2019届二轮复习等差数列学案（全国通用）

2019届二轮复习等差数列学案（全国通用）

‎【学习目标】‎ ‎1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的递推公式、通项公式及运用。‎ ‎2.掌握等差数列的性质，能灵活运用等差数列的性质解决问题。‎ ‎3.掌握等差数列前n项和公式及其应用，能灵活应用等差数列前n项和的性质解题。‎ ‎4会求等差数列前n项和的最值。‎ ‎【知识要点】‎ ‎1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。‎ ‎2.递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)。‎ ‎3.通项公式：以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d。‎ ‎4.等差数列通项公式可以看作特殊的一次函数，an＝nd＋(a1－d)，一次项系数为d。‎ ‎5.等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，满足的关系式是 a＋b＝2A.‎ ‎6.常用性质：‎ ‎（1）‎ ‎（2）{an}是等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq。特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak.‎ ‎（3）等差数列{an}中，若序号成等差数列，那么对应项也成等差数列。‎ ‎7.等差数列前n项和公式：‎ 已知量 a1、an与n a1、d与n 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d ‎8.等差数列前n项和性质：‎ ‎（1）等差数列中，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k 成等差数列。‎ ‎（2）若{an}， {bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则＝。‎ ‎9.等差数列前n项和公式是特殊的二次函数，因此可以利用此特征求前n项和的最值。‎ ‎【题型详解】‎ 类型一：定义法证明等差数列 例1：已知数列是等差数列,设.求证：数列也是等差数列.‎ 证明：‎ 小结：定义法证明，实际就是利用递推公式得到其公差是与n无关的常数，来判断是否为等差数列。 | |X|X|K]‎ 类型二：通项公式的应用 ]‎ 例2：等差数列中,,,求的通项公式。‎ 解:设数列的公差为d,‎ 由题意有,, 解得, 所以的通项公式为 ‎ 小结：等差数列里大部分问题都可以将任意项用a1和d来表示，构造方程组解决问题。‎ 类型三：等差中项的应用 例3：如果等差数列中，，那么（ ）。‎ A. 14 B. 21 C. 28 D. 35‎ 解析：‎ 本题主要考查等差数列中项的性质。‎ ‎，。故。‎ 故本题正确答案为C。‎ 类型四：等差数列性质的应用 例4：等差数列中,,则( )‎ A.10 B.20 C.40 D.‎ 解:等差数列中,, 则原式=.20所以B选项是正确的 类型五：等差数列前n项和的应用 例5：已知等差数列{an}中，‎ ‎(1)a1＝，S4＝20，求S6；‎ ‎(2)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；‎ 类型六：等差数列前n项和求最值 例6：已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为 .‎ ‎【解析】由an≤0得，2n－48≤0，n≤24.‎ ‎∴当n＝23或24时，Sn最小.‎ 类型七：等差数列前n项和性质应用 例7：在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为(　　) ‎ A.9 B.12‎ C.16 D.17‎ ‎【解析】(1)法一：由题意知：S4＝1，S8－S4＝3，‎ 而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列.‎ 即1,3,5,7,9，‎ a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9.‎ ‎【复习检测】‎ ‎1.下列说法中正确的有 .(填序号)‎ ‎①若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列.‎ ‎②若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列.‎ ‎③若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2.‎ ‎④数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等.‎ ‎【解析】①错误.如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列. ‎ ‎②错误.如数列－1,2，－3,4，－5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.‎ ‎③正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2成立.‎ ‎④正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.‎ ‎2.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝ .‎ ‎【解析】∵数列{an}是等差数列，‎ ‎∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，‎ ‎∴a14＝6＋9×3＝33.‎ ‎3.在等差数列 {an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ .‎ ‎【解析】因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.‎ 所以a5＝90，‎ a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.‎ ‎4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝ .‎ ‎【解析】在等差数列{an}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15.‎ ‎5.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. ]‎ ‎6.请你根据提供的信息回答问题.‎ ‎(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；‎ ‎(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.‎ ‎(1)由a1＝1，a6＝2，得 ‎∴得a2＝1.2；‎ 由b1＝30，b6＝10，得 ‎ ‎∴得b2＝26.‎ ‎∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，‎ 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只.‎ ‎(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20

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