高考数学专题复习练习：综合检测卷(二)

高考数学专题复习练习：综合检测卷(二)

综合检测卷(二)‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．‎ ‎2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．‎ ‎3．本次考试时间120分钟，满分160分．‎ ‎4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．‎ 第Ⅰ卷 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)‎ ‎1．(2017·贵州调研)设集合A＝，B＝，则A∩B＝________.‎ ‎2．复数的共轭复数是________．‎ ‎3．(2016·扬州期末)已知函数f(x)＝sin(2x＋)(0≤x<π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，则α＋β＝________.‎ ‎4．(2016·泰州一模)执行如图所示的伪代码，当输入a，b的值分别为1,3时，最后输出的a的值为________．‎ Read　a，b i←1‎ While　i≤2‎ ‎ a←a＋b ‎ b←a－b ‎ i←i＋1‎ End　While Print　a ‎5．已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为________．‎ ‎6.(2016·苏州一模)如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，点F为DE的中点，则·的值为________．‎ ‎7．(2016·苏州模拟)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．‎ ‎8．(2016·盐城模拟)已知正项数列的前n项和为Sn，若和都是等差数列，且公差相等，则a6＝________.‎ ‎9．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝(x＞0)的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________．‎ ‎10．(2016·云南名校联考)实数x，y，k满足z＝x2＋y2，若z的最大值为13，则k的值为________．‎ ‎11．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一枚骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．‎ ‎12．(2016·南京模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，以F为圆心且和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，若MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为________．‎ ‎13．已知f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________．‎ ‎14．(2015·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为________．‎ 第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)(2016·扬州调研)已知函数f(x)＝a(2cos2＋sin x)＋b.‎ ‎(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；　‎ ‎(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值.‎ ‎16．(14分)(2016·广东六校联考二)如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB ‎＝AC＝λAA′，点M，N分别是A′B和B′C′的中点．‎ ‎(1)求证：MN∥平面A′ACC′；‎ ‎(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．‎ ‎17.(14分)(2016·无锡模拟)某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．‎ ‎(1)求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；‎ ‎(2)设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的概率分布及均值.‎ ‎18.(16分)(2016·镇江模拟)已知数列的前n项和Sn＝，a1＝1.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝ln an，是否存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19.(16分)过抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2.l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB为直径的圆M和以CD为直径的圆N(M，N为圆心)的公共弦所在的直线记为l.‎ ‎(1)若k1＞0，k2＞0，证明：·＜2p2；‎ ‎(2)若点M到直线l距离的最小值为，求抛物线E的方程.‎ ‎20.(16分)(2016·南京模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.‎ ‎(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，试求g(x)的表达式；‎ ‎(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围；‎ ‎(3)证明不等式：＜＋＋＋…＋＜＋1＋＋＋…＋.‎ 答案解析 ‎1．(－1,3)‎ 解析　因为集合A＝(－3,3)，B＝(－1,5]，所以A∩B＝(－1,3)．‎ ‎2．－i 解析　∵＝＝＝i，∴的共轭复数为－i.‎ ‎3. 解析　由0≤x<π，得≤2x＋<，‎ 由f(α)＝f(β)＝，且α≠β，不妨设α<β，则2α＋＝，2β＋＝，解得α＝，β＝，则α＋β＝.‎ ‎4．5‎ 解析　第一次循环，a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1，i＝1＋1＝2，第二次循环，a＝4＋1＝5，b＝5－1＝4，i＝2＋1＝3，结束循环，∴最后输出的a为5.‎ ‎5．3‎ 解析　因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C×(－2)＝－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为Ca＝4a，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为1×4a＋1×(－10)＝2，所以a＝3.‎ ‎6．4‎ 解析　由题意得DA＝AE＝2，∵∠BAC＝60°，‎ ‎∴△ADE为等边三角形，∴DE＝2，∠ADE＝60°，‎ ‎∴·＝(＋)· ‎＝·＋·＝·＋· ‎＝2×2×＋×2×2＝4.‎ ‎7．3‎ 解析　由题意得，y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝(x＋)≥3，‎ 当且仅当x＝y＝1时，等号成立．‎ ‎8. 解析　设的公差为d，由题意得，＝ ＝ ，‎ 又和都是等差数列，且公差相同，‎ ‎∴　解得 a6＝a1＋5d＝＋＝.‎ ‎9．π 解析　∵y＝(x＞0)，∴yx2－2x＋y＝0，将其视为关于x的一元二次方程，设x1，x2是其两根，∴绕x轴旋转而成的几何体的体积V＝πy2|x1－x2|＝πy2·＝2π ≤π，当且仅当y2＝，即y＝时等号成立．‎ ‎10．2‎ 解析　作出满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示，‎ z＝x2＋y2的最大值为13，即OA2＝13，而A(k，k＋1)，‎ 所以k2＋(k＋1)2＝13，解得k＝2或k＝－3(舍去)．‎ ‎11. 解析　第一关，要抛掷一枚骰子1次，如果这次抛掷所出现的点数大于1，就过关，分析可得，共6种情况，即出现点数为1,2,3,4,5,6，有5种符合条件，故过第一关的概率为；第二关，要抛掷一枚骰子2次，如果这两次抛掷所出现的点数之和大于4就过关，分析可得，共36种情况，点数之和小于等于4的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种不同的情况，则出现点数之和大于4的有30种，故过第二关的概率为＝.‎ 由相互独立事件的概率乘法公式，可得连过前两关的概率是×＝.‎ ‎12. 解析　依题意F(c,0)到双曲线的渐近线y＝x的距离为d＝＝b，又M为圆上的点且MF与双曲线的实轴垂直，∴M的坐标为(c，b)，代入双曲线方程得－＝1，‎ ‎∴双曲线C的离心率e＝＝.‎ ‎13．1‎ 解析　因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0,2)上的最大值为－1，当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0，得x＝，又a＞，所以0＜＜2.令f′(x)＞0，得x＜，所以f(x)在(0，)上单调递增；令f′(x)＜0，得x＞，所以f(x)在(，2)上单调递减．‎ 所以当x∈(0,2)时，f(x)max＝f()＝ln －a·＝－1，所以ln ＝0，所以a＝1.‎ ‎14．2‎ 解析　当x>2时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2；‎ 当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x；‎ 当x<0时，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋x.‎ 由于函数y＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数．‎ 当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝或x＝(舍去)；‎ 当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解；‎ 当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝或x＝(舍去)．‎ 所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.‎ ‎15．解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin(x＋)＋a＋b.‎ ‎(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin(x＋)＋b－1，‎ 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z.‎ ‎(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，‎ ‎∴－≤sin(x＋)≤1，依题意知a≠0.‎ ‎①当a＞0时， ‎∴a＝3－3，b＝5.‎ ‎②当a＜0时， ‎∴a＝3－3，b＝8.‎ 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.‎ ‎16．(1)证明　方法一　连结AB′，AC′.‎ ‎∵点M为A′B的中点，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，‎ ‎∴M为AB′的中点，‎ 又点N为B′C′的中点，‎ ‎∴MN∥AC′，‎ 又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，‎ ‎∴MN∥平面A′ACC′.‎ 方法二　取A′B′的中点P，连结MP，NP.‎ ‎∵点M，N分别为AB′和B′C′的中点，‎ ‎∴MP∥AA′，PN∥A′C′，‎ ‎∴MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，‎ 又MP∩NP＝P，‎ ‎∴平面MPN∥平面A′ACC′，‎ 又MN⊂平面MPN，‎ ‎∴MN∥平面A′ACC′.‎ ‎(2)解　以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA′所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A—xyz.‎ 设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，‎ ‎∴A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0,1)，C′(0，λ，1)，‎ ‎∴M(，0，)，N(，，1)，‎ 则＝(，0，－)，＝(0，，)，＝(－，，－1)，‎ 设m＝(x1，y1，z1)是平面A′MN的法向量，‎ 由得 令x1＝1，则m＝(1，－1，λ)，‎ 设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，‎ 由得 令z2＝λ，则n＝(－3，－1，λ)．‎ ‎∵二面角A′－MN－C为直二面角，‎ ‎∴m·n＝0，即(1，－1，λ)·(－3，－1，λ)＝－3＋1＋λ2＝0，解得λ＝或λ＝－(舍去)．‎ ‎17．解　这5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率为＝，‎ 获得B奖品的概率为＝.‎ ‎(1)因为获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数，则获得A奖品的人数可能为3,4,5，则所求概率为P＝C()3()2＋C()4()＋C()5＝＝.‎ ‎(2)ξ的可能取值为1,3,5，‎ 则P(ξ＝1)＝C()3()2＋C()2()3＝，‎ P(ξ＝3)＝C()4()＋C()()4＝，‎ P(ξ＝5)＝C()5＋C()5＝，‎ 所以ξ的概率分布是 ξ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ P 故随机变量ξ的均值E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝.‎ ‎18．解　(1)方法一　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，‎ 即＝(n≥2)．‎ 所以数列是首项为＝1的常数列．‎ 所以＝1，‎ 即an＝n(n∈N*)，‎ 所以数列的通项公式为an＝n(n∈N*)．‎ 方法二　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，‎ 即＝(n≥2)．‎ 所以an＝××…×××a1‎ ‎＝××…×××1＝n.‎ 因为a1＝1，符合an的表达式．‎ 所以数列的通项公式为an＝n(n∈N*)．‎ ‎(2)假设存在k(k≥2，k∈N*)，‎ 使得bk，bk＋1，bk＋2成等比数列，‎ 则bkbk＋2＝b.‎ 因为bn＝ln an＝ln n(n≥2)，‎ 所以bkbk＋2＝ln k·ln(k＋2)＜[]2‎ ‎＝[]2＜[]2‎ ‎＝[ln(k＋1)]2＝b.‎ 这与bkbk＋2＝b矛盾．‎ 故不存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比数列．‎ ‎19．(1)证明　由题意知抛物线E的焦点为F(0，)，‎ 直线l1的方程为y＝k1x＋.‎ 由得x2－2pk1x－p2＝0.‎ 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.‎ 所以点M的坐标为(pk1，pk＋)，＝(pk1，pk)．‎ 同理可得点N的坐标为(pk2，pk＋)，＝(pk2，pk)．‎ 于是·＝(pk1，pk)·(pk2，pk)＝p2(k1k2＋kk)．‎ 又k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，‎ 所以0＜k1k2＜()2＝1.‎ 故·＜p2(1＋12)＝2p2.‎ ‎(2)解　由(1)及抛物线的定义知 FA＝y1＋，FB＝y2＋，‎ 所以AB＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，‎ 从而圆M的半径r1＝pk＋p，‎ 故圆M的方程为(x－pk1)2＋(y－pk－)2＝(pk＋p)2，‎ 化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0.‎ 同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.‎ 于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0.‎ 又k2－k1≠0，k1＋k2＝2.‎ 所以直线l的方程为x＋2y＝0.‎ 因为p＞0，所以点M到直线l的距离d＝＝＝.‎ 故当k1＝－时，d取最小值.‎ 故＝，解得p＝8.‎ 故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.‎ ‎20．(1)解　由已知得f′(x)＝，g′(x)＝a，‎ 所以f′(1)＝1＝a，即a＝2.‎ 又因为g(1)＝0＝a＋b，所以b＝－1，‎ 所以g(x)＝x－1.‎ ‎(2)解　因为φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，‎ 所以φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立(等号不恒成立)，‎ 即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，‎ 则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)．‎ 因为x＋∈[2，＋∞)．‎ 所以2m－2≤2，m≤2.‎ ‎(3)证明　由(1)可得，当x≥2时，ln x＜x－1≤(x－1)，‎ 所以由ln x＜x(x－1)，得＜，‎ 所以2(－)＜.‎ 当x＝2时，2×(－)＜，‎ 当x＝3时，2×(－)＜，‎ 当x＝4时，2×(－)＜，‎ ‎…‎ 当x＝n＋1时，2(－)＜，n∈N*，n≥2.‎ 上述不等式相加得2(1－)＜＋＋＋…＋，‎ 即＜＋＋＋…＋.①‎ 由(2)可得当m＝2时，φ(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，‎ 所以当x＞1时，φ(x)＜φ(1)＝0，即－ln x＜0，‎ 所以ln x＞，从而得到＜·.‎ 当x＝2时，＜×，‎ 当x＝3时，＜×，‎ 当x＝4时，＜×，‎ ‎…‎ 当x＝n＋1时，＜·，n∈N*，n≥2.‎ 上述不等式相加得＋＋＋…＋ ‎＜(＋＋＋…＋)‎ ‎＝(n＋＋＋＋…＋)‎ ‎＝＋1＋＋＋…＋，‎ 即＋＋＋…＋ ‎＜＋1＋＋＋…＋.②‎ 由①②得，＜＋＋＋…＋＜＋1＋＋＋…＋(n∈N*，n≥2)．‎