2009年高考试题—数学文（浙江卷）解析版

2009年高考试题—数学文（浙江卷）解析版

绝密★考试结束前 ‎ ‎ 2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)‎ 数 学（文科） ‎ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。 ‎ 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 ‎ 选择题部分（共50分） ‎ 注意事项： ‎ ‎ 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 ‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 ‎ 参考公式： ‎ 球的表面积公式 棱柱的体积公式 ‎ ‎ ‎ 球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 ‎ ‎ 棱台的体积公式 ‎ 其中R表示球的半径 ‎ 棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积， ‎ ‎ h表示棱台的高 ‎ 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 如果事件互斥，那么 ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1．设，，，则（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎1． B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对于集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质．‎ ‎【解析】 对于，因此．‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎2． A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．‎ ‎【解析】对于“”“”；反之不一定成立，因此“”是“”的充分而不必要条件．‎ ‎3．设（是虚数单位），则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．D 【命题意图】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度．‎ ‎【解析】对于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎4．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎4．C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．‎ ‎【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎5．已知向量，．若向量满足，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．‎ ‎【解析】不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有 ‎6．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．‎ ‎【解析】对于椭圆，因为，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．A 【命题意图】此题考查了程序语言的概念和基本的应用，通过对程序语言的考查，充分体现了数学程序语言中循环语言的关键．‎ ‎【解析】对于，而对于，则，后面是，不符合条件时输出的．‎ ‎8．若函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A．，在上是增函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ B．，在上是减函数 C．，是偶函数 D．，是奇函数 ‎8．C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．‎ ‎【解析】对于时有是一个偶函数 ‎9．已知三角形的三边长分别为，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．C 【命题意图】此题很好地考查了平面几何的知识，全面而不失灵活，考查的方法上面的要求平实而不失灵动，既有切线与圆的位置，也有圆的移动 ‎【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．‎ ‎10．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎10．D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度．‎ ‎【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．‎ 非选择题部分（共100分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。‎ ‎ 2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。‎ ‎11．设等比数列的公比，前项和为，则 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎11．15 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系．‎ ‎【解析】对于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎12．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．‎ ‎12． 18 【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．‎ ‎【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 ‎，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18‎ ‎13．若实数满足不等式组则的最小值是 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎13． 4【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 ‎【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，‎ ‎14．某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ．‎ ‎14． 30【命题意图】此题考查了频率分布直方图，通过设问既考查了设图能力，也考查了运用图表解决实际问题的水平和能力 ‎【解析】对于在区间的频率/组距的数值为，而总数为100，因此频数为30 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：‎ 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 ‎（单位：千瓦时）‎ 高峰电价 ‎（单位：元/千瓦时）‎ 低谷月用电量 ‎（单位：千瓦时）‎ 低谷电价 ‎（单位：元/千瓦时）‎ ‎50及以下的部分 ‎0.568‎ ‎50及以下的部分 ‎0.288‎ 超过50至200的部分 ‎0.598‎ 超过50至200的部分 ‎0.318‎ 超过200的部分 ‎0.668‎ 超过200的部分 ‎0.388‎ ‎ 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，‎ 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）．‎ ‎15． 【命题意图】此题是一个实际应用性问题，通过对实际生活中的电费的计算，既考查了函数的概念，更侧重地考查了分段函数的应用w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为；对于低峰部分为，二部分之和为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎16．设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，‎ 成等比数列．‎ ‎16． 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎17．有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，其中．‎ 从这张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到 标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于”为，‎ 则 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎17． 【命题意图】此题是一个排列组合问题，既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平 ‎【解析】对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即，而基本事件有20种，因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎20090423‎ ‎18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，‎ ‎ ． （I）求的面积； （II）若，求的值．‎ ‎18．解析：（Ⅰ） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又，，而，所以，所以的面积为：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以 ‎20090423‎ ‎19．（本题满分14分）如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求 与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD ‎（Ⅱ）在中，，所以 ‎ 而DC平面ABC，，所以平面ABC ‎ 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以 ‎ 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，‎ ‎ 所以直线AD与平面ABE所成角是 ‎ 在中， ，‎ 所以 ‎20090423‎ ‎20．（本题满分14分）设为数列的前项和，，，其中是常数．‎ ‎ （I） 求及；‎ ‎ （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．‎ ‎20、解析：（Ⅰ）当，‎ ‎ （）‎ ‎ 经验，（）式成立， ‎ ‎ （Ⅱ）成等比数列，，‎ 即，整理得：，‎ 对任意的成立， ‎ ‎20090423‎ ‎21．（本题满分15分）已知函数 ．‎ ‎ （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；‎ ‎ （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．‎ 解析：（Ⅰ）由题意得 ‎ 又 ，解得，或 ‎ （Ⅱ）函数在区间不单调，等价于 ‎ 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 ‎ 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ‎ ， 即：‎ ‎ 整理得：，解得 ‎20090423‎ ‎22．（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．‎ ‎ （I）求与的值；‎ ‎ （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．‎ ‎22．解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义 点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得 抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得 ‎（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。‎ 则，当 则。‎ 联立方程，整理得：‎ 即：，解得或 ‎，而，直线斜率为 ‎，联立方程 整理得：，即：‎ ‎ ，解得：，或 ‎，‎ 而抛物线在点N处切线斜率：‎ MN是抛物线的切线，， 整理得 ‎，解得（舍去），或，‎