【数学】2019届一轮复习人教A版解三角形（理）学案

【数学】2019届一轮复习人教A版解三角形（理）学案

高考第一轮复习——解三角形 一、学习目标：‎ ‎1. 熟练掌握正弦定理、余弦定理及其在实际问题中的简单应用。‎ ‎2. 能利用正弦定理、余弦定理解三角形，并掌握其在几何中的运算。‎ ‎3. 在正、余弦定理的应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系及等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想在解题中的应用。‎ 二、重点、难点：‎ 重点：利用正弦定理、余弦定理解三角形及进行几何运算。‎ 利用正弦、余弦定理解决简单的实际问题。‎ 难点：等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想、方程与函数的思想的应用。‎ ‎1. 正弦定理的有关知识（设中的所对的边是a，b，c，外接圆半径是R）‎ 正弦定理：‎ 由正弦定理得（i）‎ ‎ （ii）。‎ 正弦定理的应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。‎ ‎（2）已知两边和其中一边的对角求其余边角。其解的情况不唯一。‎ A为锐角 A为直角或钝角 关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎2. 三角形的面积公式 ‎ ‎（1）‎ ‎（2）。 ‎ ‎（3）‎ ‎3. 余弦定理的有关知识。（设中的所对的边是a，b，c。）‎ ‎（1）余弦定理内容：‎ ‎（2）余弦定理的应用：①已知三边求角，②已知两边及其夹角求其余的边和角 ‎ ‎4. 解决实际问题的有关知识点 ‎（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。‎ ‎（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。‎ ‎（3）解决实际问题的步骤。‎ ‎①理解题意，分清已知量与未知量。②画图建模，利用正、余弦定理等知识点求解，③作答。‎ ‎5. 掌握三角形内角的诱导公式及相关的结论 ‎（1）tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC ‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 知识点一：正弦定理及其简单的应用 ‎ 例1.（基础题）‎ 解答下列各小题 ‎1. 已知a，b，c是三角形ABC的内角A，B，C所对的边，若，则＝____________。‎ ‎2. 锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则。‎ ‎3. 在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若则A＝__________。‎ ‎【思路分析】‎ ‎1. 由已知A＋C＝2B及三角形内角和定理可求角B，再用正弦定理求角C，进而可求面积。‎ ‎2. 由已知及余弦定理得出a，b，c的关系，将切化弦，然后利用余弦定理可求。‎ ‎3. 由已知求角B，利用正弦定理求角A。‎ ‎【解题过程】‎ ‎1. 由三角形的内角和定理得：，由正弦定理得：‎ ‎，又 ‎2. 由 ‎＝‎ 故＝4‎ ‎3. 由 ‎，在三角形ABC中由正弦定理得：。‎ ‎【解题后思考】‎ 对于利用正、余弦定理解三角形问题，关键要找出边和对应的角，求角时应注意角的范围。‎ 例2. （中等题）‎ ‎1. 在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且 ‎（1）求角A的大小，（2）求sinB＋sinC的最大值。‎ ‎2. 在中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且满足：，‎ ‎（1）求（2）若b＋c＝6，求a的值 ‎【思路分析】‎ ‎1.（1）利用正弦定理把角转化为边得出a，b，c的关系，再用余弦定理求角A，（2）根据第一问把sinB＋sinC转化为关于B的三角函数，进而求最大值。‎ ‎2. （1）由求sinA的值，由求bc的值，即可求出三角形ABC的面积，由b＋c＝6和bc的值及余弦定理求a的值。‎ ‎【解题过程】‎ ‎1. （1）由正弦定理得：‎ ‎（2）‎ ‎2.（1）由 又得：，。‎ ‎（2）由（1）知：‎ 根据余弦定理得：‎ ‎【解题后的思考】‎ 对于利用正弦定理、余弦定理解决三角形的有关问题是高考常见的题型（如本例），这种类型的问题也常与向量结合在一起进行考查，题目的难度不大，只要掌握正、余弦定理的简单应用就可以很好地解决问题。‎ 例3. （综合创新题）‎ 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c ‎（1）若三边a，b，c成等差数列，求角B的取值范围。‎ ‎（2）若为锐角三角形，B＝‎2A，求的取值范围。‎ ‎【思路分析】（1）根据a，b，c成等差数列及余弦定理求出cosB的取值范围。（2）利用正弦定理把转化为：，又由三角形ABC是锐角三角形求出角A的取值范围，进而求出的取值范围。‎ ‎【解题过程】（1）‎ ‎（2）由正弦定理得：‎ ‎【解题后的思考】对于解答形如求角的范围或边的范围的问题，常利用正弦、余弦定理结合基本不等式或正、余弦三角函数的性质求解。‎ 知识点二：三角形中的几何计算及解三角形的实际应用。‎ 例4. （基础题）‎ ‎1. 已知三角形ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD＝____________‎ ‎2. 线段AB外有一点C，，汽车以80 m/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 m/h的速度由B向C行驶，则运动开始后，两车距离最小？ ‎ ‎【思路分析】 ‎ ‎1. 由三角形三个内角A，B，C成等差数列得B＝60°，然后利用余弦定理求AD的值。‎ ‎2. 利用余弦定理求解。‎ ‎【解题过程】‎ ‎1. 由已知得B＝60°，AB＝1，BD＝2，由余弦定理得：‎ ‎＝‎ ‎2. 设t小时后汽车由A点行驶到D点，摩托车由B点行驶到E点，则AD＝80t，BE＝50t，‎ BD＝200－80t 在中：由余弦定理得：‎ ‎＝‎ 故当时，DE最小。‎ ‎【解题后的思考】利用正弦、余弦定理进行几何计算，要通过图形找出边和角，再根据已知条件利用正弦定理或余弦定理求解。‎ 例5. （中等题）‎ ‎1. 如图所示，点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作半圆的切线PT，使PT＝1，则如何确定P点的位置，才能使得四边形ABTP的面积最大？‎ ‎2. 在中，，试判断三角形的形状。‎ ‎【思路分析】‎ ‎1. 由已知，P点的变化引起∠PAB的变化，故可把四边形ABTP的面积表示成关于∠PAB的函数，然后求函数的最值。‎ ‎2. 利用正、余弦定理把角转换成边或利用正弦的倍角、和差化积公式将边转换成角解题。‎ ‎【解题过程】 ‎ ‎1. 连接BP，设，由AB为直径得，即是直角三角形，‎ 由AB＝PT＝1得：。又PT是圆的切线，故，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎＝＝‎ 故当时，‎ ‎2. 由余弦定理得：‎ ‎ ，即三角形是直角三角形。‎ 另解：由已知得：‎ ‎，即三角形是直角三角形。‎ ‎【解题后的思考】‎ 对于解答判断三角形形状问题，关键是要针对已知条件，利用正弦定理或余弦定理把边转换为角或把角转换为边，找出边与边的关系或角与角的关系，从而判断三角形的形状。此类问题在高考中多以选择、填空题的形式出现。对于解决几何图形的有关最值问题，关键是恰当地引入角度作为变量，将其转化为求三角函数的最值问题，此类问题在高考中有可能以大题的形式出现。‎ 例6. （实际应用与测量题）‎ 某港口O要将一件重要的物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O的北偏西30°且与港口相距‎20海里的A处，并以每小时30海里的速度沿正东方向匀速行驶，假设小艇沿直线方向以每小时v海里的速度匀速行驶，经过t小时与轮船 相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度是多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到每小时30海里，试设计航行方案（即确定航行的方向、航行速度的大小）使得小艇能用最短的时间与轮船相遇，并说明理由。‎ ‎【思路分析】‎ ‎（1）假设小艇与轮船经过t小时在B处相遇，此时AO＝20，AB＝30t，，‎ 在△AOB中，利用余弦定理建立OB关于t的函数（OB是小艇航行的距离）。‎ ‎（2）设小艇的速度是v，则OB＝vt，（，在△AOB中建立v关于t的函数关系，从而确定时间和速度，再根据时间和速度确定航行方案。‎ ‎【解题过程】‎ ‎（1）假设小艇与轮船经过t小时在B处相遇，此时AO＝20，AB＝30t，，设相遇时小艇航行的距离是s海里 在△AOB中，由余弦定理得：‎ 故当t＝‎ 即小艇以每小时海里的速度航行，相遇时小艇航行的距离最短。‎ ‎（2）设小艇与轮船在B处相遇时，OB＝vt海里，OA＝‎20海里，AB＝30t海里。‎ 在△AOB中由余弦定理得：‎ 由 此时在 故设计方案如下：当航行方向为北偏东30°，速度为每小时30海里时，小艇能用最短的时间与轮船相遇。‎ ‎【解题后的思考】利用正弦定理或余弦定理解决实际问题是新课标高考的重点，此类试题可以与函数、方程、不等式，正、余弦定理等内容紧密结合在一起，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。‎