江西省南昌市第八中学2020届高三上学期期末考试文科数学试题

江西省南昌市第八中学2020届高三上学期期末考试文科数学试题

高三期末考试文科数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足，则（ ）‎ A. B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,故选.‎ ‎2.已知集合，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合B，根据交集的定义写出即可．‎ ‎【详解】解：集合，‎ ‎，‎ 则 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎3.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将表示为对数的形式，判断出，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较与的大小，即可得到的大小关系.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.‎ ‎4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是.公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率和约率。大约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为（）.在这4个圆周率的近似值中，最接近真实值的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次计算出每个近似值，与圆周率作对比找到最接近真实值的项.‎ ‎【详解】，，，‎ 由圆周率的值可知，最接近真实值的为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查圆周率的相关知识，关键是能够准确计算出各个近似值，属于基础题.‎ ‎5.函数的图象大致是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 ‎【详解】当时，‎ 故函数图像过原点，排除 又，令 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有符合要求 故选 ‎【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．‎ ‎6.某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（　　）‎ A. 44号 B. 294号 C. 1196号 D. 2984号 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.‎ ‎【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又.其他选项均不满足.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.‎ ‎7.，若，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解.‎ ‎【详解】由题：‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力.‎ ‎8.已知向量，满足，，且则向量与的夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出，再由向量夹角公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为向量，满足，，且，‎ 所以，即，因此，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，输出的　　‎ A. 25 B. 9 C. 17 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．‎ ‎【详解】按照程序框图依次执行为，，；‎ ‎，，；‎ ‎，，，‎ 退出循环，输出．故应选C．‎ ‎【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎10.在中，分别是双曲线的左、右焦点，点在上若，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由（）0，得AB＝BC，结合0，得△ABC是一个等腰直角三角形，求出AC的长，再利用双曲线的定义建立a与c的关系式，即可求出离心率．‎ ‎【详解】∵（）0，又，‎ ‎∴（）•（），‎ 则||＝||，即BA＝BC，‎ 又0，∴△ABC是一个等腰直角三角形，‎ 由题意得：C点在双曲线的右支上，‎ ‎∴AB＝BC＝2c，AC＝2c，又AC﹣BC＝2a，‎ 即2c﹣2c＝2a，解得离心率e，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积的性质，考查了双曲线的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎11.已知的内角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理得，再由余弦定理得，最后由求面积.‎ ‎【详解】由结合正弦定理可得，则.‎ 由余弦定理，可得，‎ 解得，则.‎ 又，‎ 所以.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积.已知关于三角形的边和角的正弦值的等式，一般由正弦定理化角为边或化边为角.已知角的余弦值，一般可由余弦定理列式.‎ ‎12.已知，为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则椭圆的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，不妨设点位于第一象限，根据，得到，根据与轴正方向的夹角为，得到，从而由求出，，得到，，联立，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，‎ 不妨设点位于第一象限，‎ 因为，所以为直角三角形，因此；‎ 又与轴正方向的夹角为，‎ 所以，，即；‎ 所以，解得：，所以；‎ 因此①，‎ 又②，‎ 由①②解得：，因此所求椭圆方程为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.若，则曲线在点处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，令求得，从而得到函数解析式，进一步求得，再由直线的点斜式方程并化简得到直线的一般方程．‎ ‎【详解】，‎ ‎，则，即．‎ ‎，则．‎ 曲线在点处的切线方程是，‎ 即．‎ 故答案．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，由已知函数解析式求得，再得到函数的解析式是求解的关键．‎ ‎14.设等差数列前项和为，若，，则=__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件列出关于首项、公差的方程组，求解出后即可得到数列的通项公式，即可求解出的值.‎ ‎【详解】设的首项、公差，因为，，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以. 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量计算，难度较易.已知数列为等差数列，可以通过构造关于首项、公差的方程组求解通项公式，也可以利用等差数列的下标和、前项和性质求解通项公式.‎ ‎15.函数的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值.‎ ‎【详解】‎ 所以令，则 因此当时，取最小值，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16.一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别，，，则此四面体的体积为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将四面体放在长方体内，求出长方体的长、宽、高，再利用割补发即可求得四面体的体积.‎ ‎【详解】设四面体所在的长方体棱长分别为，，，则解得 所以四面体的体积，‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，关键是把四面体放在的长方体考虑问题，属常规考题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.‎ 年龄 ‎（单位：岁）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 ‎（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成使用微信交流的概率.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中.‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)结合所给数据绘制列联表，据此计算可得K2＝≈9.98＞6.635.则有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．‎ ‎(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，据此列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝．‎ 试题解析：‎ ‎(1)2×2列联表如下：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 ‎10‎ ‎27‎ ‎37‎ 不赞成 ‎10‎ ‎3‎ ‎13‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ K2＝≈9.98＞6.635.‎ 所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关． ‎ ‎(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，‎ 则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb、Ca、Cb，共9种结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝． ‎ ‎18.已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）若，且数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】(1).(2)见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设公差为，由已知条件列出方程组，解得，解得数列的通项公式.‎ ‎(2)得出，可由裂项相消法求出其前项和，进而可证结论.‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为().‎ 由题意得则 化简得解得 所以.‎ ‎(2)证明：，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如的数列，可由裂项相消法求和.‎ ‎19.等腰直角三角形中，，为的中点，正方形与三角形所在的平面互相垂直．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）连, 交于,连,由中位线定理即可证明平面.‎ ‎（Ⅱ）根据,由等体积法即可求得点到平面的距离.‎ ‎【详解】（Ⅰ）连,设交于,连,如下图所示:‎ 因为为的中点,为的中点,‎ 则 面,不在面内，‎ 所以平面 ‎（Ⅱ）因为等腰直角三角形中,‎ 则,又因为 所以平面 则 设点到平面的距离为.‎ 注意到，‎ 由,代入可得：‎ ‎，‎ 解得.‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于中等题.‎ ‎20.已知函数，. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；‎ ‎(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)设，‎ ‎∴，‎ 令，则；，则；‎ ‎∴在上单调递增，上单调递减，‎ ‎∴，无极小值.‎ ‎(Ⅱ)由，即在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 设，则，‎ 显然，‎ 设，则，故在上单调递减 由，，‎ 由零点定理得，使得，即 且时，，则，‎ 时，. 则 ‎∴在上单调递增，在上单调递减 ‎∴，‎ 又由，，则 ‎∴由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21.已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出，即可得到椭圆方程． （2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可．‎ ‎【详解】（1）解：由题意解得，，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，‎ 故设的方程为，，，‎ 联立方程得消去，整理得，‎ ‎∴，，，‎ ‎ ，‎ 当且仅当时等号成立，此时：，‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆的方程为被圆截得的弦长为.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，且，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先将圆C的方程化成直角坐标方程，直线l化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）联立直线l与圆C的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得即. 直线的普通方程为， 被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即解得. ‎ ‎（Ⅱ）法1：当时，将的参数方程代入圆的直角坐标方程得，‎ ‎，即，由于，故可设是上述方程的两实根，所以又直线过点，故由上式及的几何意义得， . ‎ 法2：当时点，易知点在直线上. 又，‎ 所以点在圆外.联立消去得，.‎ 不妨设，所以.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.‎ ‎ ‎