【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第三章第四讲定积分与微积分基本定理作业

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第三章第四讲定积分与微积分基本定理作业

第四讲　定积分与微积分基本定理 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[2020重庆南开中学模拟]e‎1‎(1-‎1‎x)dx的值为(　　)‎ A.e-2 B.e C.e+1 D.e-1‎ ‎2.[2020安徽蚌埠市一检]定积分‎-2‎‎2‎(‎4-‎x‎2‎-sin x+x3)dx的值是(　　)‎ A.π B.2π C.2π+2cos 2 D.π+2cos 2‎ ‎3.下列表示曲线y=x2+2与直线y=x+2所围成的封闭图形的面积的式子中正确的是(　　)‎ A.S=‎0‎‎1‎(x2-x)dx B.S=‎0‎‎1‎(x-x2)dx C.S=‎0‎‎1‎(y2-y)dy D.S=‎0‎‎1‎(y-y)dy ‎4.[2020湖北四地七校联考]已知a=‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎,b=(‎2‎log‎2‎‎3‎‎)‎‎-‎‎1‎‎2‎,c=‎1‎‎4‎π‎0‎sin xdx,则实数a,b,c的大小关系是(　　)‎ A.a>c>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a ‎5.计算:‎0‎π‎2‎(-2sin x)dx=　　　　. ‎ ‎6.已知函数f(x)=xcos x,则‎-2‎‎2‎[x2+f(x)]dx=　　　　. ‎ ‎7.[2020江西吉安市期中]若‎1‎‎2‎(‎1‎x‎+‎2mx)dx=3+ln 2,则实数m的值为　　　　. ‎ ‎8.设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若‎0‎‎3‎f(x)dx=3f(x0),x0>0,则x0=　　　　. ‎ ‎9.[2019皖中名校第二次联考]二次函数f(x)=x2-nx+m(n,m∈R)的图象如图3-4-1所示,则定积分‎0‎‎1‎f(x)dx=(　　)‎ 图3-4-1‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎5‎‎6‎ C.2 D.3‎ ‎10.设f(x)=‎1-‎x‎2‎‎,x∈[-1,1),‎x‎2‎‎-1,x∈[1,2],‎则‎-1‎‎2‎f(x)dx的值为(　　)‎ A.π‎2‎+‎4‎‎3‎ B.π‎2‎+3 C.π‎4‎+‎4‎‎3‎ D.π‎4‎+3‎ ‎11.[2020重庆巴蜀中学模拟]若‎-1‎‎1‎(ax2+bsin x)dx=1,则sin(aπ-π‎6‎)=　　　　. ‎ ‎12.[2020河北衡水中学二调]如图3-4-2,阴影部分是由曲线y=2x2和x2+y2=3及x轴围成的封闭图形,则阴影部分的面积为　　　　. ‎ 图3-4-2‎ ‎13.[交汇题]如图3-4-3,点A的坐标为(1,0),函数y=ax2的图象过点C(2,4),若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于　　　　. ‎ 图3-4-3‎ ‎14.[2019安徽师大附中期中]若f(x)‎+‎‎0‎‎1‎f(x)dx=x,则‎0‎‎1‎f(x)dx=　　　　　　. ‎ 第四讲　定积分与微积分基本定理 ‎1.A　e‎1‎(1 - ‎1‎x)dx=e‎1‎1dx - e‎1‎‎1‎xdx=x‎ ‎e‎1‎ - ln x‎ ‎e‎1‎=e - 1 - 1+0=e - 2.故选A.‎ ‎2.B　利用定积分的运算法则,将定积分‎ - 2‎‎2‎(‎4 - ‎x‎2‎ - sin x+x3)dx展开为‎ - 2‎‎2‎‎4 - ‎x‎2‎dx+‎ - 2‎‎2‎( - sin x)dx+‎ - 2‎‎2‎x3dx,∵‎ - 2‎‎2‎‎4 - ‎x‎2‎dx表示以(0,0)为圆心,2为半径的半圆的面积,∴‎ - 2‎‎2‎‎4 - ‎x‎2‎dx=‎1‎‎2‎×4π=2π.又‎ - 2‎‎2‎( - sin x)dx=cos x‎ ‎‎ - 2‎‎2‎=cos 2 - cos( - 2)=0,‎ - 2‎‎2‎x3dx=‎1‎‎4‎x4‎ ‎‎ - 2‎‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎×[24 - ( - 2)4]=0,‎ ‎∴‎ - 2‎‎2‎(‎4 - ‎x‎2‎ - sin x+x3)dx=2π.故选B.‎ ‎3.B　依题意,在同一平面直角坐标系下画出曲线y=x2+2与直线y=x+2的图象(图略),注意到它们的交点坐标分别为(0,2)与(1,3),结合图形及定积分的几何意义可知,所围成的封闭图形的面积可用定积分表示为‎0‎‎1‎(x - x2)dx,故选B.‎ ‎4.C　因为a=‎2‎‎ - ‎‎1‎‎3‎=(‎1‎‎2‎‎)‎‎1‎‎3‎=(‎1‎‎4‎‎)‎‎1‎‎6‎,b=(‎2‎log‎2‎‎3‎‎)‎‎ - ‎‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎‎ - ‎‎1‎‎2‎=(‎1‎‎3‎‎)‎‎1‎‎2‎=(‎1‎‎27‎‎)‎‎1‎‎6‎,所以a>b,排除B,D;c=‎1‎‎4‎π‎0‎sin xdx= - ‎1‎‎4‎cos x ‎ ‎π‎0‎= - ‎1‎‎4‎(cos π - cos 0)=‎1‎‎2‎=(‎1‎‎4‎‎)‎‎1‎‎2‎,所以b>c,所以a>b>c,选C.‎ ‎5. - 2　由定积分的概念及微积分基本定理,得‎0‎π‎2‎( - 2sin x)dx=2cos x ‎ ‎‎0‎π‎2‎= - 2.‎ ‎6.‎16‎‎3‎　∵f (x)=xcos x为奇函数,∴∫2 - 2xcos xdx=0,∴∫2 - 2(x2+xcos x)dx=∫2 - 2x2dx=‎1‎‎3‎x‎3‎‎ - 2‎‎2‎‎=‎‎16‎‎3‎.‎ ‎7.1　‎1‎‎2‎(‎1‎x+2mx)dx =‎1‎‎2‎‎1‎xdx+‎1‎‎2‎2mxdx=ln x ‎ ‎‎1‎‎2‎+mx2‎ ‎‎1‎‎2‎=3m+ln 2,由题意得ln 2+3m=3+ln 2,故m=1.‎ ‎8.‎3‎　依题意得‎0‎‎3‎f (x)dx=‎0‎‎3‎(ax2+b)dx=(a‎3‎x3+bx)‎ ‎‎0‎‎3‎=3(ax‎0‎‎2‎+b),化简得3ax‎0‎‎2‎=9a(a≠0),即x‎0‎‎2‎=3(x0>0),由此解得x0=‎3‎.‎ ‎9.B　由题图可知,‎1 - n+m=0,‎‎4 - 2n+m=0,‎解得n=3,‎m=2.‎所以∫10f (x)dx=∫10(x2 - 3x+2)dx=(‎1‎‎3‎x3 - ‎3‎‎2‎x2+2x)‎|‎ ‎‎0‎‎1‎=‎‎5‎‎6‎.故选B.‎ ‎10.A　∫2 - 1f (x)dx=∫1 - 1‎1 - ‎x‎2‎dx+∫21(x2 - 1)dx=‎1‎‎2‎π×12+(‎1‎‎3‎x3 - x)‎|‎ ‎‎1‎‎2‎=‎π‎2‎‎+‎‎4‎‎3‎,故选A.‎ ‎11. - ‎3‎‎2‎　‎ - 1‎‎1‎(ax2+bsin x)dx=a‎3‎x3‎ ‎‎ - 1‎‎1‎+0=‎2a‎3‎=1,∴a=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴sin(aπ - π‎6‎)=sin(‎3‎‎2‎π - π‎6‎)= - cosπ‎6‎= - ‎3‎‎2‎.‎ ‎12.π‎2‎‎-‎‎3‎‎8‎　记曲线y=2x2和圆x2+y2=3在第一象限内的交点为A,则A(‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎),作出射线OA,如图D 3 - 4 - 2,‎ 图D 3 - 4 - 2‎ 则射线OA的方程为y=‎3‎x(x≥0),‎ 则射线OA与抛物线y=2x2所围成的面积S1=‎0‎‎3‎‎2‎(‎3‎x - 2x2)dx=(‎3‎‎2‎x 2 - ‎2‎‎3‎x3)‎ ‎‎0‎‎3‎‎2‎‎=‎3‎‎2‎×‎3‎‎4‎-‎2‎‎3‎×‎3‎‎3‎‎8‎=‎‎3‎‎8‎.‎ 记圆x2+y2=3与x轴正半轴交于点B.‎ 易知扇形AOB的圆心角为π‎3‎,则扇形AOB的面积S2=‎1‎‎2‎‎×‎π‎3‎×3=π‎2‎,‎ 所以阴影部分的面积S=S2 - S1=π‎2‎‎-‎‎3‎‎8‎.‎ ‎13.‎5‎‎12‎　因为函数y=ax2的图象过点C(2,4),所以a=1,即y=x2,又点A的坐标为(1,0),所以S矩形ABCD=4,阴影部分的面积S1=4 - ‎1‎‎2‎x2dx=‎5‎‎3‎,所以在矩形ABCD内随机取一点,此点取自阴影部分的概率P=S‎1‎S矩形ABCD‎=‎‎5‎‎12‎.‎ ‎14.‎1‎‎4‎　‎0‎‎1‎f (x)dx是一个常数,设为c,则有f (x)=x - c,所以x - c+‎0‎‎1‎(x - c)dx=x,解得c=‎1‎‎4‎.故‎0‎‎1‎f (x)dx=‎1‎‎4‎.‎