2018-2019学年陕西省榆林市第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年陕西省榆林市第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

榆林市第二中学2018--2019学年第二学期第一次月考 高二年级数学（理科）试题 命题人： ‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 下列四个散点图中，相关系数最大的是（     ）.‎ A. B. C. D. ‎ 2. 南山中学实验学校2015级入学考试共设置60个试室，试室编号为001～060，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取12个试室进行抽查，已抽看了007试室号，则下列可能被抽到的试室号是（　　）‎ A. 002 B. 031 C. 044 D. 060‎ 3. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（） ‎ A. ‎，75，72 B. 72，75， C. 75，72， D. 75，，72‎ 4. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y 的值分别为（　　） ‎ A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7‎ 1. 设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为（　　）‎ A. ，4 B. ， C. 1，4 D. 1，‎ 2. 有5位学生和2位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有多少种不同坐法( )‎ A. 种 B. 240种 C. 480种 D. 960种 3. 甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有　　种 A. 720 B. 480 C. 144 D. 360‎ 4. 教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，从一层到四层共有（）种走法？‎ A. B. C. D. ‎ 5. ‎6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法( )‎ A. B. C. D. ‎ 6. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有（　　）‎ A. 28个 B. 21个 C. 35个 D. 56个 7. 一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 1. 某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有　　种．‎ A. B. C. 50 D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 2. 的展开式中x2y2的系数为______ ．（用数字作答）‎ 3. 已知（X服从超几何分布且n=10，M=5，N=100），则________．‎ 4. 某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X服从正态分布N（110，102），从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）=________．（结果用分数表示）‎ 附：X满足：则；）；．‎ 5. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）= ______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 6. ‎（本题10分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄； （Ⅱ）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率． ‎ 1. ‎（本题12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎10‎ 女生 ‎20‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为． （1）请将上述列联表补充完整； （2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； （3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中n=a+b+c+d） ‎ ‎ ‎ 1. ‎（本题12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率； （Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望． ‎ 结果 奖励 ‎1红1白 ‎10元 ‎1红1黑 ‎5元 ‎2黑 ‎2元 ‎1白1黑 不获奖 2. ‎（本题12分）某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机地摸2个球，设计奖励方式如下表：‎ (1) 某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布列与数学期望； (2) 某顾客参与两次摸球（有放回），求他能中奖的概率． ‎ ‎ ‎ 3. ‎（本题12分）已知椭圆C：4x2+y2＝1及直线l：y＝x+m，m∈R．‎ ‎   （1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？‎ ‎    （2）若直线l被椭圆C截得的弦长为，求直线l的方程． ‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 4. ‎（本题12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据. ‎ ‎(1)已知x与y之间具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考公式：＝，) ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了结合散点图，判断相关系数的大小，属于基础题. r＞0，正相关；r＜0，负相关，|r|越大相关性越强. 【解答】 解：由图可知，C、D的点在一条直线附近，则相关性强， C选项为正相关，D为负相关， 故C选项相关系数最大. 故选C.‎ ‎2.【答案】A 【解析】‎ 解：样本间隔为60÷12=5， ∵样本一个编号为007， 则抽取的样本为：002，007，012，017，022，027，032，037，042，047，052，057 ∴可能被抽到的试室号是002， 故选：A． 根据系统抽样的定义确定样本间隔进行求解即可． 本题主要考查系统抽样的应用，确定样本间隔是解决本题的关键．‎ ‎3.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数的方法，是基础题． ‎ ‎①平均数是频率分布直方图的“重心”，是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； ②众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数； ​③中位数是所有数据中的中间值，在直方图中，中位数的左右两边频数相等，即频率相等． 【解答】 解： ①平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 所以平均成绩为： 45×（0.005×10）+55×（0.015×10）+65×（0.020×10）+75×（0.030×10）+85×（0.025×10）+95×（0.005×10）=72； ②由众数概念知，众数是出现次数最多的， 在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数， 由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数落在70-80这一组中，所以众数为75； ③由于中位数是所有数据中的中间值， 故在直方图中，体现的是中位数的左右两边频数相等，即频率相等， 从而就是小矩形的面积和相等， 因此在频率分布直方图中， 将频率分布直方图中所有小矩形面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求， ∵前三个小矩形的面积和为（0.005+0.015+0.020）×10=0.4， 第四个小矩形的面积为0.030×10=0.3，0.4+0.3=0.7＞0.5， ∴中位数应位于第四个小矩形中， 设其底边为x，高为0.03， ∴令0.03x=0.5-0.4=0.1，解得x≈3.3， 故成绩的中位数为73.3． 故选B．‎ ‎4.【答案】A 【解析】‎ 解：由已知中甲组数据的中位数为65， 故乙组数据的中位数也为65， 即y=5， 则乙组数据的平均数为：66， 故x=3， 故选：A． 由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值． 本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题．‎ ‎5.【答案】A 【解析】‎ 解：方法1：∵yi=xi+a， ∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a， 方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4． 方法2：由题意知yi=xi+a， 则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a， 方差s2=[（x1+a-（+a）2+（x2+a-（+a）2+…+（x10+a-（+a）2]=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x10-）2]=s2=4． 故选：A． 方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论． 方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论． 本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．‎ ‎6.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 ​先排5位学生，由排列公式可得其坐法数目，要求2位教师坐在一起，用捆绑法，插入到5个学生符合要求的4个空位中，易得其有2A41​种坐法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，关键在于掌握常见的问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法． 【解答】 解：先排5位学生，有A55种坐法， 2位教师坐在一起，将其看成一个整体，可以交换位置，有2种坐法， 将这个“整体”插在5个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，则有4个空位可选， 则共有2A55A41=960种坐法． 故选D．‎ ‎7.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的=，即可得出结论． 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础． 【解答】 解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得=720种， ∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种， ∴甲、乙均在丙的同侧，有4种， ∴甲、乙均在丙的同侧占总数的= ‎ ‎∴不同的排法种数共有=480种． 故选：B．‎ ‎8.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 ​根据题意，分析层与层之间的走法数目，利用分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，注意认真分析题意，注意四层的大楼有三层楼梯． 【解答】 解：根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯， 则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也有2种走法， 则从一层到四层共有2×2×2=23种走法； 故选B．‎ ‎9.【答案】A 【解析】‎ ‎【分析】 ‎ 本题考查排列组合及简单计数问题，属于基础题.‎ 从9个人中选3个人，一人一本语文书，其他的一人一本数学书，问题得以解决． ‎ ‎【解答】‎ 解：从9个人中选3个人，一人一本语文书，其他的一人一本数学书，故有C93种， 故选A．‎ ‎10.【答案】B 【解析】‎ 解：因为1+1+4=6，1+2+3=6，2+2+2=6，0+1+5=6，0+2+4=6，0+3+3=6，0+0+6=6， 所以可以分为7类， 当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个， 当三个位数字为1，2，3时，三位数有A33=6个， 当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个， 当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个， 当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个， 当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个， 当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个， 根据分类计数原理得三位数共有3+6+1+4+4+2+1=21． 故选B． 根据1+1+4=6，1+2+3=6，2+2+2=6，0+1+5=6，0+2+4=6，0+3+3=6，0+0+6=6，所以可以分为7类，分别求出每一类的三位数，再根据分类计数原理得到答案． 本题主要考查了分类计数原理，关键是找到三个数字之和为6的数分别是什么，属于中档题．‎ ‎11.【答案】B 【解析】‎ 解：根据题意，分2步进行分析： ①，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列，每个小组的成员之间有A33种排法， ②，将4个小组进行全排列，有A44种排法， 则不同的坐法有A44（A33）4种排法； 故选：B． 根据题意，分2步进行分析：①，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列，②，将4个小组进行全排列，由分步计数原理计算可得答案． ‎ 本题考查分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，注意相邻问题用捆绑法分析．‎ ‎12.【答案】A 【解析】‎ 解：根据题意，公共汽车沿途5个车站， 则每个乘客有5种下车的方式， 则10位乘客共有510种下车的可能方式； 故选：A． 根据题意，分析可得每个乘客有5种下车的方式，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的实际应用，‎ ‎13.【答案】70 【解析】‎ 解：的展开式的通项公式为Tr+1=•（-1）r••=•（-1）r••， 令8-=-4=2，求得 r=4， 故展开式中x2y2的系数为=70， 故答案为：70． 先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．‎ ‎14.【答案】 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查离散型随机变量的期望，超几何分布. 根据，可知X服从超几何分布，且可得n，M，N的值，代入超几何分布的期望公式即可求解. 【解答】 解：根据，可知X服从超几何分布， 且n=10，M=5，N=100， 则. 故答案为.‎ ‎15.【答案】​ 【解析】‎ ‎【分析】 本题主要考查了正态曲线及其性质和条件概率公式，属于基础题. 【解答】 解：∵服从正态分布N（110，102） ∴P(A)=P()≈=0.4772； P(AB)=P()≈=0.1395; 则P（B|A）==​; 故答案为​.‎ ‎16.【答案】 【解析】‎ 解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，， 解得，， 所以． 故答案为： 结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得． 本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．‎ ‎17.【答案】解：（Ⅰ）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20． 估计所有使用者的平均年龄为：0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37（岁） （Ⅱ）由题意可知抽取的6人中，年龄在[35，45）范围内的人数为4，记为a，b，c，d； 年龄在[45，55]范围内的人数为2，记为m，n． 从这6人中选取2人，结果共有15种： （ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc）， （bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（cn）， （dm），（dn），（mn）． 设“这2人在不同年龄组“为事件A． 则事件A所包含的基本事件有8种，故， 所以这2人在不同年龄组的概率为． 【解析】‎ 本题考查频率分布直方图以及古典概型，属于基础题. （Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄； （Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，‎ n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得． 本题考查列举法计算基本事件数，涉及概率公式和直方图，列举是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎18.【答案】解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为， 所以喜欢游泳的学生人数为人， 其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎ （2）因为， 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关； （3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a，b，c，另外2名学生记为1，2，任取2名学生，则所有可能情况为（a，b）、（a，c）、（a，1）、（a，2）、（b，c）、（b，1）、（b，2）、（c，1）、（c，2）、（1，2），共10种, 其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a，1）、（a，2）、（b，1）、（b，2）、（c，1）、（c，2），共6种, 所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为. 【解析】‎ 本题考查独立性检验知识，考查概率的计算，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． （1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表； （2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论； （3）利用列举法，确定基本事件的个数，即可求出概率．‎ ‎19.【答案】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”， 则由古典概型的概率公式有P（A）==． （Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2， 则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P EX=0×+1×+2×=． 【解析】‎ ‎ （Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可； （Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．‎ ‎20.【答案】解： (1) 因为P(X＝10)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝2)＝＝， ‎ P(X＝0)＝＝， 所以X的概率分布为 X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎0‎ P ‎ 从而E(X)＝10×＋5×＋2×＋0×＝3.1(元)． (2) 记该顾客一次摸球中奖为事件A，由(1)知，P(A)＝， 从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P＝1－[1－P(A)]2＝. 答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 . 【解析】‎ ‎（1）由已知得X=10，5，2，0，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布表与数学期望； （2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由(1)知，P(A)＝，由此能求出他两次摸球中至少有一次中奖的概率. ​本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的概率分布与数学期望的求法，属中档题.‎ ‎21.【答案】解：（1）把直线y=x+m代入4x2+y2=1得5x2+2mx+m2-1=0，① ∴△=4m2-20（m2-1）=-16m2+20≥0，‎ 解得； （2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 由①得， ‎ ‎∴， ∴，‎ 解得m=±1， ∴所求直线方程为x-y+1＝0，或x-y-1＝0.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系及不等式的解法，考查了学生的推理能力与计算能力，培养了学生的综合能力. （1）把直线y=x+m代入4x2+y2=1得5x2+2mx+m2-1=0，利用△≥0，即可得出结果； （2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，利用根与系数的关系可得弦长，进而即可得到结果.‎ ‎22.【答案】解：（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ 线性回归方程为y=0.7x+0.35；‎ ‎（2）根据回归方程的预测，‎ 现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为：0.7×100+0.35=70.35，‎ 耗能减少了90-70.35=19.65（吨）. 【解析】‎ 此题考查线性回归直线方程的求法，考查线性回归分析在解决实际问题中的应用，属中档题. ‎ ‎（1）利用线性回归方程公式，分别求出，，即可得到回归直线的方程； （2）考查利用线性回归分析解决实际应用问题，把100代入回归直线方程得到预报值，从而求出所求结果. ‎ ‎ ‎