【数学】2018届一轮复习人教A版等比数列学案

【数学】2018届一轮复习人教A版等比数列学案

‎　‎ ‎1.理解等比数列的概念．‎ ‎2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．‎ ‎4．了解等比数列与指数函数的关系．‎ 知识点一　等比数列的有关概念 ‎ ‎1．等比数列的定义 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比等于________非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q(q≠0)表示．‎ 数学语言表达式：＝____(n≥2)，q为常数．‎ ‎2．等比中项 如果________成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒________.‎ 答案 ‎1．2　同一个　公比　q ‎2．a，G，b　G2＝ab ‎1．将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a‎1a2，a‎2a3，a‎3a4，….此数列是(　　)‎ A．公比为q的等比数列　　　 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列 答案：B ‎2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 解析：根据等比数列的性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am，ak，an成等比数列，故选D.‎ 答案：D 知识点二　等比数列的通项公式及前n项和公式 ‎ ‎1．若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝__________；‎ 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝__________.‎ ‎2．等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝__________＝.‎ 答案 ‎1．a1qn－1　amqn－m　2. ‎3．在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则q＝________，S4＝________.‎ 答案：－4　51‎ ‎4．(必修⑤P62习题2.5B组第2题改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.‎ 解析：S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，由＝知S6＝S3，则S＝S3·(S9－S6)，所以S9＝S3，所以＝.‎ 答案： 热点一　　等比数列的基本量计算 ‎ ‎【例1】　(1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________．‎ ‎(2)(2017·石家庄模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,‎3a2，a3＋4构成等差数列，则an＝________.‎ ‎【解析】　(1)设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a‎1a2…an≤a‎1a2a3a4＝64.‎ ‎(2)由已知得： 解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7.即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.由题意知q>1，所以q＝2，所以a1＝1.‎ 故数列{an}的通项为an＝2n－1.‎ ‎【答案】　(1)64　(2)2n－1‎ ‎【总结反思】‎ 等比数列运算的思想方法 ‎(1)方程思想：设出首项a1和公比q，然后将通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．‎ ‎(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用a1，q表示，寻求两者联系，整体代换即可求．‎ ‎(3)利用性质：运用等比数列性质，可以化繁为简、优化解题过程.‎ ‎(1)在正项等比数列{an}中，an＋10，因此，S20＝30，S20－S10＝20，S40＝70＋80＝150.‎ 答案：(1)－　(2)(1－2－3n)　(3)A ‎1．特别注意q＝1时，Sn＝nan这一特殊情况．‎ ‎2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ ‎4．判断数列为等比数列的方法 ‎(1)定义法：＝q(q是不等于0的常数，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列；也可用＝q(q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．‎ ‎(2)等比中项法：a＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．‎