【数学】2020届一轮复习人教B版 圆的方程 作业

【数学】2020届一轮复习人教B版 圆的方程 作业

圆 的 方 程 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分，共35分)‎ ‎1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1‎ C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2‎ 答案D 解析由题意可得圆的半径r=,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.‎ ‎2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为(　　)‎ A.2 B.1 C. D.‎ 答案B 解析设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[]2=|OP|2,‎ 又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.‎ ‎3.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案B 解析由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点P,而线段AB垂直平分线的方程为y-,它与x=1联立得圆心P坐标为,‎ 则|OP|=.‎ ‎4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (　　)‎ A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4‎ C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1‎ 答案A 解析设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得 因为点Q在圆x2+y2=4上,所以=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.‎ ‎5.(2019·合肥模拟)已知圆C：(x-6)2+(y-8)2=4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为 (　　)‎ A.(x-3)2+(y+4)2=100‎ B.(x+3)2+(y-4)2=100‎ C.(x-3)2+(y-4)2=25‎ D.(x+3)2+(y-4)2=25‎ ‎【解析】选C.圆C的圆心坐标C(6，8)，‎ 则OC的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|==5，则以OC为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.‎ ‎6.(2018·安庆模拟)已知直线ax+y-1=0与圆C：(x-1)2+(y+a)2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　)‎ A.或-1 B.-1‎ C.1或-1 D.1‎ ‎【解析】选C.因为△ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，-a)到直线ax+y-1=0的距离等于r·sin 45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，所以a=±1.‎ ‎7.当方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0所表示的圆取得最大面积时，直线y=(k+1)x+1的倾斜角为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0可化为(x+k)2+(y+2)2=4-k2，若表示圆，则4-k2>0，且当k2=0时，圆的面积最大，此时直线y=(k+1)x+1的斜率为1，故倾斜角为.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎8.(2018·郑州模拟)以点M(2，0)，N(0，4)为直径的圆的标准方程为_______.  ‎ ‎【解析】圆心是MN的中点，即点(1，2)，半径r=MN=，则以MN为直径的圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.‎ 答案：(x-1)2+(y-2)2=5‎ ‎9.已知圆C：x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则a=_______. ‎ ‎【解析】由题意可得圆C的圆心在直线x-y+2=0上，将代入直线方程得-1-+2=0，解得a=-2.‎ 答案：-2‎ ‎10.(2018·银川模拟)已知P是直线l：3x-4y+11=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_______.  ‎ ‎【解析】圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1，圆心为C(1，1)，半径r=1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC=2×|PA|r=|PA|=，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x-4y+11=0的距离d===2，所以四边形PACB面积的最小值为=‎ ‎=.‎ 答案：‎ ‎(20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)(2018·泉州模拟)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则直线l的方程是 (　　)‎ A.x+y-2=0　　　　 B.x-y+2=0‎ C.x+y-3=0 D.x-y+3=0‎ ‎【解析】选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0，3)，‎ 又因为直线l与直线x+y+1=0垂直，‎ 所以直线l的斜率k=1，由点斜式得 直线l：y-3=x-0，即x-y+3=0.‎ ‎2.(5分)(2018·池州模拟)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax+by+8=0与以A(1，-1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的方程为 (　　)‎ A.(x-1)2+(y+1)2=1‎ B.(x-1)2+(y+1)2=2‎ C.(x-1)2+(y+1)2=‎ D.(x-1)2+(y+1)2=‎ ‎【解析】选C.由题意，==，所以a=40，b=24，‎ 所以直线ax+by+8=0，即5x+3y+1=0，‎ A(1，-1)到直线的距离为=，‎ 因为直线ax+by+8=0与以A(1，-1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，‎ 所以r=，‎ 所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=.‎ ‎3.(5分)已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(-2，0)，O为原点，则·的最大值为_______. ‎ ‎【解析】设P(cos α，sin α)，α∈R，则=(2，0)，=(cos α+2，sin α)，·=2cos α+4.‎ 当α=2kπ，k∈Z时，2cos α+4取得最大值，最大值为6，即·的最大值为6.‎ 答案：6‎ ‎【一题多解】设P(x，y)，x2+y2=1，-1≤x≤1，=(2，0)，=(x+2，y)，所以·=2x+4，所以·的最大值为6.‎ 答案：6‎ ‎【变式备选】(2018·北京模拟)已知圆O：x2+y2=1的弦AB长为，若线段AP是圆O的直径，则·=_______；若点P为圆O上的动点，则·的取值范围是_______. ‎ ‎【解析】因为圆O：x2+y2=1的弦AB长为，且线段AP是圆O的直径，所以 ‎∠PAB=45°，‎ 则·=2××=2.不妨设A，B，P(x，y)，且-1≤y≤1，则·=·(0，-)=-y+1∈[-+1，+1].‎ 答案：2　[-+1，+1]‎ ‎4.(12分)(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，经过函数f(x)=x2-x-6的图像与两坐标轴交点的圆记为圆C. ‎ ‎(1)求圆C的方程.‎ ‎(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.‎ ‎【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由f(x)=x2-x-6得，其图像与两坐标轴的交点为(0，-6)，(-2，0)，(3，0)，‎ 将交点坐标代入圆的方程得解得 所以圆的方程为x2+y2-x+5y-6=0.‎ ‎(2)由(1)知圆心坐标为，-，‎ 若直线经过原点，则直线l的方程为5x+y=0；若直线不过原点，设直线l的方程为x+y=a，则a=-=-2，即直线l的方程为x+y+2=0.‎ 综上，直线l的方程为5x+y=0或x+y+2=0.‎ ‎5.(13分)已知圆O：x2+y2=1，点A(-1，0)，点B(1，0).点P是圆O上异于A，B的动点. ‎ ‎(1)证明：kAP·kBP是定值.‎ ‎(2)过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足2=-，求点M的轨迹方程C.‎ ‎(3)证明：kAM·kBM是定值.‎ ‎【解析】(1)由已知，直线AP，BP斜率存在，AB是圆O的直径，所以AP⊥BP，所以kAP·kBP=-1是定值.‎ ‎(2)设P(m，n)，M(x，y)，则Q(m，0)，=(0，-n)，=(x-m，y-n)，‎ 因为2=-，所以2(0，-n)=-(x-m，y-n)，‎ 即即 ①‎ 因为点P在圆O上，所以m2+n2=1，②‎ 将①代入②得，x2+=1，又点P异于A，B，‎ 所以x≠±1，即点M的轨迹方程C为x2+=1(x≠±1).‎ ‎(3)由已知，直线AM，BM斜率存在，‎ kAM=，kBM=，由(2)知x2-1=-，‎ 所以kAM·kBM=·==-9，‎ 即kAM·kBM是定值.‎