2020届高考理科数学二轮专题复习课件：思想导引 方法点睛3-1

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2020届高考理科数学二轮专题复习课件：思想导引 方法点睛3-1

第三篇 思想导引 · 方法点睛 第 1 讲　函数与方程思想 题型一　在函数、方程、不等式中的应用 【例 1 】 (1) 设 00, 则 f′(x)=e x -1>0, 所以 f(x) 在 (0,+∞) 上是增函数 , 且 f(0)=0,f(x)>0, 所以 e x -1>x, 即 e a -1>a. 又 y=a x (0a e , 从而 e a -1>a>a e . (2) 选 A. 依题意 ,f(x) 在 (-∞,0) 上单调递减 , 且 f(x) 在 R 上是偶函数 . 所以 f(x) 在 (0,+∞) 上是增函数 , 且 f(1)=f(-1)=1. 由 f(a 2 -1)<1, 得 |a 2 -1|<1,-10 得 x 2 -4x+3<0, 解得 12 时 ,g(x) max =g(2)=4b-8. 故问题等价于 解得 b<1 或 1≤b≤ 所以 b≤ 答案 : 题型二　在三角函数、平面向量中的应用 【例 2 】 (1) 已知向量 a =(λ,1), b =(λ+2,1), 若 | a + b |= | a - b |, 则实数 λ 的值为 ( 　　 ) A.-1 B.2 C.1 D.-2 (2) 若方程 cos 2 x-sin x+a=0 在 上有解 , 则 a 的取 值范围是 __________.  【解析】 (1) 选 A. 方法一 : 由 | a + b |=| a - b |, 可得 a 2 + b 2 + 2 a · b = a 2 + b 2 -2 a · b , 所以 a · b =0, 故 a · b =(λ,1) · (λ +2,1)=λ 2 +2λ+1=0, 解得 λ=-1. 方法二 : a + b =(2λ+2,2), a - b =(-2,0), 由 | a + b |=| a - b |, 可得 (2λ+2) 2 +4=4, 解得 λ=-1. (2) 方法一 : 把方程变形为 a=-cos 2 x+sin x,x∈ 令 f(x)=-cos 2 x+sin x,x∈ 显然 , 当且仅当 a 属于 f(x) 的值域时有解 . 因为 f(x)=-(1-sin 2 x)+sin x= 且由 x∈ 知 sin x∈(0,1], 易求得 f(x) 的值域为 (-1,1], 故 a 的取值范围是 (-1,1]. 方法二 : 令 t=sin x, 由 x∈ 可得 t∈(0,1]. 将方程变为 t 2 +t-1-a=0. 依题意 , 该方程 在 (0,1] 上有解 , 设 f(t)=t 2 +t-1-a, 其图 象是开口向上的抛物线 , 对称轴 t= 如图所示 . 因此 ,f(t)=0 在 (0,1] 上有解等价于 即 所以 -10 恒成立 , 所以 f(x) 在 [1,+∞) 上是增函数 , 所以当 x=1 时 ,f(x) min =f(1)=3, 即当 n=1 时 ,(b n ) max = 要使对任意的正整数 n, 不等式 b n ≤k 恒成立 , 则须使 k≥ (b n ) max = 所以实数 k 的最小值为 【拓展提升】 数列问题函数 ( 方程 ) 化法 数列问题函数 ( 方程 ) 化要注意数列问题中 n 的取值为正整数 , 涉及的函数具有离散性特点 , 其一般解题步骤是 : 第一步 : 分析数列式子的结构特征 . 第二步 : 根据结构特征构造“特征”函数 ( 方程 ), 转化问题形式 . 第三步 : 研究函数性质 . 结合解决问题的需要研究函数 ( 方程 ) 的相关性质 , 主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究 . 第四步 : 回归问题 . 结合对函数 ( 方程 ) 相关性质的研究 , 回归问题 . 【变式训练】 已知等差数列 {a n } 的公差 d=1, 等比数列 {b n } 的公比 q=2, 若 1 是 a 1 ,b 1 的等比中项 , 设向量 a =(a 1 ,a 2 ), b =(b 1 ,b 2 ), 且 a · b =5. (1) 求数列 {a n },{b n } 的通项公式 . (2) 设 c n = log 2 b n , 求数列 {c n } 的前 n 项和 T n . 【解析】 (1) 依题设 ,a 1 b 1 =1, 且 a · b =5. 因为数列 {a n } 的公差为 d=1,{b n } 的公比 q=2, 所以 a n =n,b n =2 n-1 (n∈N * ). (2)c n = log 2 b n =2 n · log 2 2 n-1 =(n-1)2 n (n∈N * ), T n =c 1 +c 2 + … +c n =2 2 +2×2 3 +3×2 4 + … +(n-1)2 n , 2T n =2 3 +2×2 4 +3×2 5 + … +(n-1)2 n+1 , 两式相减得 , -T n =2 2 +2 3 +2 4 + … +2 n -(n-1)2 n+1 , = -(n-1)2 n+1 =-4+(2-n)2 n+1 , T n =(n-2)2 n+1 +4(n∈N * ). 题型四　函数与方程思想在几何问题中的应用 【例 4 】 (1) 某工件的三视图如图所示 , 现将该工件通过 切削 , 加工成一个体积尽可能大的长方体新工件 , 并使 新工件的一个面落在原工件的一个面内 , 则原工件材料 的利用率为 (2) 已知椭圆 C: =1(a>b>0) 的右焦点为 F(1,0), 如图 , 设左顶点为 A, 上顶点为 B, 且 ① 求椭圆 C 的方程 ; ② 若过 F 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点 , 试确定 的 取值范围 . 【解析】 (1) 选 A. 如图所示 , 原工件是一个底面半径为 1, 高为 2 的圆锥 , 依题意加工后的新工件是圆锥的内接长 方体 , 且落在圆锥底面上的面是正方形 , 设正方形的边 长为 a, 长方体的高为 h, 则 00) 的中 心和左焦点 , 点 P 为双曲线右支上的任意一点 , 则 的取值范围为 __________.  【解析】 由 c=2 得 a 2 +1=4, 所以 a 2 =3. 所以双曲线方程为 -y 2 =1. 设点 P(x,y)(x≥ ), =(x,y) · (x+2,y)=x 2 +2x+y 2 =x 2 +2x+ -1= x 2 +2x-1(x≥ ). 令 g(x)= x 2 +2x-1(x≥ ), 则 g(x) 在 [ ,+∞) 上单调递增 . g(x) min =g( )=3+2 所以 的取值范围为 [3+2 +∞). 答案 : [3+2 +∞)
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