广东省深圳市外国语学校2020届高三第一次测试数学（文）试卷

广东省深圳市外国语学校2020届高三第一次测试数学（文）试卷

文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．集合，，则= （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数,则的虚部为　　　　　　　　　 　（ 　）‎ A. B． C． D. ‎ ‎3.已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为 (　　)．‎ A．0 B．‎4 C．－4 D．±4‎ ‎4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.设函数,“是偶函数”是“的图像关于原点对称”的( )‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充条件 ‎ ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)‎ ‎ A.2018年 B. 2019年 C.2020年 D.2021年 ‎9.将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数的最大值是 B. 函数的最小正周期为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图像关于直线对称 ‎10.如图，平面四边形ABCD中，E,F是AD,BD中点，AB=AD=CD=2，，将沿对角线BD折起至，使平面，则四面体中，下列结论不正确的是（ ）‎ A. 平面 ‎ B.异面直线CD与所成的角为 ‎ C.异面直线EF与所成的角为 ‎ ‎ D.直线与平面BCD所成的角为 ‎ ‎11.已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正实数的取值范围为 ‎ A． B．‎ ‎ C．　　 D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．函数的值域为________. ‎ ‎14．若则 ‎15．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，这个数列的前项和_______. ‎ ‎16.已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥PABC的内切球的体积为________．‎ 三、解答题（本大题共 6小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．‎ ‎18.(本题满分12分）‎ 在中，角A、B、C所对的边分别为，且满足。 ‎ ‎（1） 求角A的大小；‎ ‎（2）若，求周长的最大值。‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，． （Ⅰ）求证：数列是等差数列； （Ⅱ）求．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 在△ABC中，点D在线段AC上，且,‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求BC和AC的长 ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．‎ ‎（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；‎ ‎（Ⅲ）若，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，方程在区间内有唯一实数解，‎ 求实数的取值范围．‎ 文科数学答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A C D B ‎ B C C C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题（本大题共 6小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．‎ 解：设数列的公差为，则，， ‎ ‎． 由成等比数列得，‎ 即，整理得， 解得或． ‎ 当时，．‎ 当时，，‎ ‎18.(本题满分12分）‎ 在中，角A、B、C所对的边分别为，且满足。 ‎ ‎（1） 求角A的大小；‎ ‎（2）若，求周长的最大值。‎ ‎18解：（1）依正弦定理可将化为 ‎ 又因为在中，所以有.‎ ‎∵ ,             ‎ ‎（2）因为的周长，   所以当最大时，的周长最大.‎ 解法一： （当且仅当时等号成立）‎ 所以周长的最大值12‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，． （Ⅰ）求证：数列是等差数列； （Ⅱ）求．‎ ‎19.（Ⅰ）证明：因为当时，，‎ 所以．所以,2分 因为所以，所以， 3分 所以． 4分 所以是以为首项，以1为公差的等差数列． 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以.8分 所以． 10分 所以1． 12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ 在△ABC中，点D在线段AC上，且,‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求BC和AC的长 ‎20.（Ⅰ）、................4分 ‎（Ⅱ）、设则 在中，,‎ 即….① ........6分 在中，，............8分 由得…② .....................10分 由①、②解得，所以BC=3，AC=3............................12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．‎ ‎（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；‎ ‎（Ⅲ）若，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．‎ ‎21解法一：（Ⅰ）在中，因为为的中点，所以 又垂直于圆所在的平面，所以因为，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）因为点在圆上，所以当时，到AB的距离最大，且最大值为1.‎ 又，所以面积的最大值为 又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为 ‎（Ⅲ）在中，，‎ 所以,同理，所以 在三棱锥中，将侧面BCP绕PB旋转至平面，使之与平面共面，如图所示。当共线时，取得最小值 又因为，所以垂直平分，‎ 即为中点从而，亦即的最小值为.‎ 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一.‎ ‎（Ⅲ）在中，，所以，同理 所以，所以.在三棱锥中，将侧面BCP绕PB旋转至平面，使之与平面共面，如图所示。当共线时，取得最小值.‎ 所以在中，由余弦定理得：‎ 从而所以的最小值为.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，方程在区间内有唯一实数解，‎ 求实数的取值范围．‎ ‎22.【解析】（I）， ‎ ‎（i）当时，，令,得，令,得，‎ 函数f(x)在上单调递增，上单调递减； （2分）‎ ‎（ii）当时，令，得, （3分）‎ 令,得，令,得，‎ 函数f(x)在和上单调递增，上单调递减； （4分）‎ ‎（iii）当时，，函数f(x)在上单调递增；（5分）‎ ‎（iv）当时， （6分）‎ 令,得，令,得， （7分）‎ 函数f(x)在和上单调递增，上单调递减； （8分） ‎ 综上所述：当时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎ 当时，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ 当时，函数f(x)的单调递增区间为；‎ 当时，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为 （9分）‎ ‎（II）当时，，由，得，又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解，‎ 只需有唯一实数解，（10分）‎ 令，∴，由得；得，‎ ‎∴在区间上是增函数，在区间上是减函数. （11分）‎ ‎，， ，故 或 （12分）‎