- 2021-07-01 发布 |
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文档介绍
2020届二轮复习不等式综合应用课时作业(全国通用)
第三十二讲 不等式综合应用 A组 一、选择题 1.(2017年山东卷理)若,且,则下列不等式成立的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,所以选B. 2.(2016年新课标1理)设集合,,则 (A) (B) (C) (D) 解:,. 故. 故选D. 3.(16年四川卷文) 设:实数满足且,:实数满足,则是的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解:由题意,且,则,而当时不能得出,且.故是的充分不必要条件,选A. 4.下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 解:由基本不等式得,故选C. 5.已知函数是定义域为的偶函数,且在上单调递增,则不等式的解集为( ) A. B.C.D. 解:由函数是定义域为的偶函数,得函数的图象关于对称,又因为在上单调递增, ∴ , 故选D 二、填空题 6.(2016年高考上海卷理)设若关于的方程组无解,则的取值范围是_________. 解:将方程组中的(1)式化简得,代入(2)式整理得,方程组无解应该满足且,即且,所以.所以答案为 7.若实数满足,则的最小值为 . 解析:又, ,当且仅当时取等号. 8.(2016年新课标2文)若满足约束条件,则的最小值为__________ 解:由得,点,由得,点,由得,点,分别将,,代入得:,,,所以的最小值为.故答案为: 三、解答题 9.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为,则出厂价相应提高的比例为0.75,同时预计年销售量增加的比例为0.6.已知年利润=(出厂价–投入成本)年销售量. (Ⅰ)写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式; (Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例应在什么范围内? 解:(Ⅰ)由题意得 , 整理得. (Ⅱ)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当 即 解不等式得 . 答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例应满足. 10.设函数,其中,区间. (Ⅰ)求的长度(注:区间的长度定义为; (Ⅱ)给定常数,当时,求长度的最小值. 解:(Ⅰ)令 解得 , 的长度 (Ⅱ) 因为 则, 设区间长度为,则由(1)知 所以,则. 故关于在上单调递增,在上单调递减. , 由 所以 11.已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)求证:当时,;来源:__Z_X_X_K] 解析:(I)因为,所以,. 又因为,所以曲线在点处的切线方程为. (II)令,则. 因为,所以在区间上单调递增.所以,, 即当时,. 11.已知函数,在区间上,恒成立,求的取值范围 解法1:恒成立即不等式恒成立,令 只需即可, ,令(分析的单调性) 当时 在单调递减,则 当时,分是否在中讨论(最小值点的选取) 若,单调性如表所示 若,则在上单调递增,,符合题意 综上所述: 解法2:,令,则只需即可 令, 在上单调递增 ,在上单调递增 (无最大值,只有临界值,故可取等号) B组 一、选择题 1.(16年浙江文)已知,且,若 ,则( ) A. B. C. D. 解:, 当时,,,; 当时,,,. 故选D. 2.(2016年高考四川卷理) 设:实数满足,:实数满足 则是的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解:画出可行域如图所示,可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆内,故选A 3.(16年浙江文)若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A. B. C. D. 解:画出平面区域如图所示,由,得.由,得. 由题意可知,当斜率为的两条直线分别过点和时,两直线的距离为.故选B 4.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为,且,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/ m2)分别为,且.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是 A. B. C. D. 解析:由,, 得 ,故; 同理, , 故. 又 ,故 .故最低费用为,选B. 二、填空题 5.已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为,则实数的值为____. 解:由值域为,当时有,即, ∴. ∴解得,. ∵不等式的解集为,∴, 解得. 故填: 6.(16年上海理)已知是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的取值范围是______. 解:由是偶函数可知,单调递增;单调递减 又, 可得,即,故填: 三、解答题 7.(2016年高考天津卷文)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数. (Ⅰ)用列出满足生产条件的数关系式,并画出相应的平面区域; (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润. (Ⅰ)解:由已知 满足的数关系式为,该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分. (Ⅱ)解:设利润为万元,则目标函数为,这是斜率为,随变化的一族平行直线,为直线在轴上的截距,当取最大值时,的值最大.又因为满足约束条件,所以由图可知,当直线经过可行域中的点时,截距取最大,的值最大.解方程组 得点,所以. 答:生产甲肥料车皮,乙肥料车皮时利润最大,且最大利润为万元. 8.已知函数 (为实常数). (1)若函数图象上动点到点的距离的最小值为,求的值; (2)若函数在区间上是增函数,试用函数单调性的定义求实数的取值范围; (3)设,若不等式在时有解,求的取值范围. 解 (1) 设,则 当且仅当时,取得最小值,即取得最小值 当时, 解得 当时, 解得 所以或. (2)由题意知,任取,且, 则 因为, 所以,即. 由,得,所以. 所以的取值范围是]. (3)由,得. 因为,所以. 令,则,所以 令,, 于是,要使原不等式在时有解, 当且仅当. 因为, 所以的图象开口向下, 对称轴为直线. 因为,所以当, 即时,; 当,即时,. 综上,当时,的取值范围为; 当时,的取值范围为. 9.(16年浙江文)设函数,. 证明:(I); (II). 证明:(Ⅰ)因为 由于,有,即, 所以 (II)由得, 故 所以 由(I)得, 又因为,所以, 综上所述, 10.设函数,R). (Ⅰ)当时,求函数在上的最小值的表达式; (Ⅱ)已知函数在上存在零点,,求的取值范围. 解:(Ⅰ)当时,,故对称轴为直线. 当时,. 当时,. 当时,. 综上,. (Ⅱ)设为方程的解,且,则,由于, 因此. 当时,,由于和,所以. C组 一、选择题 1(16年新课标1理)若,,则( ) (A) (B) (C) (D) 解:对A: 由于,∴函数在上单调递增,因此,A错误 对B: 由于,∴函数在上单调递减, ∴,B错误 对C: 要比较和,只需比较和,只需比较和,只需和 构造函数,则,在 上单调递增,因此 又由得,∴,C正确 对D: 要比较和,只需比较和 而函数在上单调递增,故 又由得,∴,D错误 故选C. 2.函数且的图象恒过定点,若点在直线上,其中,均大于,则的最小值为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解:根据题意,有,所以有,所以 ,故选C. 3.设函数=,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 解:设=,,由题知存在唯一的整数,使得在直线的下方.因为,所以当时,<0,当时,>0,所以当时,=,当时,=-1,,直线恒过(1,0)斜率且,故,且,解得≤<1,故选D. 4.若定义在上的函数 满足,其导函数满足 ,则下列结论中一定错误的是 A. B. C. D. 解:由已知条件,构造函数,则,故函数在R上单调递增,且,故,所以,即, 所以结论中一定错误的是C,选项D不确定;构造函数,则,故函数在R上单调递增,且,故,所以,即,选项A,B无法判断,故选C. 二、填空题 5.已知,,若对任意的,总存在,使得,则的取值范围是__________ 解析:,所以, 任意的,总存在,使得的最小值大于的最小值,所以的取值范围是,故填 . 6.已知正数满足:,,则的取值范围是____. 【解析】条件,可化为:. 设,则题目转化为: 已知满足,求的取值范围. 作出()所在平面区域(如图).求出的切 线的斜率,设过切点的切线为, 则,要使它最小,须. ∴的最小值在处,为.此时,点在上之间. 当()对应点时, , ∴的最大值在处,为7. ∴的取值范围为,即的取值范围是. 三、解答题 7.(16年上海理)已知,函数. (1)当时,解不等式; (2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围; (3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围. 解:(1)由,得,解得.[来源:Zxxk.Com] (2),, 当时,,经检验,满足题意. 当时,,经检验,满足题意. 当且时,,,. 是原方程的解当且仅当,即; 是原方程的解当且仅当,即. 于是满足题意的. 综上,的取值范围为. (3)当时,,, 所以在上单调递减. 函数在区间上的最大值与最小值分别为,. 即,对任意 成立. 因为,所以函数在区间上单调递增,时, 有最小值,由,得. 故的取值范围为. 8.设函数,曲线在点处的切线为. (Ⅰ)求; (Ⅱ)证明:. 解:(Ⅰ) 函数的定义域为, 由题意可得, 故 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,从而等价于, 设函数,则,所以当时,,当时,,故在单调递减,在单调递增,从而在的最小值为 . 设函数,则,所以当时,,当时,,故在单调递增,在单调递减,从而在的最大值为. 综上所述,当时,,即. 9.(16年新课标1理)已知函数有两个零点. (Ⅰ)求的取值范围; (Ⅱ)设是的两个零点,证明:. 解:(I) . (i) 设,则,只有一个零点. (ii) 设,则当时,;当时,. 所以在单调递减,在单调递增. 又,,取满足且,则 , 故存在两个零点. (iii) 设,由得或. 若,则,故当时,,因此在单调递增. 又当时,所以不存在两个零点. 若,则,故当时,;当时,. 因此在单调递减,在单调递增. 又当时,所以不存在两个零点. 综上,的取值范围为. (II) 解法1:不妨设. 由(I)知,,,,在单调递减,所以等价于,即. 由于,而,所以 , 设,则. 所以当时,,而,故当时. 从而,故. 解法2: 由已知得:,不难发现,, 故可整理得: 设,则,那么, 当时,,单调递减; 当时,,单调递增. 设,构造代数式: 设, 则,故单调递增,有. 因此,对于任意的,. 由可知、不可能在的同一个单调区间上,不妨设,则必有 令,则有 而,,在上单调递增,因此: 整理得:. 10.已知,函数. (Ⅰ)证明:当时, (ⅰ)函数的最大值为; (ⅱ) ; (Ⅱ) 若对恒成立,求的取值范围. 解: (Ⅰ)(ⅰ) . 当时,在上恒成立, 此时的最大值为:; 当时, 在上的正负性不能判断, 此时的最大值为: ; 综上所述:函数在上的最大值为; (ⅱ) 要证,即证. 亦即证在上的最大值小于(或等于) , ∵,∴. 当时,在恒成立, 此时的最大值为:; 当时,在上的正负性不能判断, 令. 所以 综上所述:在上的最大值小于(或等于) . 即在上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在上的最大值为; 且函数在上的最小值比要大. ∵对恒成立, ∴. 取为纵轴,为横轴.又,则可行域为:和, 目标函数为. 作图如下: a y O b=z-a b=a+1 b=3a-1 b=2a 由图易得:当目标函数为过时, 有. ∴所求的取值范围为:. 查看更多