2015届高考数学二轮专题训练：专题三 第2讲 三角变换与解三角形

2015届高考数学二轮专题训练：专题三 第2讲 三角变换与解三角形

第2讲　三角变换与解三角形 考情解读　1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α.‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．三角恒等式的证明方法 ‎(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．‎ ‎(2)等式的两边同时变形为同一个式子．‎ ‎(3)将式子变形后再证明．‎ ‎4．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，‎ a2＋b2－c2＝2abcos C.‎ ‎6．面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.‎ ‎7．解三角形 ‎(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．‎ ‎(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．‎ ‎(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．‎ ‎(4)已知三边，利用余弦定理求解．‎ 热点一　三角变换 例1　(1)已知sin(α＋)＋sin α＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 思维启迪　(1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋π)进行比较．‎ ‎(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系．‎ 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)∵sin(α＋)＋sin α＝－，－<α<0，‎ ‎∴sin α＋cos α＝－，‎ ‎∴sin α＋cos α＝－，‎ ‎∴cos(α＋)＝cos αcos－sin αsin ‎＝－cos α－sin α＝.‎ ‎(2)由tan α＝得＝，‎ 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)．‎ ‎∵α∈(0，)，β∈(0，)，‎ ‎∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，‎ ‎∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，‎ ‎∴2α－β＝.‎ 思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．‎ ‎　设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)若θ是第二象限角，且f()＝0，求的值．‎ 解　(1)f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x＝cos 2xcos－sin 2xsin＋＝－sin 2x.‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为.‎ ‎(2)因为f()＝0，‎ 所以－sin θ＝0，即sin θ＝，‎ 又θ是第二象限角，‎ 所以cos θ＝－＝－.‎ 所以＝＝＝ ‎＝＝＝.‎ 热点二　解三角形 例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sin A，＋＋＝0.‎ ‎(1)求边c的大小；‎ ‎(2)求△ABC面积的最大值．‎ 思维启迪　(1)将＋＋＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C，进而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cos C＝和基本不等式求解．‎ 解　(1)∵＋＋＝0，‎ ‎∴ccos B＋2acos C＋bcos C＝0，‎ ‎∴sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0，‎ ‎∴sin A＋2sin Acos C＝0，‎ ‎∵sin A≠0，‎ ‎∴cos C＝－，∵C∈(0，π)‎ ‎∴C＝，∴c＝·sin C＝.‎ ‎(2)∵cos C＝－＝，‎ ‎∴a2＋b2＋ab＝3，∴3ab≤3，即ab≤1.‎ ‎∴S△ABC＝absin C≤.‎ ‎∴△ABC的面积最大值为.‎ 思维升华　三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．‎ 几种常见变形：‎ ‎(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径；‎ ‎(3)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C.‎ ‎　(1)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则等于(　　)‎ A. B．2 C. D．2 ‎(2)(2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．3 B. C. D．3 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)因为asin Asin B＋bcos2A＝a，由正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B＝sin A，‎ 即＝，＝＝.‎ ‎(2)∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①‎ ‎∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②‎ 由①②得ab＝6.‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.‎ 热点三　正、余弦定理的实际应用 例3　(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A＝，‎ cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 思维启迪　(1)直接求sin B，利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数．‎ 解　(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，‎ 所以sin A＝，sin C＝.‎ 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)‎ ‎＝sin Acos C＋cos Asin C ‎＝×＋×＝.由正弦定理＝，得 AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．‎ 所以索道AB的长为1 040 m.‎ ‎(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，‎ 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× ‎＝200(37t2－70t＋50)，由于0≤t≤，即0≤t≤8，‎ 故当t＝ min时，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎(3)由正弦定理＝，‎ 得BC＝×sin A＝×＝500(m)．‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，‎ 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎ 思维升华　求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．‎ ‎　如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(≈1.41，≈1.73，≈2.45)‎ 解　过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.‎ 因为∠CAD＝45°，AC＝10海里，‎ 所以△ACD是等腰直角三角形．‎ 所以AD＝CD＝AC＝×10＝5(海里)．‎ 在Rt△ABD中，因为∠DAB＝60°，‎ 所以BD＝AD×tan 60°＝5×＝5(海里)．‎ 所以BC＝BD－CD＝(5－5)(海里)．‎ 因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，‎ 所以中国海监船到达C点所用的时间t1＝＝＝(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t2＝＝≈＝0.4(小时)．‎ 因为<0.4，所以中国海监船能及时赶到．‎ ‎1．求解恒等变换问题的基本思路 一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：‎ ‎(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．‎ ‎(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”．‎ ‎(3)再次观察代数式的结构特点．‎ ‎2．解三角形的两个关键点 ‎(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a＝2Rsin A，sin A＝(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．‎ ‎(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．‎ ‎3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．‎ 真题感悟 ‎1．(2013·浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　∵sin α＋2cos α＝，‎ ‎∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.‎ 用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，‎ ‎∴tan 2α＝＝－.故选C.‎ ‎2．(2014·江苏)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．‎ 答案　 解析　由sin A＋sin B＝2sin C，结合正弦定理得a＋b＝2c.‎ 由余弦定理得cos C＝ ‎＝＝ ‎≥＝，‎ 故≤cos C<1，且3a2＝2b2时取“＝”．‎ 故cos C的最小值为.‎ 押题精练 ‎ ‎1．在△ABC中，已知tan ＝sin C，给出以下四个结论：‎ ‎①＝1；②1(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，00，cos(α＋β)<0.‎ 因为cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，‎ 所以sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.‎ 所以cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]‎ ‎＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)‎ ‎＝－×＋×＝.‎ ‎10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．‎ 答案　400 解析　如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.‎ 由正弦定理，可得＝.‎ 所以＝，得AD＝400(米)．‎ 在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理，可得 AC2＝AD2＋CD2－2×AD×CD×cos∠ADC ‎＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．‎ 故索道AC的长为400米．‎ 三、解答题 ‎11．(2014·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ 解　(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.‎ 由正、余弦定理得a＝2b·.‎ 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.‎ ‎(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.‎ 由于00)的最小正周期是π.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)求f(x)在[，]上的最大值和最小值．‎ 解　(1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx－)＋1‎ ‎＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1‎ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin(2ωx－)．‎ 最小正周期是＝π，所以，ω＝1，‎ 从而f(x)＝2sin(2x－)．‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z.‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．‎ ‎(2)当x∈[，]时，2x－∈[，]，‎ f(x)＝2sin(2x－)∈[，2]，‎ 所以f(x)在[，]上的最大值和最小值分别为2，.‎ ‎13．已知角A、B、C是△ABC的三个内角，若向量m＝(1－cos(A＋B)，cos)，n＝(，cos)，且m·n＝.‎ ‎(1)求tan Atan B的值；‎ ‎(2)求的最大值．‎ 解　(1)m·n＝－cos(A＋B)＋cos2 ‎＝－cos Acos B＋sin Asin B＝，‎ ‎∴cos Acos B＝9sin Asin B得tan Atan B＝.‎ ‎(2)tan(A＋B)＝＝(tan A＋tan B)≥·2＝.‎ ‎(∵tan Atan B＝>0，‎ ‎∴A，B均是锐角，即其正切值均为正)‎ ＝＝tan C ‎＝－tan(A＋B)≤－，‎ 所求最大值为－.‎ ‎ ‎