数学理卷·2017届甘肃省武威第二中学高三下学期第一次模拟考试（2017

数学理卷·2017届甘肃省武威第二中学高三下学期第一次模拟考试（2017

武威二中2016-2017学年高三第一次模拟考试 理科数学试题 出题人 崔国栋 王祥权 ‎ 第Ⅰ卷（60分）‎ 一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. D.　‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.在中，，，，那么等于（ ）‎ A． B． C. 1 D．‎ ‎4. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）‎ A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎5.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：‎ ‎①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；‎ ‎③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（　　）‎ ‎ A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③‎ ‎6.抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ）‎ ‎ A . B.‎ ‎ C. D. ‎ ‎7.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：‎ ‎ ①，②，③，④，则输出的函数是（   ） ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( ) ‎ ‎ （A）（B） （C） （D）‎ ‎10．如图所示，两个不共线向量,的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（   ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数若且，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（   ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d=　　‎ ‎14.已知向量，，则      ．‎ ‎15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为______．‎ ‎16.从圆内任取一点，则到直线的距离小于的概率____.‎ 三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. （本小题满分12分） 已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求证：．‎ ‎18.(本小题满分12分)在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数 为60‎ ‎ ‎ ‎（I）请在图中补全频率分布直方图；‎ ‎（II）若大学决定在成绩高的第，，组中用分层抽样的方法抽取名学生进行面试.‎ ① 若大学本次面试中有、、三位考官，规定获得两位考官的认可即面试 成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；‎ ‎②若大学决定在这名学生中随机抽取名学生接受考官的面试，第组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论 ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知点,椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程 ‎21（本小题满分12分）已知函数，其中 若在x=1处取得极值，求a的值；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线 (t为参数)， (为参数)．‎ ‎（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ 武威二中2016—2017学年度高三年级 第二学期数学理科第一次模拟试题答案 ‎ ‎ 一 选择题 1---5CBBAC， 6—10DBDAB,,11A 12B 二 填空题 13 3；14 -3；15 5∏；16 ‎ 三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17 解(1); , (1) (2)‎ ‎(1)-(2),得,,，。。。。。。6分 ‎(2),。。。。。。。。。。。。12分 ‎18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为，所以总人数为：，由直方图可知，第五组人数为:人，又为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为： 75人，第三组人数为：90人 O ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ ‎0.08‎ ‎0.01‎ ‎0.03‎ ‎0.05‎ ‎0.07‎ ‎-------------------4分 ‎19(本小题满分12分)‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明：因为，，‎ 在△中，由余弦定理可得，‎ 所以 ． 又因为 ， ‎ 所以平面． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ‎（Ⅱ） 线段上不存在点，使平面平面．证明如下：‎ ‎ 因为平面，所以．‎ 因为，所以平面． ‎ 所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系． ‎ 在等腰梯形中，可得． ‎ 设，所以．‎ 所以 ，，．‎ 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ...........8分 ‎ ‎ ‎ 假设线段上存在点，设 ，所以． ‎ 设平面的法向量为，则有 ‎ 所以 取 ，得． ‎ 要使平面平面，只需， 。。。。。。。。。10分 ‎ 即 ， 此方程无解．‎ 所以线段上不存在点，使平面平面． 。。。。。。。。。。。。。。。。12分 ‎ ‎20 解析：（I）设，由条件知，得，又，所以，，故的方程为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 ‎（II）当轴时不合题意，故可设，，‎ 将代入中得，当时,即, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 由韦达定理得 从而 又点到直线的距离为 所以的面积。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 法一：设，则，，因为,当且仅当，即时等号成立，且满足.所以当的面积最大时，的方程为 或【来源：全,品…中&高*考+网】。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 法二：令，则 当时， 即 ， ，时等号成立，且满足.‎ 所以的面积最大时，的方程为或 考点：椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式，二次分式类函数最值的求法 ‎ ‎21（本小题满分12分）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 解（Ⅰ）‎ ‎∵在x=1处取得极值，∴解得.。。。。。。5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎∵ ∴‎ ‎①当时，在区间∴的单调增区间为 ‎②当时，‎ 由 ‎∴。。。。。。。。。。8分 故当时，，‎ 当时，由②知，在处取得最小值 综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是。。。。。。。。。12分22 解：⑴‎ 曲线为圆心是，半径是1的圆．‎ 曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分 ‎⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则 所以. 。。。。。。。。。。。。10分 方法二，直线方程为，圆心到直线的距离为 ‎23 【解析】不等式化为，则 ‎，或，或，……………………3分 解得，‎ 所以不等式的解集为．……………………5分 ‎（2）不等式等价于，即 ‎，‎ 由绝对值三角不等式知．……………………8分 若存在实数，使得不等式成立，则，解得，‎ 所以实数的取值范围是．……………………10分