程不存在两个不相等的实数根，则”的真假.
【答案】真命题
【解析】
【分析】
原命题的逆否命题是“若ac<0，则方程有两个不相等的实数根”,利用利用逆否命题同真同假即可作出判断.
【详解】
原命题的逆否命题是“若ac<0，则方程有两个不相等的实数根”.
因为当ac<0时，方程的根的判别式，
所以方程有两个不相等的实数根；
即逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题.
【点睛】
本题的解题关键步骤有：
1.先求出逆否命题，将问题等价转化为一个较易证明的命题；
2.利用二次方程根的分布即可作出判断.
22．已知命题p:∀x∈−12,1，不等式m−x2≥0恒成立；q：方程x2m2+y24=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若¬p为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）m>2或m<−2．（2）m<−2或1≤m≤2
【解析】
【分析】
（1）由¬p为假命题，则p为真命题，转化为∀x∈[−12,1] ，m−x2≥0恒成立，即可求解；
（2）分别求得命题p,q都为真命题时实数m的取值范围，在根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，分类讨论，即可求解。
【详解】
（1）若¬p为假命题，则p为真命题．若命题p真，
即对∀x∈−12,1 ，m−x2≥0恒成立，则m≥x2max=1，所以m≥1
（2）命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m2>4⇒m>2或m<−2．
∵p∨q为真命题，且p∧q为假命题，∴p、q一真一假
①如果p真q假，则有m≥1−2≤m≤2，得1≤m≤2；
②如果p假q真，则有m<1m>2或m<−2，得m<−2．
综上实数m的取值范围为m<−2或1≤m≤2．
【点睛】
本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中合理转化，以及正确求解命题p,q为真命题时实数m的取值范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题。
