重庆市南开中学2020届高三上学期第一次教学质量检测考试数学（文）试题

重庆市南开中学2020届高三上学期第一次教学质量检测考试数学（文）试题

重庆南开中学2020级高三第一次教学质量检测考试 数学（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则集合（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】∵A＝{x|x＝kπ，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜4}，‎ ‎∴A∩B＝{π}．故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查交集的运算，涉及三角方程的解法以及对数函数的单调性的应用．‎ ‎2.命题“若，则”的否命题是（）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据四种命题之间的关系，直接写出否命题即可．‎ ‎【详解】命题“若x＞0，则2x＞1的否命题是：若x≤0，则2x≤1，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系应用。‎ ‎3.已知复数，若的实部为1，且的模长为2，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知设z＝1+mi（m∈R），代入，再由模长为2列式求得m值，则z可求．‎ ‎【详解】设z＝1+mi（m∈R），‎ 则||＝||，‎ 解得m．∴z＝1．故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的定义以及复数模的公式应用。‎ ‎4.今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁.在下图中统计了上个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）‎ A. 今年每天气温都比去年气温高 B. 今年的气温的平均值比去年低 C. 去年8-11号气温持续上升 D. 今年8号气温最低 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察图象，即可判断结果。‎ ‎【详解】由图可知，1号温差负值，所以今年1号气温低于去年气温，故选项A不正确；‎ 除6、7号，今年气温略高于去年气温外，其它日子，今年气温都低于去年气温，所以今年的气温的平均值比去年低，选项B正确；今年8-11日气温上升，但是气温差逐渐下降，说明 去年8-11号气温持续上升，选项C正确；由图可知，今年8号气温最低，选项D正确；‎ 综上，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的数据分析和数学建模能力。‎ ‎5.设，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得出的范围，从而得出a，b，c的大小关系．‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴b＜a＜c．故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用三角函数、对数函数、指数函数的单调性比较大小。‎ ‎6.不等式的解为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式化为，再利用函数的单调性即可解出。‎ 详解】等价于 ‎∴‎ 解得．故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查分数指数幂与根式的转化，以及幂函数单调性的应用。‎ ‎7.函数的图像应如何变换得到的图像（）‎ A. 先把横坐标扩大2倍，再向左平移个单位 B. 先把横坐标扩大2倍，再向左平移个单位 C. 先把横坐标缩小一半，再向左平移个单位 D. 先把横坐标缩小一半，再向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用诱导公式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】先把函数y＝sin（2x）的图象先把横坐标扩大2倍，可得y＝sin（x）的图象，再向左平移个单位，可得y＝sin（x）＝cos x 的图象，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律。‎ ‎8.求值（）‎ A. 2 B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，依两角差的正弦公式化简求值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎＝﹣1．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用两角差的正弦公式进行化简求值。‎ ‎9.已知等腰梯形的上底与高相等，腰长为，则该梯形的面积最大值为（）‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设上底与高均为x，利用勾股定理求得下底的长度，结合等腰梯形的面积公式列出代数式，利用三角代换求最大值．‎ ‎【详解】设上底与高均为x（0＜x），则下底长为2x．‎ ‎∴梯形的面积S 令，则 S＝2sin2α+2sinαcosα，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴当，即时，．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题通过计算等腰梯形的面积，考查三角代换以及三角函数的最值求法。‎ ‎10.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）‎ A. 丙没有选化学 B. 丁没有选化学 C. 乙丁可以两门课都相同 D. 这四个人里恰有2个人选化学 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．‎ ‎【详解】根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学；‎ 又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学； ‎ 若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．‎ 综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确。‎ 假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科。不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确。‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力。‎ ‎11.过双曲线：的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线围成面积为的正三角形，则双曲线的实轴长为（）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正三角形面积公式求出边长，计算出，再利用，以及，能求出双曲线C的实轴长．‎ ‎【详解】如图，∵直线AB过双曲线C的右焦点，且△OAB是面积为3的等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴c＝2cos30°＝3，‎ 又，且c2＝a2+b2．‎ 解得a，则双曲线C的实轴长为2a＝3．故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的实轴长的求法，双曲线性质的应用。‎ ‎12.已知，点，若图像上存在一点 处的切线与直线和轴围成底边在轴上的等腰三角形，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切线与y轴交于H，利用导数的几何意义，可得切线方程，令x＝0，可得H的坐标，由题意可得|QH|＝|QP|，运用两点的距离公式，可得x0，代入所求代数式，化简可得所求值．‎ ‎【详解】设图象上一点Q（，）处的切线与y轴交于H，‎ 的导数为，可得切线的斜率为，‎ 所以切线方程为 ，（0＜x0）‎ 令x＝0，可得，‎ 可得H（0，），‎ 由题意可得|QH|＝|QP|，即|QH|2＝|QP|2，‎ 即，‎ 可得，即x0，‎ 则（）•‎ ‎• ‎ ‎•2．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程，两点间的距离公式应用以及三角函数的恒等变换。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。16题第一空2分，第二空3分。‎ ‎13.的内角，，所对的边分别为，，，且，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理，边化角即可得出。‎ ‎【详解】由正弦定理得，sinAsinC＝2sinCcosA．‎ ‎∵C是△ABC的内角，‎ ‎∴0＜C＜π，即sinC＞0．‎ ‎∴sinA＝2cosA ‎∴tanA＝2．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理以及同角三角函数基本关系应用。‎ ‎14.已知圆锥的正视图是如图的等腰三角形，若该三角形的腰长为2，顶角的余弦值为，则该圆锥的侧面积是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知圆锥的母线长，求出底面半径，即可计算出圆锥的侧面积．‎ ‎【详解】由题意知圆锥的母线长为l＝2，顶角的余弦值为，底面半径为r，如图所示；‎ 则圆锥的侧面积为S圆锥侧＝πrl＝π2＝3π．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三视图的应用，圆锥的结构特征以及圆锥侧面积的计算。‎ ‎15.已知定义在上的奇函数满足，则______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数的性质可得函数f（x）是周期为4的周期函数，再根据对数的运算性质即可求得。‎ ‎【详解】根据题意，f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），‎ 又由f（x）＝f（2﹣x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），‎ 变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ 则，‎ 故＝0。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，以及对数的运算性质应用。‎ ‎16.已知函数满足，且在上无最小值，则______，函数的单调减区间为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得 x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值，由此求出函数的解析式，可得它的减区间．‎ ‎【详解】∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（1）＝f（3）＝f（9）＝m，且在上无最小值，∴x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值．‎ 故函数的最小正周期为2×（6﹣2）＝8，∴ω．‎ ‎∴取2φ，∴φ＝﹣π，f（x）＝sin（x﹣π）＝﹣sinx．‎ 令2kπx≤2kπ，求得8k﹣2≤x≤8k+2，‎ 可得函数f（x）的单调减区间为[8k﹣2，8k+2]，k∈Z，‎ ‎【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求函数的解析式，以及三角函数单调区间的求法。‎ 三、解答题：共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数值域；‎ ‎（2）求在的所有零点.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简函数为cosx的二次函数，根据cosx的范围，利用二次函数的图象，求得f（x）的值域；‎ ‎（2）由零点的定义f（x）＝0，求出在[0，2π]的所有零点．‎ ‎【详解】（1），‎ 由于，则在时取得最小值，在取得最大值3，‎ 所以值域为.‎ ‎（2）得或（舍），‎ 所以或，因为，∴零点为或.‎ 点睛】本题主要考查含三角函数的二次函数值域问题求法、函数的零点求法以及三角方程的解法。‎ ‎18.甲乙两位同学整理了某学科高三以来9次考试的成绩（甲缺席了其中3次考试，只有6次成绩），得到如下茎叶图.‎ ‎（1）若用分层抽样的方法从两人的15个成绩选取5个评估，应选取甲的几次成绩？若分层抽样时对甲的成绩采用随机抽取，求选取到的甲的成绩至少有一次高于85分的概率；‎ ‎（2）试通过表中的所有数据，从平均水平和稳定性来评判两位同学该学科的考试成绩.‎ ‎【答案】（1）（2）乙的平均分比甲更高，稳定性也更好，综合认为，乙的更好。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按照比例，应该取甲的2次成绩．设甲的6个成绩由高到低为A，B，C，D，E，F，高于85分的是A，B两个，利用列举法能求出选取到的甲的成绩至少有一次高于85分的概率．‎ ‎（2）先计算出甲的均值为81分，乙的均值为82分，由此求出甲的方差和乙的方差，从而得到乙的平均分比甲更高，稳定性也更好，综合认为乙的更好．‎ ‎【详解】（1）因为甲乙考试次数比例为，所以抽取5个成绩，应该取甲的2次成绩；‎ 设甲的6个成绩由高到低为，，，，，，高于85分的是，两个，‎ 则取法有，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 其中至少有一次高于85分的有，，，，，，，，共9种，概率为.‎ ‎（2）甲的均值为分，‎ 乙的均值为分，‎ 所以甲的方差为，‎ 乙的方差为，‎ 所以乙的平均分比甲更高，稳定性也更好，综合认为，乙的更好.‎ ‎【点睛】本题主要考查通过茎叶图考查平均数、方差的求法，分层抽样的特征，以及古典概型概率的求法，意在考查学生的数据分析能力和计算能力。‎ ‎19.已知离心率为的椭圆：经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2），分别为椭圆的左右顶点，直线，分别交直线于，两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件列出方程，求出，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）根据已知条件求出直线，的方程，则可求出三角形底边两点P、Q间的距离，利用三角形面积公式即可求出．‎ ‎【详解】（1）离心率为，则，椭圆为：，‎ 代入解得，，所以椭圆方程为：.‎ ‎（2）由题意，，‎ 直线：，：，‎ 代入得，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用椭圆的性质求椭圆方程，以及三角形面积的求法，意在考查学生的计算能力。‎ ‎20.如图，四边形中，，，设.‎ ‎（1）若面积是面积的4倍，求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设AC＝a，可求ABa，AD＝asinθ，CD＝acosθ，由题意S△ABC＝4S△ACD，利用三角形的面积公式即可求解；‎ ‎（2）在△ABD中，△BCD中，分别应用正弦定理，联立可得2sin（θ）＝3sinθ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．‎ ‎【详解】（1）设，则，，，由题意，‎ 则，所以.‎ ‎（2）由正弦定理，中，，即①‎ 中，，即②‎ ‎①÷②得：，化简得 ‎，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，意在考查学生的计算能力和转化思想．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若在函数处的切线垂直于轴，求在的最小值；‎ ‎（2）求证：时，恒成立.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义，求出参数，再判断出函数的单调性，从而求出函数的最小值．‎ ‎（2）利用函数的二次求导，求出函数的单调性和函数的极值点，得到函数的最小值，再利用基本不等式即可求出．‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，，‎ 此时，‎ ‎（∵），‎ 所以在单增，，‎ 从而在单增，最小值为.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 设，，‎ 因为单增，，，所以有唯一根，为的极小值点，且，，‎ 所以，故得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求切线斜率，利用函数的导数判断函数的单调性、求函数的极值和最值，意在考查学生的运算能力和数学建模能力。‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线：（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（2）若射线和分别交曲线于异于极点的，，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程，极坐标方程（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用三角函数的平方关系和极坐标与直角坐标互化公式，即可求得；‎ ‎（2）利用极径和三角形的面积公式，求出面积的表达式，再利用 三角函数的恒等变换和余弦型函数的性质，即可求出．‎ ‎【详解】（1）曲线的普通方程，极坐标方程.‎ ‎（2）联立射线和与曲线得，，，‎ 所以面积为 ‎，‎ 在时,取得最大值.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数的恒等变换，余弦型函数性质的应用，意在考查学生的运算能力和转化能力。‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若存在，使不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分段表示法写出f（x），求对应不等式的解集即可；‎ ‎（2）问题化为f（x）+|x+1|＜k有解，即f（x）+|x+1|的最小值小于k即可．‎ ‎【详解】（1），‎ 当x＞3时，不等式为2x﹣2＞2x，无解；‎ 当﹣1≤x≤3时，不等式为4＞2x，解得x＜2，即﹣1≤x＜2；‎ 当x＜﹣1时，不等式为﹣2x+2＞2x，解得x，即x＜﹣1；‎ 综上，不等式f（x）＞2x的解集为{x|x＜2}；‎ ‎（2）因为要使有解，只需最小值小于，‎ ‎，‎ 画出函数的图象，如图所示；‎ 由图象知， 当时取得最小值4，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式解法与不等式能成立问题的解法。‎ ‎ ‎ ‎ ‎