【数学】2020届数学文一轮复习第九章第2讲两直线的位置关系作业
1．已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B.充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.
2．当0
0，
故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．
3．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0，4) B.(0，2)
C．(－2，4) D．(4，－2)
解析：选B.由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，所以直线l2恒过定点(0，2)．
4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. B.4
C. D．2
解析：选C.因为l1∥l2，所以＝≠，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2的距离d＝＝.
5．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，
则有( )
A．a＝，b＝6 B.a＝－，b＝－6
C．a＝3，b＝－ D．a＝－3，b＝
解析：选B.在直线y＝－3x＋b上任意取一点A(1，b－3)，则点A关于直线x＋y＝0的对称点B(－b＋3，－1)在直线y＝ax＋2上，故有－1＝a(－b＋3)＋2，即－1＝－ab＋3a＋2，
所以ab＝3a＋3，
结合所给的选项，只有B项符合，故选B.
6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
解析：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，1)．
又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
7．以点A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．
解析：因为kAB＝＝－，
kDC＝＝－.
kAD＝＝，kBC＝＝.
则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．
又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，
故四边形ABCD为矩形．
故S＝|AB|·|AD|＝×＝25.
答案：25
8．已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．
解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－，
所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
9．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，
解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，
最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．
10．正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝＝，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝＝，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
1．已知定点A(1，0)，点B在直线x－y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是( )
A. B.
C. D．
解析：选A.因为定点A(1，0)，点B在直线x－y＝0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线x－y＝0垂直，AB的方程为y＋x－1＝0，与x－y＝0联立解得x＝，y＝，所以点B的坐标是.
2．在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为( )
A. B.
C．5 D．10
解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，
因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以M位于以PQ为直径的圆上，
因为|PQ|＝＝，
所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10，故选D.
3.
如图，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．
解析：从特殊位置考虑．如图，
因为点A(－2，0)关于直线BC：
x＋y＝2的对称点为A1(2，4)，所以kA1F＝4.又点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
4．在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析：设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．因为kAC＝＝2，
所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
又因为kBD＝＝－1，
所以直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，
即x＋y－6＝0.②
联立①②解得所以M(2，4)．
答案：(2，4)
5．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，
所以lAC的方程为2x＋y－11＝0，
联立得C(4，3)．
设B(x0，y0)，则AB的中点M，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
联立得B(－1，－3)，
所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.
6．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
解：(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，
即＝，
又a>0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，
即c＝或，
所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝×，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)；
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以存在点P同时满足三个条件．
