【数学】2019届一轮复习人教B版　突破解三角形问题的两类题型学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　突破解三角形问题的两类题型学案

增分点 突破解三角形问题的两类题型 求边、求角、求面积 解三角形问题中，边角的求解是所有问题的基本，通常有以下两个解题策略：‎ ‎(1)边角统一化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，通过代数恒等变换求解；‎ ‎(2)几何问题代数化：通过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，对于某些问题来说此法也是极为重要的．‎ ‎[典例] (2016·北京高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝，a＝c，则＝______.‎ ‎[思路点拨]‎ 本题条件涉及三角形边、角的数量关系，结论是求边比问题，必然通过解三角形来处理．注意正弦定理和余弦定理的灵活应用．‎ ‎[方法演示]‎ 法一：角化边(余弦定理)‎ 由余弦定理及a＝c，得cos A＝＝＝－，化简得b2＋bc－‎2c2＝0，即22－－1＝0，解得＝1或＝－(舍去)．‎ 法二：边化角(正弦定理)‎ 由得sin A＝sin C＝，即sin C＝.‎ 又角C是三角形的内角，则∠C＝.‎ 又∠A＝，所以∠B＝，从而有＝＝1.‎ 法三：几何法 过点C作BA的垂线CD，交BA的延长线于点D，如图，由∠BAC＝，得∠DAC＝，即在Rt△DAC中，AD＝b，CD＝b.‎ 由△BDC是直角三角形，得CD2＋BD2＝BC2，‎ 即2＋2＝a2.‎ 由a＝c，得b2＋bc－‎2c2＝0，即22－－1＝0，解得＝1或＝－(舍去)．‎ 法四：坐标法 根据题意，以点A为原点，AB为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意可知AB＝c，AC＝b，BC＝a，∠CAB＝，则A(0,0)，B(c,0)，C－，b.‎ 根据两点间距离公式，BC＝ ＝a.‎ 由a＝c，得b2＋bc－‎2c2＝0，即22－－1＝0，解得＝1或＝－(舍去)．‎ 法五：向量法 由＝－，得||2＝|－ |2＝||2－2·＋||2.‎ 又由||＝a＝c，得‎3c2＝b2－2bccos＋c2，化简得b2＋bc－‎2c2＝0，即22－－1＝0，解得＝1或＝－(舍去)．‎ 法六：特殊值法 因为a＝c，不妨令c＝1，所以a＝，结合条件∠A＝，由余弦定理得b＝1，于是＝1.‎ 答案：1‎ ‎[解题师说]‎ 本题法一、法二分别运用了余弦定理和正弦定理，这两种方法(边化角、角化边)是最基本的方法，其本质就是将题中的边、角统一，方便求解；法三运用了三角形的几何性质，回归三角形的本质；法四和法五都是将题中的边和角坐标化、向量化，将几何问题代数化，从而求出结果．易知法五和法一的本质是相同的，因为我们知道余弦定理是可以用向量法证明的．法六是抓住了条件a＝c的本质，这是两个边的比例关系，通过令c＝1将比例变为了具体数值，便于计算，也体现了基本量的思想．‎ ‎[应用体验]‎ ‎1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，‎ 则结合面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，‎ 即sin C－2cos C＝2，‎ 所以(sin C－2cos C)2＝4，‎ 即＝4，‎ 所以＝4，‎ 解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．‎ ‎2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，则c＝________.‎ 解析：因为(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，‎ 所以＝144，①‎ ＝25，②‎ 由①②得＝169，‎ 即a2＋b2－2abcos C＝169，‎ 由余弦定理得c2＝169，所以c＝13.‎ 答案：13‎ 三角形中的最值、范围问题 三角形中的最值、范围的求法 ‎(1)目标函数法：根据已知和所求最值、范围，选取恰当的变量，利用正弦定理与余弦定理建立所求的目标函数，然后根据目标函数解析式的结构特征求解最值、范围．‎ ‎(2)数形结合法：借助图形的直观性，利用所学平面图形中的相关结论直接判断最值、范围．‎ ‎[典例] 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC的面积的最大值为________．‎ ‎[思路点拨]‎ 本题条件为三角形的边角关系式，而问题是求三角形面积的最值，势必要利用三角形的正、余弦定理、三角形的面积公式，以及三角恒等变换，再利用三角形的几何性质和均值不等式来解决最值问题．‎ ‎[方法演示]‎ 法一：综合运用正、余弦定理 由正弦定理知(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(2＋b)(a－b)＝c(c－b)，‎ 将a＝2代入整理，得b2＋c2－a2＝bc，‎ 所以cos A＝＝，故A＝，‎ 则△ABC的面积S＝bcsin A＝bc.‎ 而b2＋c2－a2＝bc≥2bc－a2⇒bc≤4，‎ 所以S＝bc≤，当且仅当b＝c＝2时取到等号，‎ 故△ABC的面积的最大值为.‎ 法二：正、余弦定理与数形结合 由法一得A＝，可知△ABC的边a＝2为定长，△ABC的角A＝为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A在圆周上的运动轨迹为优弧(包括两个端点B，C)，易知当点A位于优弧中点时，此时△ABC的面积最大，由于A＝，则此时的△ABC是等边三角形，面积为.‎ 法三：正、余弦函数的有界性 由法一知A＝，则由正弦定理得，b＝·sin B＝sin B，c＝sin C，则S△ABC＝bcsin A＝bc＝sin B·sin C＝·[cos(B－C)－cos(B＋C)]＝cos(B－C)＋≤·＝，当且仅当cos(B－C)＝1，即B＝C时，△ABC的面积取得最大值.‎ 法四：函数思想 由法三得S＝sin B·sin C＝sin B·sin－B，令g(B)＝sin B·sin＝sin Bcos B＋sin B＝sin＋.‎ 由0－，所以舍去cos∠DCB＝－.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，又sin∠DCB＝，由正弦定理得sin∠DBC＝＝，在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝.‎ ‎4.如图，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cos A＝( )‎ A. B. C. D. 解析：选C 因为DE⊥AB，DE＝2，所以AD＝，所以BD＝AD＝.因为AD＝DB，所以∠A＝∠ABD，所以∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A.在△BCD中，由正弦定理＝，得＝，整理得cos A＝.‎ ‎5.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( )‎ A. km2 B. km2‎ C. km2 D. km2‎ 解析：选D 如图，连接AC，根据余弦定理可得AC＝＝＝，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，‎ ‎∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝x，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)．所以所求小区的面积为×1×＋×3(2－)×＝＝(km2)．‎ ‎6．若钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )‎ A. B．1‎ C. D. 解析：选D 由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝＝.‎ ‎7．(2018·西城区模拟)在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)0，则cos A＝>0.因为0，即角A的取值范围为.‎ ‎8．(2018·云南统一检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcos C＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为( )‎ A．2 B．3‎ C. D. 解析：选A 由a＝bcos C＋csin B及正弦定理，得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，即sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B，得sin Ccos B＝sin Csin B，又sin C≠0，所以tan B＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsin B＝1＋，得ac＝2＋4.又b2＝a2＋c2－2accos B≥‎2ac－ac＝(2－)(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2，故选A.‎ ‎9．(2018·长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A－sin B＝，b＝，则△ABC的面积的最大值为( )‎ A. B. C. D. 解析：选A 根据正弦定理由sin A－sin B＝，可得a－b＝，得a2－b2＝c(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，故＝＝cos B，∵B∈(0，π)，∴B＝.又由b＝，可得a2＋c2＝ac＋3，故a2＋c2＝ac＋3≥‎2ac，即ac≤3，当且仅当a＝c＝时取等号，故ac的最大值为3，这时△ABC的面积取得最大值，为×3×sin＝.‎ ‎10.为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1 m，且AC比AB长0.5 m，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为( )‎ A.m B．2 m C．(1＋)m D．(2＋)m 解析：选D 设BC的长度为x m，AC的长度为y m，则AB的长度为(y－0.5)m，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BCcos∠ACB，得(y－0.5)2＝y2＋x2－2xy×，化简得y(x－1)＝x2－.因为x>1，所以x－1>0，因此y＝＝(x－1)＋＋2≥＋2，当且仅当x－1＝时取等号，即x＝1＋时，y取得最小值2＋，因此AC最短为(2＋)m.‎ ‎11．(2018·运城模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin ‎2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是( )‎ A. B. C.或 D.或 解析：选D 由sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin ‎2A，可得2sin Bcos A＝6sin Acos A．当cos A＝0时，得A＝，因为C＝，则B＝，又c＝，由正弦定理，得b＝＝，由三角形的面积公式知△ABC的面积S＝bcsin A＝；当cos A≠0时，由2sin Bcos A＝6sin Acos A，得sin B＝3sin A，根据正弦定理可知b＝‎3a，由余弦定理可知cos C＝＝＝，可得a＝1，b＝3，此时△ABC的面积S＝absin C＝.综上可知，△ABC的面积为或.‎ ‎12.如图所示，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b＝c，＝.若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2，OB＝1，则四边形OACB面积的最大值是( )‎ A. B. C．3 D. 解析：选B 由＝及正弦定理得sin Bcos A＝sin A－sin Acos B，所以sin(A＋B)＝sin A，所以sin C＝sin A．又b＝c，所以a＝b＝c，△ABC为等边三角形．设△ABC的边长为k，则k2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S四边形OACB＝×1×2sin θ＋k2＝sin θ＋(5－4cos θ)＝2sinθ－＋≤2＋＝，所以当θ－＝，即θ＝时，四边形OACB 的面积取得最大值，且最大值为.‎ 二、填空题 ‎13．(2018·广州综合测试)设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sin C＝4sin A，(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)，则△ABC的面积为________．‎ 解析：由a2sin C＝4sin A，得ac＝4.由(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)，得(a＋b)(a－b)＝2－c2，即a2＋c2－b2＝2，‎ ‎∴cos B＝＝，则sin B＝，‎ ‎∴S△ABC＝acsin B＝.‎ 答案： ‎14．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝__________.‎ 解析：如图，AD为△ABC，BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a.又B＝，所以BD＝AD＝a，DC＝a.‎ 在Rt△ABD中，由勾股定理得，‎ AB＝ ＝a.‎ 同理，在Rt△ACD中，AC＝ ＝a.‎ ‎∵S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD，‎ ‎∴×a×a·sin∠BAC＝a·a，‎ ‎∴sin∠BAC＝＝.‎ 答案： ‎15．(2018·沈阳质监)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为__________．‎ 解析：由题意得，4×bcsin A＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccos A ‎，代入上式得，2bcsin A＝－2bccos A＋2bc，即sin A＋cos A＝1，sin＝1.∵0

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