【数学】2019届一轮复习人教A版导数与函数的极值学案
第15讲 导数与函数的极值、最值
考纲要求
考情分析
命题趋势
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
2017·全国卷Ⅱ，11
2017·北京卷，19
2016·天津卷，20
2016·山东卷，20
利用导数求函数的极值、最值，热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大．
分值：5～8分
1．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__都小__，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__f′(x)<0__，右侧__f′(x)>0__，则点x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__f′(x)>0__，右侧__f′(x)<0__，则点x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．
2．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数f(x)在区间(a，b)内一定存在最值．( × )
(2)函数的极大值一定比极小值大．( × )
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( × )
(4)函数的最大值不一定是极大值，最小值也不一定是极小值．( √ )
2．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，那么a＝( A )
A．2 B．1
C． D．0
解析 f′(x)＝acos x＋cos 3x(x∈R)，又f(x)在x＝处有最值，故x＝是函数f(x)的极值点，所以f′＝acos ＋cos π＝0，即a＝2，故选A．
3．函数y＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为( A )
A．0 B．
C． D．
解析 ∵y′＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，则x＝1，而f(1)＝>0，f(0)＝0，f(4)＝>0，∴最小值为0，故选A．
4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.
5．设函数f(x)＝xex，则( D )
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析 求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．
一 利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数极值问题的步骤
【例1】 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
∴曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝(x>0)可知，
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值．
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
【例2】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( A )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
(2)(2017·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是！！！ ###.
解析 (1)因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1．因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1＝(x＋2)(x－1)·ex－1．令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2
0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在上的最大值．
解析 (1)由题意可知f(1)＝－，f′(1)＝0.
由于f′(x)＝－2bx(x>0)，
所以解得
(2)由(1)知f(x)＝ln x－(x>0)，
令f′(x)＝－x＝＝0(x>0)，得x＝1．
故函数f(x)在上是增函数，在[1，e]上是减函数，
所以函数f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
【例4】 (2018·湖北武昌实验中学月考)设f(x)＝ax－ln x，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解析 假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x(x∈(0，e])有最小值3，
f′(x)＝a－＝(00；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，故选D．
2．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝__1__.
解析 f′(x)＝(x－m)2＋2x(x－m)＝(x－m)(3x－m)．
∵f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，
∴f′(1)＝0，即(1－m)(3－m)＝0，解得m＝1或m＝3.
当m＝1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，当1时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取得极小值，即m＝1符合题意．
当m＝3时，f′(x)＝(x－3)(3x－3)＝3(x－1)(x－3)．
当x<1时，f′(x)>0；当10，得或
解得x<－2或x>－ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln 2)
－ln 2
(－ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由上表可知，函数f(x)的极大值为f(－2)＝4(1－e－2)，极小值为f(－ln 2)＝2＋2ln 2－(ln 2)2.
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0 ，①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0 ，②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4，所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示.
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
单调递增
13
单调递减
单调递增
4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
易错点 分类不完全，混淆概念
错因分析：对参数的分类讨论不完全．
【例1】 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．
解析 (1)当a＝－4时，f(x)＝(4x2－16x＋16)，
则f′(x)＝，其中x>0.
由f′(x)>0，得02.
故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝，a<0，
由f′(x)＝0，得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增，当x∈时，
f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上有，a＝－10.
【跟踪训练1】 设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．
解析 由题意知函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝＋a(2x－1)＝.
令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．
①当a＝0时，g(x)＝1，此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点．
②当a>0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．
a．当0时，Δ>0，
设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1－.
由g(－1)＝1>0，可得－10，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
因此函数有两个极值点．
③当a<0时，Δ>0，由g(－1)＝1>0，可得x1<－1．
当x∈(－1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
所以函数有一个极值点．
综上所述，当a<0时，函数f(x)有一个极值点；
当0≤a≤时，函数f(x)无极值点；
当a>时，函数f(x)有两个极值点．
课时达标 第15讲
[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、或者已知最值求参数等问题．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．
一、选择题
1．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为( D )
A． B．
C．∪ D．∪
解析 若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有根，故Δ＝(－4c)2－12>0，从而c>或c<－.
2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( A )
A． B．1
C．0 D．不存在
解析 f′(x)＝x－＝，且x>0，
令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00，在(－1,0]上，f′(x)≤0，
则当x∈[－2,0]时函数有最大值，为f(－1)＝2.
当a≤0时，若x>0，显然eax≤1，此时函数在[－2,2]上的最大值为2，符合题意；当a>0时，若函数在[－2,2]上的最大值为2，则e2a≤2，得a≤ln 2，综上可知a的取值范围是，故选D．
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( A )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37，故选A．
6．(2018·河北三市联考二)若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为( A )
A．2b－ B．b－
C．0 D．b2－b3
解析 f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)．
∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－30，得x2.由f′(x)<0，得b0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
12．已知函数f(x)＝ax2－ex(a∈R，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)解关于x的不等式：f(x)>f′(x)；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝2ax－ex，f(x)－f′(x)＝ax(x－2)>0.
当a＝0时，无解；当a>0时，解集为{x|x<0或x>2}；
当a<0时，解集为{x|00，则当x∈(－∞，ln 2a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(ln 2a，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
∴g(x)max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得a>.
故实数a的取值范围是.
