【数学】2018届一轮复习人教A版问题2-7形形色色的切线问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版问题2-7形形色色的切线问题学案

专题二 函数与导数 问题七：形形色色的切线问题 一、考情分析 用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题..‎ 二、经验分享 ‎(1) 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k＝f′(x0)．‎ ‎(2)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．‎ ‎(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)＝k.‎ ‎(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由求解即可．‎ ‎(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．‎ ‎(5)求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线,在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点,在利用点斜式写出直线方..‎ ‎(6)在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点,而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点,有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.‎ ‎(7)在解析几何中也学习了求切线的方法,即先设出切线方程,再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下,所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线,二次曲线的一部分,则在求切线时可用解析的方法求解,例如：（图像为圆的一部分）在处的切线方程,则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示,像焦点在轴的抛物线,可看作关于的函数,则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在 轴的抛物线切线问题的重要方法）‎ 三、知识拓展 ‎ ‎1.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者．‎ ‎2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别．‎ ‎3.当曲线y＝f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x＝x0；‎ 四、题型分析 ‎(一) 曲线切线的倾斜角与斜率 ‎【例1】．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.‎ ‎(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；‎ ‎(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．‎ ‎【分析】(1)求出f′(x)的范围就是切线斜率的范围；(2)由－1≤k＜0或k≥1,得－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1,解不等式求范围 ‎【点评】求切线的倾斜角与斜率是导数几何意义应用的较简单问题,一般是先求导,把导函数看作切线斜率.‎ ‎【小试牛刀】【2018届福建省福州高三上学期期中】已知函数,其中是实数.设, 为该函数图象上的两点,且.‎ ‎（1）若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值；‎ ‎（2）若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】 (1)由导数的几何意义可知,点处的切线斜率为,点处的切线斜率为,故当处的切线与处的切线垂直时, ,当时,有,所以, ,所以,所以,当且仅当,即, 时,等号成立,所以的最小值为.‎ ‎（2）当或时, ,所以,当时,函数图象在点处的切线方程为,即,当时,函数图象在点处的切线方程为,即,两处切线重合的充要条件是,由及,得, ,记,则,所以在单调递减, , 趋近于时, 趋近于,所以,所以的取值范围是. ‎ ‎ (二) 求曲线的切线方程 ‎【例2】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)求经过点A(2,－2)的曲线f(x)的切线方程．‎ ‎【分析】(1)切点已知时求切线方程,求出,用点斜式写出方程；(2) 题目并没有说明是否为切点,所以要分是否为切点进行分类讨论.当是切点时,易于求出切线方程,当不是切点时,切点未知,从而先设再求,设切点,切线斜率为,三个未知量需用三个条件求解：① ,②,③‎ ‎【点评】注意在点A处的切线与过点A的切线的区别,前者A是切点,切线只有1条,或者A可能是切点,也可能不是,所求切线可能多于1条.‎ ‎【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若在处取极值,求在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时,若有唯一的零点,求证： ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ,‎ 令,则 由,可得 在上单调递减,在上单调递增.‎ 又,故当时, ；‎ 又,故在上有唯一零点,设为,‎ 从而可知在上单调递减,在上单调递增,‎ 因为有唯一零点,‎ 故且 ‎ (三)两曲线的公切线 ‎【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于(　　) ‎ ‎ A.或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出的值.‎ ‎【答案】A ‎【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出 ,再考虑切线与其他函数的关系 ‎（2）在利用切线与求的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的 ‎ 求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数 进行处理,（尤其是抛物线）‎ ‎【小试牛刀】【2018届四川成都市高三期中】已知曲线在点处的切线与曲线也相切,则的值是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意得： , =, ,点处的切线的方程为： ,即,设切线与曲线的切点为 则,解得： ,∴,故答案为：4‎ ‎ (四) 曲线条数的确定 ‎【例4】已知函数,若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范围 ‎【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以为切点的切线,所以考虑先设切点,切线斜率为,则满足 ,所以切线方程为,即 ‎,代入化简可得：,所以若存在3条切线,则等价于方程有三个解,即与有三个不同交点,数形结合即可解决 ‎【解析】设切点坐标,切线斜率为,则有：‎ ‎ 切线方程为：‎ 因为切线过,所以将代入直线方程可得：‎ ‎ ‎ 所以问题等价于方程,令 即直线与有三个不同交点 令解得 所以在单调递减,在单调递增 ‎ ‎ 所以若有三个交点,则 ‎ 所以当时,过点存在3条直线与曲线相切.‎ ‎【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,可把问题转化为关于t的方程的实根个数问题.‎ ‎【小试牛刀】【2017届安徽省亳州高三下学期教学质量检测】过点与曲线相切的直线有且只有两条,则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 五、迁移运用 ‎1．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数是偶函数,当时, ,则曲线在点处切线的斜率为（ ）‎ A. -2 B. -1 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由于函数是偶函数,当时, ,进而可得当时,从而曲线在点处切线的斜率为,故选B.‎ ‎2．【2018届河南省天一大联考】已知是定义在上的单调函数,满足,则在处的切线方程为（ ）[ :Z|xx|k.Com]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得为一固定的数,设,则有.由可得,当时,有,解得.∴,∴.∴,又.∴曲线在处的切线方程为,即.选A.‎ ‎3．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知为曲线（且）上的两点,分别过作曲线的切线交轴于两点,若,则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设切点作标为,若,则,不合题意,若,不合题意,只有,因为,所以此时, 方程: ,令, , , 方程,令, , ,故选B.‎ ‎4．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点为函数与图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设与在公共点处的切线相同,,由题意,即,由得或（舍去）,即有 ,令,则,于是当,即时, ‎ ‎；当,即时, ,故在为增函数,在为减函数,于是在的最大值为,故的最大值为,故选D.‎ ‎5．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有(　　)‎ A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条 ‎【 】数学（理）试题 ‎【答案】A ‎6．【2018届四川宜宾市高三（上）测试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,可得,由(1)得,解得或 (舍去),代入(2)得, ,构造,则在上单调递减,在上单调递增,即的最小值为,所以的最大值为,故选A.‎ ‎7．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线,若曲线存在与直线 垂直的切线,则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ∵曲线 存在与直线 垂直的切线, 成立, 故选A ‎8．【2018届齐鲁名校教 研协作体山东、湖北部分重点中学高三第一次调研】已知曲线恰好存在两条公切线,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设直线为它们的公切线,联立可得①,求导可得,令可得,所以切点坐标为,代入可得②.联立①②可得,化简得.令,, ‎ 在内单调递增,在内单调递减, .‎ 有两条公切线, 方程有两解, ‎ ‎,所以答案为D ‎9.【2017届广西南宁市高三上学期期末考试】已知, 是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行,则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意, , 当时, ,  当时, ,因为在两点处的切线互相平行,且, 所以  (否则根据导数相等得出两点重合), 所以在点 处切线的斜率为 ,在点处切线的斜率为, 所以, 即表示的曲线为双曲线在第四象限的部分,如图： 表示这个曲线上的点与原点连线的斜率,由图可知取值范围是,故选D. ‎ ‎10.【2017届辽宁省沈阳市高三第九次模拟考试】已知函数 ,且的图象在处的切线与曲相切,符合情况的切线 A. 有条 B. 有条 C. 有条 D. 有条 ‎【答案】A ‎11.【2017届安徽省蚌埠市3月教学质量检查】已知函数,曲线上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直,则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】曲线上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直, 有两个不同的解,即得有两个不同的解,设,则, 在上递减,在上递增时,函数取得极小值又因为当时总有,所以可得数的取值范围是,故选D.‎ ‎12.【2018届宁夏银川高三第五次月考】已知为正实数,直线与曲线相切,则的取值范围是___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线与曲线相切于点,因为,所以,即,则 ‎,又因为为正实数,所以,且在内为减函数,所以,即的取值范围为；故填.学 ‎ ‎13.【2018届河南省高三12月联考】已知过点与曲线（）相切的直线有且仅有两条,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,∴.设切点为,则有,所以过点P的切线方程为,‎ 又点在切线上,所以,整理得,‎ 由题意得方程有两个不等的正实数根.设,则,要使的图象与t轴的正半轴有两个不同的交点,则需.所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以,解得.即实数的取值范围是.‎ 答案： ‎ ‎14.已知函数,若曲线在点,（ ,其中互不相等）处的切线互相平行,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数, 曲线在点,其中互不相等）处的切线互相平行,即在点处的值相等,画出导函数的图象,如图, 当时, , 当时, 必须满足, ,故答案为.‎ ‎15.【2018届江苏省常州市第一学期月考】设点为函数与图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为___________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设点坐标为,则有,因为以为切点可作直线与两曲线都相切,所以,即 或由,故,此时；所以点坐标为,代入整理得： , ,令,即,得,可判断 在 上递增,在 上递减,所以当时有极大值也是最大值, ,故答案为.‎ ‎16.已知函数（）,.‎ ‎（1）若,曲线在点处的切线与轴垂直,求的值； ‎ ‎（2）若,试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究值的个数；,若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】（1）当时, ,∴ ,‎ 依题意得,∴ .‎ ‎（2）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线,‎ ‎∵,∴ ,∴ , ,‎ 由得,即,‎ ‎∴,故.‎ ‎∵函数的定义域为,‎ 下面研究满足此等式的的值的个数：学+ ‎ 设,则,且,方程化为,‎ 分别画出和的图象,‎ 当时, , ,‎ 由函数图象的性质可得和的图象有且只有两个公共点（且均符合）,‎ ‎∴方程有且只有两个根.‎ 综上,当时,函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时,函数与的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.‎