四川省成都市2020届高三第一次诊断考试 理科数学（PDF版）

四川省成都市2020届高三第一次诊断考试 理科数学（PDF版）

数学(理科)“一诊”考试题参考答案 　 第 １　　　　 页(共 ４ 页) 成都市 ２０１７ 级高中毕业班第一次诊断性检测 数学(理科)参考答案及评分意见 第 Ⅰ 卷 　(选择题,共 ６０ 分) 一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分) １．B; ２．D; ３．C; ４．A; ５．D; ６．C; ７．B; ８．A; ９．B; １０．C; １１．D; １２．C． 第 Ⅱ 卷 　(非选择题,共 ９０ 分) 二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分) １３．６;　　１４．３ n ;　　１５．π ６ ;　　１６．３． 三、解答题:(共 ７０ 分) １７． 解:(Ⅰ)∵b２ ＋c２ －a２ ＝２bccosA ,∴２bccosA ＝４ ２ ３ bc ． ƺƺ２ 分 ∴cosA ＝２ ２ ３ ． ƺƺ４ 分 ∴ 在 △ABC 中,sinA ＝ １－cos ２A ＝１ ３ ． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)∵ △ABC 的面积为 ２ ,即 １ ２ bcsinA ＝１ ６ bc＝ ２ , ƺƺ７ 分 ∴bc＝６ ２ ． ƺƺ８ 分 又 ∵ ２sinB ＝３sinC ,由正弦定理得 ２b＝３c , ∴b＝３ ２ ,c＝２． ƺƺ１０ 分 则a２ ＝b２ ＋c２ －２bccosA ＝６,∴a＝ ６ ． ƺƺ１１ 分 ∴ △ABC 的周长为 ２＋３ ２＋ ６ ． ƺƺ１２ 分 １８ư 解:(Ⅰ)由题,２×２ 列联表如下: 属于“追光族” 属于“观望者” 合 　 计 女性员工 ２０ ４０ ６０男性员工 ２０ ２０ ４０合 　 计 ４０ ６０ １００ ƺƺ２ 分 ∵ K２ ＝１００(２０×２０－２０×４０)２ ４０×６０×４０×６０ ＝２５ ９ ≈２ư７７８＜３ư８４１, ƺƺ４ 分 ∴ 没有 ９５％ 的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关 ． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)由题,随机变量 X 所有可能的取值为 ０,１,２,３． P(X ＝０)＝ C０ ３C３ ７ C３ １０ ＝ ３５ １２０ ＝ ７ ２４ ,P(X ＝１)＝ C１ ３C２ ７ C３ １０ ＝ ６３ １２０ ＝２１ ４０ , 数学(理科)“一诊”考试题参考答案 　 第 ２　　　　 页(共 ４ 页) P(X ＝２)＝ C２ ３C１ ７ C３ １０ ＝ ２１ １２０ ＝ ７ ４０ ,P(X ＝３)＝ C３ ３C０ ７ C３ １０ ＝ １ １２０． ƺƺ９ 分 ∴ X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P ７ ２４ ２１ ４０ ７ ４０ １ １２０ ƺƺ１０ 分 ∴E(X)＝０× ３５ １２０ ＋１× ６３ １２０ ＋２× ２１ １２０ ＋３× １ １２０ ＝１０８ １２０ ＝ ９ １０． ƺƺ１２ 分 １９ư 解:(Ⅰ)如图,连接 ACư ∵ 底面ABCD 为菱形,且 ∠ABC＝６０°, ∴ 三角形 ABC 为正三角形 ư ∵E 为BC 的中点,∴BC ⊥ AEư ƺƺ２ 分 又 ∵AP ⊥ 平面PBC ,BC ⊂ 平面PBC , ∴BC ⊥ APư ƺƺ４ 分 ∵ AP ∩AE＝ A ,AP,AE ⊂ 平面PAE , ∴BC ⊥ 平面PAEư ƺƺ６ 分 (Ⅱ)∵ AP ⊥ 平面PBC ,PB ⊂ 平面PBC ,∴ AP ⊥PB ． 又 ∵ AB ＝２,PA ＝１,∴PB ＝ ３ ．由(Ⅰ),BC ⊥ 平面PAE ,PE ⊂ 平面PAE ,∴BC ⊥PE ． 又 ∵E 为BC 的中点,∴PB ＝PC ＝ ３ ,EC ＝１．∴PE ＝ ２ ．如图,过点P 作BC 的平行线PQ , 则PQ,PE,PA 两两互相垂直 ． ƺƺ７ 分 以P 为坐标原点,PE→,PQ→,PA→ 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图所 示的空间直角坐标系Pxyz ． 则P(０,０,０),A(０,０,１),B(２,－１,０),C(２,１,０),D(０,２,１)． ƺƺ８ 分 设平面BAP 的一个法向量m ＝(x１,y１,z１),PA→ ＝(０,０,１),PB→ ＝(２,－１,０)． 由 mŰPA→ ＝０ mŰPB→ ＝０ { ,得 z１ ＝０ ２x１ －y１ ＝０ { ．取 m ＝(１,２,０)． ƺƺ９ 分 设平面CDP 的一个法向量n＝(x２,y２,z２),PC→ ＝(２,１,０),PD→ ＝(０,２,１)． 由 nŰPC→ ＝０ nŰPD→ ＝０ { ,得 ２x２ ＋y２ ＝０ ２y２ ＋z２ ＝０ { ． 取n＝(１,－ ２,２ ２)． ƺƺ１０ 分 ∴cos‹m,n ›＝ －１ ３Ű １１ ＝－ ３３ ３３ ． ƺƺ１１ 分 ∴ 平面BAP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为 ３３ ３３ ． ƺƺ１２ 分 数学(理科)“一诊”考试题参考答案 　 第 ３　　　　 页(共 ４ 页) ２０．解:(Ⅰ)f′(x)＝a－１x ＋１－a x２ ＝x２ ＋ (a－１)x－a x２ ＝(x－１)(x＋a) x２ ． ƺƺ１ 分 ∵x ＞０,a ∈ R, ∴ 当a ≥０ 时,x＋a＞０,函数f(x)在 (０,１)内单调递减,在 (１,＋ ∞ )内单调递增; ƺƺ２ 分 当 －１＜a ＜０ 时,０＜－a ＜１,函数f(x)在 (０,－a)内单调递增,在 (－a,１)内单 调递减,在 (１,＋ ∞ )内单调递增; ƺƺ３ 分 当a＝－１ 时,f′(x)＝(x －１)２ x２ ≥０,函数f(x)在 (０,＋ ∞ )内单调递增; ƺƺ４ 分 当a ＜－１ 时,－a ＞１,函数f(x)在 (０,１)内单调递增,在 １,－a( ) 内单调递减,在 (－a,＋ ∞ )内单调递增． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)当a＜－１ 时,由(Ⅰ)得,函数f(x)在 １,－a( ) 内单调递减,在 (－a,＋∞ )内单 调递增．函数f(x)在 (１,＋ ∞ )内的最小值为f(－a)＝(a－１)ln －a( ) －a－１． ƺƺ６ 分 欲证不等式f(x)＞－a－a２ 成立,即证 －a－a２ ＜ (a－１)ln(－a)－a－１,即证a２ ＋ (a－１)ln(－a)－１＞０． ƺƺ７ 分 ∵a ＜－１,∴ 只需证 ln(－a)＜－a－１． ƺƺ８ 分 令h(x)＝lnx －x ＋１(x ≥１)．∵h′(x)＝１x －１＝ －(x －１) x ≤０, ∴ 函数h(x)在 [１,＋ ∞ )内单调递减,h(x)≤h(１)＝０． ƺƺ１０ 分 ∵a ＜－１,∴ －a ＞１． ∴h(－a)＝ln(－a)＋a＋１＜０,即当a ＜－１ 时,ln(－a)＜－a－１ 成立． ƺƺ１１ 分 ∴ 当a ＜－１ 时,∀x ∈ (１,＋ ∞ ),f(x)＞－a－a２． ƺƺ１２ 分 ２１．解:(Ⅰ)由题,F(１,０),令直线 AB :x ＝my＋１(m ∈ R),A(x１,y１),B(x２,y２)． 联立 x ＝my＋１x２ ２ ＋y２ ＝１{ ,消去x ,得 (m２ ＋２)y２ ＋２my－１＝０． ∵Δ ＝４m２ ＋４(m２ ＋２)＞０,y１ ＋y２ ＝－ ２m m２ ＋２ ,y１y２ ＝－ １m２ ＋２ , ƺƺ２ 分 ∴|y１ －y２|＝ (y１ －y２)２ ＝ (y１ ＋y２)２ －４y１y２ ＝２ ２Ű m２ ＋１m２ ＋２ ． ƺƺ３ 分 ∴ 四边形OAHB 的面积S ＝１ ２ |OH |Ű|y１ －y２|＝|y１ －y２|＝２ ２Ű m２ ＋１m２ ＋２ ． ƺƺ４ 分 令 m２ ＋１＝t,∴t≥１,∴S ＝２ ２t t２ ＋１ ＝ ２ ２ t＋ １t ． ∵t＋１t ≥２(当且仅当t＝１ 即 m＝０ 时取等号),∴０＜S≤ ２ ． ƺƺ５ 分 ∴ 四边形OAHB 面积的取值范围为 (０,２]． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)∵B(x２,y２),D(２,y１),∴ 直线BD 的斜率k＝ y１ －y２ ２－x２ ． 数学(理科)“一诊”考试题参考答案 　 第 ４　　　　 页(共 ４ 页) ∴ 直线BD 的方程为y－y１ ＝ y１ －y２ ２－x２ (x －２)． ƺƺ７ 分 令y＝０,得x ＝ x２y１ －２y２ y１ －y２ ＝ my１y２ ＋y１ －２y２ y１ －y２ ．ƺƺ① ƺƺ９ 分 由(Ⅰ),y１ ＋y２ ＝－ ２m m２ ＋２ ,y１y２ ＝－ １m２ ＋２ ,∴y１ ＋y２ ＝２my１y２． ƺƺ１０ 分 化简 ①,得x ＝ １ ２ (y１ ＋y２)＋y１ －２y２ y１ －y２ ＝ ３ ２ (y１ －y２) y１ －y２ ＝３ ２ ． ƺƺ１１ 分 ∴ 直线BD 过定点E(３ ２ ,０)． ƺƺ１２ 分 ２２．解:(Ⅰ)由题,知点Q 的轨迹是以(２,０)为圆心,２ 为半径的圆． ƺƺ２ 分 ∴ 曲线C２ 的方程为(x－２)２ ＋y２ ＝４． ƺƺ３ 分 ∵ρ２ ＝x２ ＋y２,x ＝ρcosθ ,y＝ρsinθ , ∴ 曲线C１ 的极坐标方程为ρ＝４sinθ , ƺƺ４ 分 曲线C２ 的极坐标方程为ρ＝４cosθ ． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)在极坐标系中,设点 A,B 的极径分别为ρ１,ρ２． ∴|AB|＝|ρ１ －ρ２|＝４|sinπ ６ －cosπ ６|＝２(３－１)． ƺƺ７ 分 又 ∵ 点 M (３,π ２ )到射线θ＝π ６ (ρ ≥０)的距离为h＝３sinπ ３ ＝３ ３ ２ ． ƺƺ９ 分 ∴ △MAB 的面积S ＝１ ２ |AB|Űh＝９－３ ３ ２ ． ƺƺ１０ 分 ２３．解:(Ⅰ)原不等式化为|x －３|≥４－|２x ＋１|,即|２x ＋１|＋|x －３|≥４． ƺƺ１ 分 当x ≤ － １ ２ 时,不等式化为 －２x －１－x ＋３≥４,解得x ≤ － ２ ３ ,故x ≤ － ２ ３ ; ƺƺ２ 分 当 － １ ２ ＜x ＜３ 时,不等式化为 ２x ＋１－x ＋３≥４,解得x ≥０,故 ０≤x ＜３; ƺƺ３ 分 当x ≥３ 时,不等式化为 ２x ＋１＋x －３≥４,解得x ≥２,故x ≥３． ƺƺ４ 分 ∴ 原不等式的解集为 x|x{ ≤ － ２ ３ 或x ≥０ } ． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)∵f(x)＝|x －３|, ∴|x ＋ ３ ２ |－f(x)＝|x ＋ ３ ２ |－|x －３|≤|(x ＋ ３ ２ )－ (x －３)|＝９ ２ , 当且仅当 (x ＋ ３ ２ )(x －３)≥０ 且|x ＋ ３ ２ |≥|x －３|时取等号． ƺƺ７ 分 又 ∵ １m ＋ ４n ＝２(m ＞０,n ＞０), ∴ m ＋n＝１ ２ (m ＋n)(１m ＋ ４n )＝１ ２ (５＋n m ＋４m n )≥ １ ２ (５＋２ n m Ű４m n )＝９ ２ , 当且仅当 n m ＝４m n 时取等号． ƺƺ９ 分 ∴ m ＋n ≥|x ＋ ３ ２ |－f(x)成立． ƺƺ１０ 分 成都文通网络科技发展有限公司监制 文通数字化校园运营部绘制 成都市 2017 级高中毕业班第一次诊断性检测 理科数学答题卡 缺考标记/违纪标记： 考生禁填！由监考老 师负责用黑色字迹的 签字笔填涂。 缺考标记：Q 违纪标记：W 注 意 事 项 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写 清楚。 2. 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方 框内。 3. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 黑色字迹的签字笔填写，字迹工整。 4. 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围 的答案无效，在草稿纸、试卷上作答无效。 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不 准使用涂改液、刮纸刀。 涂 点 填 涂 样 例 有效填涂 $ 无效填涂 %^&* 第一部分 客观题(请用 2B 铅笔填涂) @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ $ 一、单选题（每小题 5 分） $ $ 1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D $ $ 2 A B C D 7 A B C D 12 A B C D $ $ 3 A B C D 8 A B C D $ $ 4 A B C D 9 A B C D $ $ 5 A B C D 10 A B C D $ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 姓名:____________班级:________ 准 考 证 号 第二部分 主观题(请用黑色签字笔作答) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.（12 分） 18.（12 分） 续 17 题： 19.（12 分） 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分） 13、 14、 15、 16、 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 条形码粘贴处 理科数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20.（12 分） 21.（12 分） 选考题（10 分） 请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题计分。答题前务必用 2B铅笔在答题卡上将所选题目题号后的 方框涂黑。 我所选择的题号是：22 □ 23 □ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效