2017-2018学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试数学试题

‎2017-2018学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试 ‎ 数学试题 2017.11.6‎ 一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．不等式的解集是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的(　　)‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知命题；命题，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A．命题是假命题 B．命题是真命题 ‎ C．命题是真命题 D．命题是真命题 ‎4．在中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若，则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎5．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a,b,c成等比数列，且，则（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设是等差数列的前n项和，已知，则等于（ ）‎ ‎ A．13 B．35 C．49 D．63‎ ‎7．在由正数组成的等比数列中，若, 则的值为（ ）‎ ‎ A．3 B．9 C．27 D．81‎ ‎8．下列不等式正确的是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎9．已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知数列满足，则的通项公式为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是( 　)‎ ‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎12．若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13．若满足约束条件 则的最小值为_____________．‎ ‎14．已知函数，若对任意的都有，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎15．在中，角所对的边分别为，且满足，则 的最大值是__________．‎ ‎16．已知M是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是 .‎ ‎三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知命题p：对任意实数x都有恒成立；命题q：关于x的方程有实数根，如果命题p与命题q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足．‎ ‎ （1）求角A的大小；‎ ‎ （2）若，求的面积．‎ ‎19．（12分）某中学初一年级500名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎20．（12分）已知数列的前n项和．‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）令，求数列的前n项和．‎ ‎21．（12分）如图，和所在平面互相垂直，且，‎ ‎ 分别为AC、DC、AD的中点 ‎（1）求证：平面BCG；‎ ‎（2）求三棱锥D-BCG的体积．‎ ‎22．（12分）已知等差数列的前n项和，且，数列满足 ‎．‎ ‎ （1）求数列，的通项公式；‎ ‎ （2）记为数列的前n项和，，试问是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 ‎1．D ‎2．A 【解析】 当a＝3时，直线ax＋2y＋2a＝0即3x＋2y＋6＝0，直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0即3x＋2y＋4＝0，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线ax＋2y＋2a＝0与直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行时，能得出a＝3或a＝－2．综上所述，选A．‎ ‎3．C 【解析】 命题中，的最大值为，所以为假命题；命题中，判别式小于，所以为真命题，所以命题是真命题，命题是假命题，命题是真命题，命题是假命题．‎ ‎4．D【解析】由三角形的性质及正弦定理知，‎ ‎，又∵，∴，故选D.‎ ‎5. C【解析】因为成等比数列，所以有，且，由余弦定理推论得，故正确答案是C.‎ ‎6．C【解析】‎ ‎7．C【解析】根据等比数列的性质可得，，故选C.‎ ‎8．B 【解析】当x＞0时，，当x＜0时，，所以，故A不正确，B正确；由于x＞0，所以，当且仅当，即时取等号，故C不正确；当时，，时，，故D不正确.‎ ‎9．C 【解析】设圆的半径为，则，‎ ‎∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，故所求的轨迹方程为 ‎.‎ ‎10．C【解析】由得，∴‎ ‎，∴，当时也符合，∴数列的通项公式为.‎ ‎11．A 【解析】∵，∴，即，∵，‎ ‎∴，∴∴，‎ ‎∵为三角形内角，所以B=C，即三角形ABC为等腰三角形．‎ ‎12．B 【解析】 ，即，且，‎ 在同一坐标系中，画出和的图象，‎ 当函数的图象的左支经过点时，‎ 求得，当函数的图象的右支和 的图象相切时，方程组有唯一的解，即有唯一的解，故，解得，所以实数的取值范围是，故选B．‎ ‎13．【解析】如图所示，当目标函数 经过点时取得最小值，即.‎ ‎14．【解析】根据题意得，‎ 即，解得.‎ ‎15． 【解析】由，得因为在三角形中，所以，∴= ， ，所以的最大值为1.‎ ‎16．18【解析】，得，‎ ‎∴，即，∴，∴‎ ‎∴，当且仅当即时取等号.‎ ‎17．【解析】对任意实数都有恒成立或；‎ 关于的方程有实数根；‎ 若真，且假，有，且，∴；‎ 若真，且假，有或，且，∴．‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎18．【解析】（1）由余弦定理得：，∵∴.‎ ‎（2）由，得，∵，由余弦定理得 解得，∴.‎ ‎19．．‎ ‎【解析】（1）根据频率分布直方图可知，‎ 样本中分数不小于70的频率为，‎ 所以样本中分数小于70的频率为.‎ 所以从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4；‎ ‎（2）样本中分数 不小于70的学生人数为；‎ ‎∴样本中分数不小于70的男生人数为，∴样本中的男生人数为，‎ 女生人数为，男生和女生人数的比例为；‎ ‎ ∴根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.‎ ‎20．【解析】（1）当时，；‎ 当时，，也符合，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎21．【解析】（1）由已知得，是的中位线，故，‎ 则可转化为证明平面BCG．易证，‎ 则有，则在等腰三角形和等腰三角形中，是中点，‎ 故，．从而平面BCG，进而平面BCG；‎ ‎（2）在平面内，作，交的延长线于O，由平面平面，‎ 知平面.又∵ G为AD的中点，因此G到平面BCD的距离 是AO长度的一半；在中，；‎ ‎∴‎ ‎22．【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则 由题意得，∴数列是等比数列，且首项和公比都是，.‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 两式相减得： ，；‎ ‎；‎ ‎ 当时，；当时，；‎ ‎ ∴存在最大值为.‎