2019届二轮复习(文)2-5-3-2空间中的垂直与几何体的体积课件（25张）

2019届二轮复习(文)2-5-3-2空间中的垂直与几何体的体积课件（25张）

5.3.2 　空间中的垂直与几何体的体积 - 2 - 考向一 考向二 考向三 考向四 垂直关系的证明 例 1 (2018 北京卷 , 文 18) 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 为矩形 , 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , PA ⊥ PD , PA=PD , E , F 分别为 AD , PB 的中点 . ( 1) 求证 : PE ⊥ BC ; (2) 求证 : 平面 PAB ⊥ 平面 PCD ; (3) 求证 : EF ∥ 平面 PCD. - 3 - 考向一 考向二 考向三 考向四 证明 (1) ∵ PA=PD , 且 E 为 AD 的中点 , ∴ PE ⊥ AD . ∵ 底面 ABCD 为矩形 , ∴ BC ∥ AD , ∴ PE ⊥ BC. (2) ∵ 底面 ABCD 为矩形 , ∴ AB ⊥ AD. ∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , ∴ AB ⊥ 平面 PAD. ∴ AB ⊥ PD. 又 PA ⊥ PD , PA ∩ AB=A , ∴ PD ⊥ 平面 PAB. ∵ PD ⊂ 平面 PCD , ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 PCD . - 4 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (3) 如图 , 取 PC 的中点 G , 连接 FG , GD. ∵ F , G 分别为 PB 和 PC 的中点 , ∴ FG ∥ BC , 且 FG= BC . ∵ 四边形 ABCD 为矩形 , 且 E 为 AD 的中点 , ∴ ED ∥ BC , ED= BC , ∴ ED ∥ FG , 且 ED=FG , ∴ 四边形 EFGD 为平行四边形 , ∴ EF ∥ GD. 又 EF ⊄ 平面 PCD , GD ⊂ 平面 PCD , ∴ EF ∥ 平面 PCD. 解题心得 从解题方法上讲 , 由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化 , 因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行 . - 5 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 1 如图 , 在三棱锥 P-ABC 中 , PA ⊥ AB , PA ⊥ BC , AB ⊥ BC , PA=AB=BC= 2, D 为线段 AC 的中点 , E 为线段 PC 上一点 . (1) 求证 : PA ⊥ BD ; (2) 求证 : 平面 BDE ⊥ 平面 PAC ; (3) 当 PA ∥ 平面 BDE 时 , 求三棱锥 E-BCD 的体积 . - 6 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (1) 证明 因为 PA ⊥ AB , PA ⊥ BC , 所以 PA ⊥ 平面 ABC. 又因为 BD ⊂ 平面 ABC , 所以 PA ⊥ BD. (2) 证明 因为 AB=BC , D 为 AC 中点 , 所以 BD ⊥ AC. 由 (1) 知 , PA ⊥ BD , 所以 BD ⊥ 平面 PAC. 所以平面 BDE ⊥ 平面 PAC. (3) 解 因为 PA ∥ 平面 BDE , 平面 PAC ∩ 平面 BDE=DE , 所以 PA ∥ DE . - 7 - 考向一 考向二 考向三 考向四 证明垂直关系及求体积 例 2 (2018 山东济宁一模 , 文 18) 如图 , 直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , ∠ ACB= 90 ° , AC=BC= 2, M 是棱 AB 的中点 . (1) 证明 : 平面 C 1 CM ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ; (2) 若 MC 1 与平面 ACC 1 A 1 所成角的正弦值 为 , 求四棱锥 M-ACC 1 A 1 的体积 . - 8 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (1) 证明 在 △ ABC 中 , ∵ AC=BC , M 是棱 AB 的中点 , ∴ CM ⊥ AB. 由直三棱柱的性质知 : BB 1 ⊥ 平面 ABC , CM ⊂ 平面 ABC , ∴ BB 1 ⊥ CM. 又 AB ∩ BB 1 =B , ∴ CM ⊥ 平面 ABB 1 A 1 , CM ⊂ 平面 C 1 CM , ∴ 平面 C 1 CM ⊥ 平面 ABB 1 A 1 . (2) 解 取 AC 的中点 O , 连接 OM , OC 1 , 则 OM ∥ BC , 由直三棱柱的性质知 : CC 1 ⊥ 平面 ABC , ∴ CC 1 ⊥ BC , - 9 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 证明面面垂直一般先证线面垂直 , 然后说明另一平面经过垂线 . 已知线面的夹角 , 易求线段的长或线上一点到面的距离 . - 10 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 2 (2018 北京朝阳模拟 , 文 18) 如图 , 在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 底面 ABC 为正三角形 , 侧棱 AA 1 ⊥ 底面 ABC. 已知 D 是 BC 的中点 , AB=AA 1 = 2 . (1) 求证 : 平面 AB 1 D ⊥ 平面 BB 1 C 1 C ; (2) 求证 : A 1 C ∥ 平面 AB 1 D ; (3) 求三棱锥 A 1 -AB 1 D 的体积 .   - 11 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (1) 证明 由已知 △ ABC 为正三角形 , 且 D 是 BC 的中点 , 所以 AD ⊥ BC. 因为侧棱 AA 1 ⊥ 底面 ABC , AA 1 ∥ BB 1 , 所以 BB 1 ⊥ 底面 ABC. 又因为 AD ⊂ 底面 ABC , 所以 BB 1 ⊥ AD. 而 B 1 B ∩ BC=B , 所以 AD ⊥ 平面 BB 1 C 1 C. 因为 AD ⊂ 平面 AB 1 D , 所以平面 AB 1 D ⊥ 平面 BB 1 C 1 C. (2) 证明 连接 A 1 B , 设 A 1 B ∩ AB 1 =E , 连接 DE. 由已知得 , 四边形 A 1 ABB 1 为正方形 , 则 E 为 A 1 B 的中点 . ∵ D 是 BC 的中点 , ∴ DE ∥ A 1 C. ∵ DE ⊂ 平面 AB 1 D , A 1 C ⊄ 平面 AB 1 D , ∴ A 1 C ∥ 平面 AB 1 D. - 12 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 13 - 考向一 考向二 考向三 考向四 折叠问题中的垂直及体积 例 3 (2018 全国卷 1, 文 18) 如图 , 在平行四边形 ABCM 中 , AB=AC= 3, ∠ ACM= 90 ° . 以 AC 为折痕将 △ ACM 折起 , 使点 M 到达点 D 的位置 , 且 AB ⊥ DA . (1) 证明 : 平面 ACD ⊥ 平面 ABC ; (2) Q 为线段 AD 上一点 , P 为线段 BC 上一点 , 且 BP=DQ= DA , 求三棱锥 Q-ABP 的体积 . - 14 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (1) 证明 由已知可得 , ∠ BAC= 90 ° , BA ⊥ AC . 又 BA ⊥ AD , 所以 AB ⊥ 平面 ACD. 又 AB ⊂ 平面 ABC , 所以平面 ACD ⊥ 平面 ABC. - 15 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 16 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 平面图形翻折后成为空间图形 , 翻折后还在一个平面上的线线和线面的关系不发生变化 , 不在同一个平面上的可能发生变化 . 解决这类问题就是要根据这些变与不变 , 去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值 . - 17 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 3 如图 1, 菱形 ABCD 的边长为 12, ∠ BAD= 60 ° , AC 交 BD 于点 O. 将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起 , 得到三棱锥 B-ACD , 点 M , N 分别是棱 BC , AD 的中点 , 且 DM= 6 . (1) 求证 : OD ⊥ 平面 ABC ; (2) 求三棱锥 M-ABN 的体积 . - 18 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (1) 证明 ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AD=DC , OD ⊥ AC. 在 △ ADC 中 , AD=DC= 12, ∠ ADC= 120 ° , 则 OD= 6 . ∵ M 是 BC 的中点 , ∵ OD 2 +OM 2 =MD 2 , ∴ DO ⊥ OM. ∵ OM , AC ⊂ 平面 ABC , OM ∩ AC=O , ∴ OD ⊥ 平面 ABC. - 19 - 考向一 考向二 考向三 考向四 垂直关系与线线角、线面角 例 4 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , AD ⊥ 平面 PDC , AD ∥ BC , PD ⊥ PB , AD= 1, BC= 3, CD= 4, PD= 2 . ( 1) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值 ; (2) 求证 : PD ⊥ 平面 PBC ; (3) 求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 . - 20 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (1) 解 如图 , 由已知 AD ∥ BC , 故 ∠ DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角 . 因为 AD ⊥ 平面 PDC , ( 2) 证明 因为 AD ⊥ 平面 PDC , 直线 PD ⊂ 平面 PDC , 所以 AD ⊥ PD. 又因为 BC ∥ AD , 所以 PD ⊥ BC. 又 PD ⊥ PB , 所以 PD ⊥ 平面 PBC. - 21 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (3) 解 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F , 连接 PF , 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角 . 因为 PD ⊥ 平面 PBC , 故 PF 为 DF 在平面 PBC 上 的射影 , 所以 ∠ DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所 成的角 . 由于 AD ∥ BC , DF ∥ AB , 故 BF=AD= 1 , 由 已知 , 得 CF=BC-BF= 2 . 又 AD ⊥ DC , 故 BC ⊥ DC , - 22 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 求异面直线所成的角、线与面所成的角角的方法是一作 , 二证 , 三求 . 异面直线所成的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的角 ; 线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影 , 转化为直线与直线在平面内的射影所成的角 . - 23 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 4 如图 , DC ⊥ 平面 ABC , EB ∥ DC , AC=BC=EB= 2 DC= 2 , ∠ ACB= 120 ° , P , Q 分别为 AE , AB 的中点 . (1) 证明 : PQ ∥ 平面 ACD ; (2) 求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值 . - 24 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 25 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (2) 解 在 △ ABC 中 , ∵ AC=BC= 2, AQ=BQ , ∴ CQ ⊥ AB. 又 DC ⊥ 平面 ABC , EB ∥ DC , ∴ EB ⊥ 平面 ABC. ∵ EB ⊂ 平面 ABE , ∴ 平面 ABE ⊥ 平面 ABC , ∴ CQ ⊥ 平面 ABE. 由 (1) 知四边形 DCQP 是平行四边形 , ∴ DP ∥ CQ , ∴ DP ⊥ 平面 ABE , ∴ 直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP , ∴ 直线 AD 与平面 ABE 所成 角