【数学】2020届一轮复习人教A版归纳推理作业

【数学】2020届一轮复习人教A版归纳推理作业

‎2020届一轮复习人教A版 归纳推理 作业 ‎1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性结论是(　　)‎ A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2‎ B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2‎ C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2‎ D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2‎ 解析:观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是2n-1(n∈N*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.‎ 答案:B ‎2.已知不等式1+‎1‎‎2‎‎2‎‎<‎‎3‎‎2‎,1+‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎‎2‎<‎‎5‎‎3‎,1+‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎4‎‎2‎<‎‎7‎‎4‎,……均成立,照此规律,第五个不等式应为1+‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎4‎‎2‎+‎1‎‎5‎‎2‎+‎‎1‎‎6‎‎2‎<(　　)‎ A.‎9‎‎5‎ B.‎11‎‎5‎ C.‎11‎‎6‎ D.‎‎13‎‎6‎ 解析:观察不等式的左边发现,第n个不等式的左边=1+‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎‎2‎+…+‎1‎‎(n+1‎‎)‎‎2‎,右边=‎2(n+1)-1‎n+1‎,所以第五个不等式为1+‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎4‎‎2‎+‎1‎‎5‎‎2‎+‎1‎‎6‎‎2‎<‎‎11‎‎6‎.‎ 答案:C ‎3.设n是自然数,则‎1‎‎8‎(n2-1)[1-(-1)n]的值(　　)‎ A.一定是零 B.不一定是偶数 C.一定是偶数 D.是整数但不一定是偶数 解析:当n为偶数时,‎1‎‎8‎(n2-1)[1-(-1)n]=0为偶数;当n为奇数时(n=2k+1,k∈N),‎1‎‎8‎(n2-1)[1-(-1)n]=‎1‎‎8‎(4k2+4k)·2=k(k+1)为偶数.所以‎1‎‎8‎(n2-1)[1-(-1)n]的值一定为偶数.‎ 答案:C ‎4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=‎2‎an‎2+‎an(n∈N*),则可归纳猜想{an}的通项公式为(　　)‎ A.an=‎2‎n B.an=‎‎2‎n+1‎ C.an=‎1‎n D.an=‎‎1‎n+1‎ 解析:由已知得a1=1,a2=‎2‎a‎1‎‎2+‎a‎1‎‎=‎‎2‎‎3‎,a3=‎2‎a‎2‎‎2+‎a‎2‎‎=‎4‎‎3‎‎2+‎‎2‎‎3‎=‎‎2‎‎4‎,a4=‎2‎a‎3‎‎2+‎a‎3‎‎=‎2×‎‎1‎‎2‎‎2+‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎5‎,……由此可猜想an=‎2‎n+1‎.‎ 答案:B ‎5.设f(x)=‎1+x‎1-x,记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x)),则f2 016(2 016)等于(　　)‎ A.2 016 B.-‎‎1‎‎2 016‎ C.-‎1 009‎‎1 008‎ D.‎‎1 008‎‎1 009‎ 解析:由已知可得f1(x)=‎1+x‎1-x,f2(x)=-‎1‎x,f3(x)=x-1‎x+1‎,f4(x)=x,f5(x)=‎1+x‎1-x,f6(x)=-‎1‎x,f7(x)=x-1‎x+1‎,f8(x)=x,……可得fn(x)是以4为周期的函数,因此f2 016(x)=f504×4(x)=f4(x)=x,故f2 016(2 016)=2 016.‎ 答案:A ‎6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,……如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂(　　)‎ A.‎6(‎6‎‎6‎-1)‎‎6-1‎只 B.66只 C.63只 D.62只 解析:根据题意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+6×5=62(只),第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只),……故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B.‎ 答案:B ‎7.给出若干个数:‎2+‎‎2‎‎3‎‎,‎3+‎‎3‎‎8‎,‎4+‎‎4‎‎15‎,‎‎5+‎‎5‎‎24‎,……‎ 由此可猜测第n个数为　　　　. ‎ 解析:给出的每个数都是根式,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n个数为n+1+‎n+1‎‎(n+1‎)‎‎2‎-1‎.‎ 答案:‎n+1+‎n+1‎‎(n+1‎)‎‎2‎-1‎ ‎8.下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律,第(n)个图案中需用灰色瓷砖　　　　　　块(用含n的代数式表示). ‎ 解析:第(1),(2),(3),…个图案中灰色瓷砖数依次为15-3=12,24-8=16,35-15=20,……‎ 由此可猜测第(n)个图案中灰色瓷砖数为(n+2)·(n+4)-n(n+2)=4(n+2)=4n+8.‎ 答案:4n+8‎ ‎9.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.‎ ‎①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;‎ ‎②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;‎ ‎③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;‎ ‎④sin2(-18)°+cos248°-sin(-18)°cos 48°;‎ ‎⑤sin2(-25)°+cos255°-sin(-25)°cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;‎ ‎(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.‎ 解:(1)选择②式计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-‎1‎‎2‎sin 30°=‎3‎‎4‎.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=‎3‎‎4‎.‎ 证法一:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)‎ ‎=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°·cos α+sin 30°sin α)‎ ‎=sin2α+‎3‎‎4‎cos2α+‎3‎‎2‎sin αcos α+‎1‎‎4‎sin2α-‎3‎‎2‎sin αcos α-‎1‎‎2‎sin2α ‎=‎3‎‎4‎sin2α+‎3‎‎4‎cos2α=‎3‎‎4‎.故上式成立.‎ 证法二:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)‎ ‎=‎1-cos2α‎2‎‎+‎‎1+cos(60°-2α)‎‎2‎-sin α‎3‎‎2‎cosα+‎1‎‎2‎sinα ‎=1+‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎cos2α+‎3‎‎2‎sin2α-cos2α‎-‎‎3‎‎4‎sin 2α-‎1‎‎4‎(1-cos 2α)‎ ‎=1-‎1‎‎4‎cos 2α-‎1‎‎4‎‎+‎‎1‎‎4‎cos 2α=1-‎1‎‎4‎‎=‎‎3‎‎4‎.‎ 故上式成立.‎ ‎10.导学号40294007已知下列等式成立:‎1‎‎2‎‎2‎‎-1‎‎=‎1‎‎3‎,‎1‎‎2‎‎2‎‎-1‎+‎1‎‎4‎‎2‎‎-1‎=‎2‎‎5‎,‎1‎‎2‎‎2‎‎-1‎+‎1‎‎4‎‎2‎‎-1‎+‎1‎‎6‎‎2‎‎-1‎=‎3‎‎7‎,‎1‎‎2‎‎2‎‎-1‎+‎1‎‎4‎‎2‎‎-1‎+‎1‎‎6‎‎2‎‎-1‎+‎1‎‎8‎‎2‎‎-1‎=‎‎4‎‎9‎,……试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.‎ 解:从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,右边为‎1‎‎2×1+1‎;第2个等式左边有2项,右边为‎2‎‎2×2+1‎;第3个等式左边有3项,右边为‎3‎‎2×3+1‎;第4个等式左边有4项,右边为‎4‎‎2×4+1‎,‎ 由此可以归纳得出一般性的结论为‎1‎‎2‎‎2‎‎-1‎‎+‎1‎‎4‎‎2‎‎-1‎+‎‎1‎‎6‎‎2‎‎-1‎+…+‎1‎‎(2n‎)‎‎2‎-1‎‎=‎n‎2n+1‎(n∈N*).‎ 以下用数列的方法证明该等式成立:‎ ‎1‎‎2‎‎2‎‎-1‎‎+‎1‎‎4‎‎2‎‎-1‎+‎‎1‎‎6‎‎2‎‎-1‎‎+…+‎‎1‎‎(2n‎)‎‎2‎-1‎ ‎=‎1‎‎1×3‎‎+‎1‎‎3×5‎+‎‎1‎‎5×7‎+…+‎‎1‎‎(2n-1)(2n+1)‎ ‎=‎1‎‎2‎‎1‎‎1‎‎-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎+‎1‎‎5‎-‎‎1‎‎7‎+…+‎1‎‎2n-1‎‎-‎‎1‎‎2n+1‎=‎1‎‎2‎‎1‎‎1‎‎-‎‎1‎‎2n+1‎‎=‎n‎2n+1‎.‎