【数学】2019届一轮复习人教A版 数列 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 数列 学案

二、小题专项，限时突破 ‎3．数列 ‎(时间：40分钟)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分)‎ ‎1．已知等比数列{an}中，a1＋a3＝，a2＋a4＝，则a6＝( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 设等比数列的公比为q，由a1＋a3＝，a2＋a4＝，可得a1＝2，q＝，∴a6＝2×5＝.‎ ‎[答案] D ‎2．已知在等差数列{an}中，a3＋a6＋a9＝54，设数列{an}的前n项和为Sn，则S11＝( )‎ A．18 B．99 C．198 D．297‎ ‎[解析] 解法一：设等差数列{an}的公差为d，则由a3＋a6＋a9＝54得，a1＋2d＋a1＋5d＋a1＋8d＝3a1＋15d＝54，所以a1＋5d＝18，所以S11＝11a1＋55d＝11×18＝198.‎ 解法二：因为a3＋a6＋a9＝3a6＝54，所以a6＝18，S11＝11a6＝198.‎ ‎[答案] C ‎3．已知数列{an}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d为( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎[解析] 设{an}的公比为q，由题意得2(a3＋4)＝a1＋1＋a5＋7⇒2a3＝a1＋a5⇒2q2＝1＋q4⇒q2＝1，即a1＝a3，d＝a3＋4－(a1＋1)＝4－1＝3，选B.‎ ‎[答案] B ‎4．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝( )‎ A．4 B．16 C．32 D．64‎ ‎[解析] 由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故是公比为的等比数列，{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32，故选C.‎ ‎[答案] C ‎5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝7，S6＝63，则S9＝( )‎ A．264 B．483 C．511 D．567‎ ‎[解析] 解法一：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.‎ 由S3＝7，S6＝63，得 ‎∴S9＝＝511.‎ 解法二：由等比数列{an}的性质可得S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，∴(63－7)2＝7×(S9－63)，解得S9＝511.故选C.‎ ‎[答案] C ‎6．(2017·淮北一模)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝n(n∈N*)，则a2017＝( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，…，依此类推2017＝1＋1008×2，故a2017＝.选B.‎ ‎[答案] B ‎7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝a5.令bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前2n项和T2n为( )‎ A．－n B．－2n C．n D．2n ‎[解析] 设等差数列{an}的公差为d，由S3＝a5，得3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，∴an＝2n－1，∴bn＝(－1)n－1(2n－1)，∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝－2n，选B.‎ ‎[答案] B ‎8．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，(an－Sn－1)2＝SnSn－1，若bn＝log2，则bn＝( )‎ A．2n－3 B．2n－4‎ C．n－3 D．n－4‎ ‎[解析] 当n≥2时，(an－Sn－1)2＝SnSn－1，即(Sn－2Sn－1)2＝SnSn－1，即(Sn－Sn－1)(Sn－4Sn－1)＝0，∵正项数列{an}的前n项和为Sn，∴Sn≠Sn－1，∴Sn＝4Sn－1，∴数列{Sn}是等比数列，首项为1，公比为4，∴Sn＝4n－1，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1－4n－2＝3×4n－2，∴an＝∴当n≥2时，bn＝log2＝log222n－3＝2n－3，又当n＝1时也符合，故bn＝2n－3(n∈N*)，故选A.‎ ‎[答案] A ‎9．(2017·石家庄二模)已知数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＋1＝a1＋an＋n，则＋＋…＋＝( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] ∵a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n，∴an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1＋an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，n＝1时也成立，∴an＝，＝＝2，则的前n项和Sn＝2＝2＝，∴＋＋…＋＝＝，故选B.‎ ‎[答案] B ‎10．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和是Sn，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，且a4＋a5＝－20，则的最大值为( )‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎[解析] 设数列{an}的公差为d(d≠0)，则由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列得(a1＋d＋1)2＝(a1＋1)(a1＋3d＋1)，得d＝a1＋1，再由a4＋a5＝2a1＋7d＝－20，解得a1＝－3，d＝－2，故an＝－2n－1，Sn＝－n2－2n，则＝＝≤＝，当且仅当n＝1时取等号，所以的最大值为.‎ ‎[答案] A ‎11．(2017·新乡一模)已知在正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，bn＝ ‎，记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝3，则n的值是( )‎ A．99 B．33 C．48 D．9‎ ‎[解析] ∵2a＝a＋a(n≥2)，∴数列{a}为等差数列，首项为1，公差为22－1＝3，∴a＝1＋3(n－1)＝3n－2.又an>0，∴an＝，∴bn＝＝＝(－)，故数列{bn}的前n项和Sn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－1)，由Sn＝(－1)＝3，解得n＝33，故选B.‎ ‎[答案] B ‎12．已知在△ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，……，An，Bn分别是线段An－1A，Bn－1B(n∈N*，n>1)的中点，设数列{an}，{bn}满足：＝an＋bn(n∈N*)，给出下列四个命题，其中假命题是( )‎ A．数列{an}是单调递增数列，数列{bn}是单调递减数列 B．数列{an＋bn}是等比数列 C．数列(n∈N*，n>1)既有最小值，又有最大值 D．若△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则||最小时，an＋bn＝ ‎[解析] 由＝＝(－)，＝，＝＋＝＋(－)＝＋，所以an＝1－，bn＝－1，则数列{an}是单调递增数列，数列{bn}是单调递减数列，故A正确；数列{an＋bn}中，an＋bn＝，a1＋b1＝，即数列{an＋bn}是首项为，公比为的等比数列，故B正确；当n>1时，＝＝－1＋单调递增，有最小值，无最大值，故C错误；若△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则||2＝(a＋b)2＋2anbn·＝(a＋b)2，a＋b＝2＋2＝5×2－6×n＋2＝52＋，当n＝1时，a＋b取得最小值，即当||最小时，an＋bn＝，故D正确．所以C为假命题，故选C.‎ ‎[答案] C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)‎ ‎13．(2016·北京卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6‎ ‎＝________.‎ ‎[解析] 解法一：设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以S6＝6a1＋×6×5d＝36＋15×(－2)＝6.‎ 解法二：因为a3＋a5＝0，所以a4＝0，a2＋a6＝0，所以S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＝6.‎ ‎[答案] 6‎ ‎14．(2017·新余调研)已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝________.‎ ‎[解析] 由等比数列的性质可知，a2a6＝a＝16，而a2，a4，a6同号，故a4＝4，所以a3a4a5＝a＝64.‎ ‎[答案] 64‎ ‎15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝，则an＝________.‎ ‎[解析] ∵－an＝2SnSn－1(n≥2)，‎ ‎∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)，∵Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．‎ 又＝＝2，∴是以2为首项，2为公差的等差数列，可得＝2＋2(n－1)＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，当n＝1时，a1＝，∴an＝ ‎[答案] ‎16．(2017·宁德一模)已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－an(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(an－2)，则{bn}中最大项的值是________．‎ ‎[解析] 由a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－an，得Sn＝2n－an，取n＝1，得a1＝1，由Sn＝2n－an，得Sn－1＝2(n－1)－an－1(n≥2)，两式作差得an＝2－an＋an－1，即an－2＝(an－1－2)(n≥2)，又a1－2＝－1≠0，∴数列{an－2}构成以为公比的等比数列，则an－2＝－1×n－1，则bn＝(an－2)＝·＝，当n＝1时，b1＝－，当n＝2时，b2＝0，当n＝3时，b3＝，而当n≥3时，＝＝≤1，‎ ‎∴{bn}中最大项的值是.‎ ‎[答案]