高考数学人教A版（理）一轮复习：第三篇 第1讲 变化率与导数、导数的运算

高考数学人教A版（理）一轮复习：第三篇 第1讲 变化率与导数、导数的运算

第三篇 导数及其应用 第 1 讲 变化率与导数、导数的运算 A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1．(2011·全国)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三 角形的面积为 ( )． A.1 3 B.1 2 C.2 3 D．1 解析 y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜 率 k＝－2，∴切线方程为 y＝－2x＋2，该直线 与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形如图所示， 其中直线 y＝－2x＋2 与 y＝x 的交点 A 2 3 ，2 3 ， y＝－2x＋2 与 x 轴的交点 B(1,0)．所以三角形 面积 S＝1 2 ×1×2 3 ＝1 3 ，故选 A. 答案 A 2．函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足 f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0， 则对任意正数 a，b，若 a>b，则必有 ( )． A．af(b)0)，F′(x)＝xf′x－fx x2 ，由条件知 F′(x)<0， ∴函数 F(x)＝fx x 在(0，＋∞)上单调递减，又 a>b>0，∴fa a 0)，则 f(2)的最小值为 ( )． A．123 2 B．12＋8a＋1 a C．8＋8a＋2 a D．16 解析 f(2)＝8＋8a＋2 a ，令 g(a)＝8＋8a＋2 a ，则 g′(a)＝8－ 2 a2 ，由 g′(a)>0 得 a>1 2 ，由 g′(a)<0 得 00 时，f′(x)>0，g′(x)>0 则 x<0 时 ( )． A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 解析 依题意得，函数 f′(x)、g′(x)分别是偶函数、奇函数，当 x<0 时，－ x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0，选 B. 答案 B 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5．(2012·新课标全国)曲线 y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． 解析 ∵y＝x(3ln x＋1)，∴y′＝3ln x＋1＋x·3 x ＝3ln x＋4，∴k＝y′|x＝1＝4， ∴所求切线的方程为 y－1＝4(x－1)，即 y＝4x－3. 答案 y＝4x－3 6．曲线 y＝x3＋x－2 在点 P 处的切线平行于直线 y＝4x－1，则点 P 的坐标为 ________． 解析 依题意得 y′＝3x2＋1，设点 P(x0，y0)，则有 3x20＋1＝4，解得 x0＝－1 或 x0＝1，将 x0 的值代入曲线方程得 y0＝－4 或 y0＝0，从而点 P 的坐标是(1,0) 或(－1，－4)． 答案 (1,0)或(－1，－4) 三、解答题(共 25 分) 7．(12 分)求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)； (2)y＝ln (x＋ 1＋x2)； (3)y＝ex＋1 ex－1 ； (4)y＝2xsin(2x＋5)． 解 (1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1. (2)y′＝ 1 x＋ 1＋x2· 1＋ 2x 2 1＋x2 ＝ 1 1＋x2. (3)∵y＝ex＋1 ex－1 ＝1＋ 2 ex－1 ∴y′＝ －2ex ex－12. (4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)． 8．(13 分)已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－1 4x＋3 垂直，求切点坐标与切线的 方程． 解 (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. ∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即 y＝13x－32. (2)法一 设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1， ∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16， 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26.) 法二 设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)， 则 k＝y0－0 x0－0 ＝x30＋x0－16 x0 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16 x0 ＝3x20＋1， 解之得 x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线 y＝－1 4x＋3 垂直， ∴切线的斜率 k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)，则 f′(x0)＝3x20＋1＝4， ∴x0＝±1， ∴ x0＝1， y0＝－14 或 x0＝－1， y0＝－18， 切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18. 即 y＝4x－18 或 y＝4x－14. B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1．设曲线 y＝x＋1 x－1 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a＝( )． A．2 B.1 2 C.1 2 D．－2 解析 y′＝x－1－x＋1 x－12 ＝ －2 x－12 ，点(3,2)处切线斜率 k＝－1 2 ，∵切线与直 线 ax＋y＋1＝0 垂直，∴ a＝－2. 答案 D 2．已知函数 f′(x)，g′(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数，它们 在同一坐标系下的图象如图所示，设函数 h(x)＝f(x)－g(x)，则 ( )． A．h(1)0 时，2 x＋1·1

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