2019-2020学年山西省应县第一中学校高二上学期第四次月考数学（理）试题

2019-2020学年山西省应县第一中学校高二上学期第四次月考数学（理）试题

山西省应县第一中学校2019-2020学年高二上学期第四次月考 ‎ 数 学 试 题（理） 2019.12‎ 时间：120分钟 满分：150分 一．选择题.(5分*12=60分)‎ ‎1. 倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A．x－y＋1＝0 B．x－y－＝0‎ C．x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0‎ ‎2．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1‎ ‎3. 椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P(，1)的椭圆的标准方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ ‎4．已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，且△MNF1的周长为8，则椭圆C的焦距为(　　)‎ A．4 B．2‎ C．2 D．2 ‎5．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线的斜率为(　　)‎ A．±2 B．± C．± D．± ‎6．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎7．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若 |PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎　‎ ‎8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点O，离心率等于，以双曲线C的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．y2－＝1‎ C．－x2＝1 D．－y2＝1‎ ‎10．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A． B．2‎ C． D．3‎ ‎11．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)‎ A．3 B. C．2 D．2‎ ‎12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得＝，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)‎ A．(0，－1) B. C. D．(－1,1)‎ 二． 填空题.‎ ‎13．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 .‎ ‎14．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．‎ ‎16．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则当 ‎|AF|＋4|BF|取得最小值时，直线AB的倾斜角的正弦值为________．‎ 三． 解答题。‎ ‎17．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，‎ P2(－，－)，求该椭圆的方程．‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线 x－y＋－2＝0相切．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．‎ ‎19．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)求证：·＝0；‎ ‎(3)求△F1MF2的面积．‎ ‎20．已知圆C过定点F，且与直线x＝相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B两点．‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．‎ ‎21．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．‎ ‎22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左焦点为F(－1,0)，过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)在y轴上，是否存在定点E，使·恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，请说明理由．‎ 高二月考四理数答案2019.12‎ ‎1D 2A 3D 4C 5B 6C 7B 8B 9C 10B 11D 12D ‎12.解析：选D　在△MF1F2中，＝，‎ 而＝，‎ ‎∴＝＝.①‎ 又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，‎ ‎∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②‎ 由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.‎ 显然|MF2|>|MF1|，‎ ‎∴a－c<|MF2|0，∴e2＋2e－1>0，又00，x2>0，‎ 则x1＋x2＝，①‎ x1x2＝1, ②‎ ＋＝＋＝ ‎＝＝1.‎ 当直线的斜率不存在时，易知|AF|＝|BF|＝2，‎ 故＋＝1.‎ 设|AF|＝a，|BF|＝b，则＋＝1，‎ 所以|AF|＋4|BF|＝a＋4b＝(a＋4b)＝5＋＋≥9，当且仅当a＝2b时取等号，‎ 故a＋4b的最小值为9，‎ 此时直线的斜率存在，且x1＋1＝2(x2＋1), ③‎ 联立①②③得，x1＝2，x2＝，k＝±2，‎ 故直线AB的倾斜角的正弦值为.‎ ‎17． 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．‎ 因为椭圆经过P1，P2两点，‎ 所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，‎ 则 ‎①②两式联立，解得 所以所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎18． (1)将圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m，‎ 因为圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－y＋－2＝0相切，‎ 所以圆心(－2，1)到直线x－y＋－2＝0的距离d＝＝2＝r，‎ 所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，则可设直线MN的方程为 2x－y＋c＝0，‎ 因为|MN|＝2，半径r＝2，‎ 所以圆心(－2，1)到直线MN的距离为＝1，‎ 即＝1，‎ 所以c＝5±，‎ 所以直线MN的方程为2x－y＋5±＝0.‎ ‎19．(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．‎ 所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.‎ 因为双曲线过点(4，－)，‎ 所以16－10＝λ，即λ＝6.‎ 所以双曲线方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)证明：设F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ 则＝(－2－3，－m)，‎ ＝(2－3，－m)．‎ 所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2‎ ‎＝－3＋m2，‎ 因为M点在双曲线上，‎ 所以9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ 所以·＝0.‎ ‎(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.‎ 由(2)知m＝±.‎ 所以△F1MF2的高h＝|m|＝，‎ 所以S△F1MF2＝×4×＝6.‎ ‎20．(1)由题意，点C到定点F和直线x＝的距离相等，‎ 故点C的轨迹E的方程为y2＝－x.‎ ‎(2)由方程组消去x后，‎ 整理得ky2＋y－k＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由根与系数的关系有y1＋y2＝－，y1y2＝－1.‎ 设直线l与x轴交于点N，则N(－1，0)．‎ 所以S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ‎＝|ON||y1|＋|ON||y2|，‎ ‎＝|ON||y1－y2|‎ ‎＝×1× ‎＝ ＝，‎ 解得k＝±.‎ ‎21．(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，‎ 所以＋＝1.①‎ 又因为离心率为，所以＝，‎ 所以＝.②‎ 解①②得a2＝4，b2＝3.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时，‎ A，B，‎ S△ABF2＝|AB|·|F1F2|＝×3×2＝3≠.‎ 当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，‎ 代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 所以S△ABF2＝|y1－y2|×|F1F2|‎ ‎＝|k| ‎＝|k| ‎＝＝，‎ 所以17k4＋k2－18＝0，‎ 解得k2＝1，‎ 所以k＝±1，‎ 所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.‎ ‎22．(1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设过点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋2，‎ 由消去y，整理得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－，‎ y1＋y2＝(kx1＋2)＋(kx2＋2)＝k(x1＋x2)＋4＝.‎ 设存在点E(0，m)，‎ 则＝(－x1，m－y1)，＝(－x2，m－y2)，‎ 所以·＝x1x2＋m2－m(y1＋y2)＋y1y2＝＋m2－m·－＝.‎ 要使·＝t(t为常数)，‎ 只需＝t，‎ 从而(2m2－2－2t)k2＋m2－4m＋10－t＝0，‎ 故解得m＝，从而t＝，‎ 故存在定点E，使·恒为定值.‎