数学文卷·2017届北京市朝阳区高三第一次(3月)综合练习(2017

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数学文卷·2017届北京市朝阳区高三第一次(3月)综合练习(2017

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学测试题(文史类) 2017.3‎ ‎(考试时间120分钟 满分150分)‎ 本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎(1)已知集合,,则 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(2)若满足 则的最大值为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(3)执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出 开始 输入m,n 是 结束 输出a 否 a能被n整除?‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)已知直线过定点 , 则“直线与圆相切”是“直线的斜率为”的 ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(5)已知函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足.‎ 如果直线的斜率为,那么 ‎ (A) (B) 16 (C) (D)‎ ‎(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的底面的面积是 侧视图 ‎0.5‎ 俯视图 ‎1‎ 正视图 ‎1‎ ‎0.5‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)如图,三个开关控制着号四盏灯.若开关控制着号灯(即按一下开关,号灯亮,再按一下开关,号灯熄灭),同样,开关控制着号灯,开关控制着号灯.开始时,四盏灯都亮着,那么下列说法正确的是 ‎(A)只需要按开关可以将四盏灯全部熄灭 ‎(B)只需要按开关可以将四盏灯全部熄灭 ‎(C)按开关可以将四盏灯全部熄灭 ‎(D)按开关无法将四盏灯全部熄灭 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎(9)复数在复平面内对应的点的坐标是_______.‎ ‎(10)已知为等差数列,为其前项和.若,,则数列的公差 ,通项公式 . ‎ ‎(11)已知函数的一个零点在区间内,则实数的取值范围是 . ‎ ‎(12)在△中,,,,则____,_____.‎ ‎(13)为了促销某电子产品,商场进行降价,设,,,有三种降价方案:‎ ‎ 方案①:先降,再降;‎ ‎ 方案②:先降,再降;‎ ‎ 方案③:一次性降价.‎ ‎ 则降价幅度最小的方案是_________.(填出正确的序号)‎ ‎(14) 如图,,,是三个边长为的等边三角形,且有一条边在同一直线上,边上有个不同的点,设(),则 ________. ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求函数在上的单调递增区间.‎ ‎(16)(本小题满分13分)‎ 已知数列满足设,.‎ ‎ (Ⅰ)证明是等比数列; ‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和. ‎ ‎(17)(本小题满分13分)‎ 某校高三年级共有学生195人,其中女生105人,男生90人.现采用按性别分层抽样的方法,从中抽取13人进行问卷调查.设其中某项问题的选择分别为“同意”、“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.‎ 同意 不同意 合计 女学生 ‎4‎ 男学生 ‎2‎ ‎  (Ⅰ)完成上述统计表;‎ ‎  (Ⅱ)根据上表的数据估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数; ‎ ‎(Ⅲ) 从被抽取的女生中随机选取2人进行访谈,求选取的2名女生中至少有一人选择“同意”的概率. ‎ ‎(18)(本小题满分14分)‎ P A B C D E 如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,为的中点.‎ ‎ (Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)在平面内是否存在,使得直 ‎ 线平面,请说明理由.‎ ‎(19)(本小题满分14分)‎ 过点的直线与椭圆相交于两点,自分别向直线作垂线,垂足分别为. ‎ ‎(Ⅰ)当直线的斜率为1时,求线段的中点坐标;‎ ‎(Ⅱ)记,的面积分别为,.设,求的取值范围.‎ ‎(20)(本小题满分13分)‎ 已知函数,其中为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线 在点处的切线与直线垂直,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)设函数,若在区间内存在唯一的极值点,求的值;‎ ‎(Ⅲ)用 表示m,n中的较大者,记函数.若函数在上恰有2个零点,求实数的取值范围.‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学测试题答案(文史类) 2017.3‎ 一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.‎ 题号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ 答案 C B C B C A D D 二、 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ 题号 ‎(9)‎ ‎(10)‎ ‎(11)‎ ‎(12)‎ ‎(13)‎ ‎(14)‎ 答案 ‎ ②‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)因为 ‎,‎ 所以函数的最小正周期为. …………………………………6分 ‎(Ⅱ)令得,‎ ‎ ,‎ ‎ 所以.‎ ‎ 又因为,‎ 所以函数在上的单调递增区间是和.……………13分 ‎(16)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)由,得.‎ ‎ 所以,即 又因为,‎ 所以数列是以1为首项,公比为的等比数列.……………………7分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 则数列的前项和 ‎. …………………………………13分 ‎(17)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)统计表如下:‎ 同意 不同意 合计 女学生 ‎4‎ ‎3‎ ‎7‎ 男学生 ‎4‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎ ……………………………………………………………………………………………3分 ‎(Ⅱ)高三年级学生该项问题选择“同意”的人数估计有 ‎(人). ………………………7分 ‎(Ⅲ)设“同意”的4名女生分别为,“不同意”的3名女生分别为.‎ 从7人中随机选出2人的情况有 ‎ ,共21种结果.‎ 其中2人都选择“不同意”的情况有,共3种结果.‎ 设2名女生中至少有一人选择“同意”为事件,‎ 所求概率 . ………………………13分 ‎(18)(本小题满分14分)‎ 证明:(Ⅰ)因为平面平面, ‎ ‎ 平面平面,‎ ‎ 又因为,‎ ‎ 所以平面.‎ ‎ 则. …………………5分 ‎(Ⅱ)由已知,BCED,且BC=ED,所以四边形BCDE是平行四边形,‎ P B C D M E A 又,,所以四边形BCDE是正方形,‎ 连接,所以,‎ 又因为,‎ 所以四边形是平行四边形,‎ 所以,则.‎ 由(Ⅰ)知平面,‎ 所以,‎ 又因为,‎ 则平面,‎ 且平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎…………………10分 ‎(Ⅲ)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点. 理由如下:由已知,BCED,且BC=ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形,所以,即,‎ 又平面,平面,‎ ‎ 所以平面.‎ ‎ ………………………………………………………………14分 ‎(19)(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)依题意,直线的方程为,由,得.‎ 设,线段的中点为,‎ 则,,‎ ‎.所以. ………………6分 ‎(Ⅱ)设直线的方程为,由 得,显然.‎ 设,则,.‎ ‎.‎ 因为 ‎.‎ 因为,‎ 所以实数的取值范围是. ………………………………………14分 ‎20.(本小题满分13分)‎ 解:‎ ‎(Ⅰ) 易得,,所以, ‎ 依题意,,解得; …………………………3分 ‎(Ⅱ)因为,‎ ‎ 则.设,‎ 则.‎ 令,得.‎ 则由,得,为增函数;‎ 由,得,为减函数;‎ 而,.‎ 则在上有且只有一个零点,‎ 且在上,为减函数;‎ 在上,为为增函数.‎ 所以为极值点,此时.‎ 又,,‎ 则在上有且只有一个零点,‎ 且在上,为增函数;‎ 在上,为减函数.‎ 所以为极值点,此时.‎ 综上或. ……………………9分 ‎ ‎(Ⅲ)(1)当时,,依题意,,不满足条件;‎ ‎ (2)当时,,,‎ ①若,即,则是的一个零点;‎ ②若,即,则不是的零点;‎ ‎ (3)当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况.因为,所以 ①当时,,在上单调递增.‎ 又,所以 ‎(i)当时,,在上无零点;‎ ‎(ii)当时,,‎ 又,‎ 所以此时在上恰有一个零点;‎ ②当时,令,得.‎ 由,得;‎ 由,得;‎ 所以在上单调递减,在上单调递增.‎ 因为,‎ ‎,‎ 所以此时在上恰有一个零点;‎ 综上,. ………………………………13分
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