天津高三数学理科试题精选分类汇编7：立体几何

天津高三数学理科试题精选分类汇编7：立体几何

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编7：立体几何 一、选择题 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）已知正四棱柱ABCD—A1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形， 为球的直径，且，则此棱锥的体积为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ） （　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ 二、填空题 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________. ‎ 正视图 俯视图 ‎1.5‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 侧视图 第10题图 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版））一个几何体的三视图如上图所示,且其侧视图为正三角形,则这个几何体的体积为 .‎ ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为________.‎ ．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为___________‎ ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）‎ 如图为一个几何体的三视图，其中俯视为正三角形，AB=2,AA=4，则该几何体的表面积为_______。‎ ．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为___________________.‎ ‎1‎ ‎2‎ 正视图 ‎1‎ ‎2‎ 侧视图 ‎2‎ ‎2‎ 俯视图 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:‎ ‎①若m∥α,n∥α,则m∥n;‎ ‎②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;‎ ‎③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.‎ 其中真命题的个数是______个 ‎ ．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________.‎ ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm3.‎ ．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________；‎ 三、解答题 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点, 平面.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.‎ ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版））如图,直三棱柱ABC-A1B‎1C1中∠ACB=90°,M,N分别为A1B,B‎1C1的中点,BC=AA1=‎2AC=2,求证:‎ ‎(1)求三棱柱C1-A1CB的体积;‎ ‎(2)求直线A‎1C与直线MB1所成角的余弦值;‎ ‎(3)求平面B1MN与平面A1CB所成锐二面角的余弦值.‎ ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,‎ 且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;‎ ‎(Ⅱ)求AC与PB所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.‎ ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=‎ ‎(1)求证:平面EAB⊥平面ABCD ‎(2)求二面角A-EC-D的余弦值 ．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））.在长方体中，，，为中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.‎ ‎ ‎ ．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）(本小题满分13分)在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，AD//EF，EF//BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点。‎ ‎(1)求证：AB//平面DEG；‎ ‎(2)求证：BDEG；‎ ‎(3)求二面角C—DF—E的正弦值。‎ ．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证: //平面;‎ ‎(Ⅱ) 求证:面平面; ‎ ‎(Ⅲ) 求二面角的正切值.‎ F E D C B A P ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在点E,PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角为60o.存在求出λ值.‎ ．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）在四棱锥中,底面是直角梯形,∥,∠, ,平面⊥平面.‎ ‎(1)求证:⊥平面; ‎ ‎(2)求平面和平面所成二面角(小于)的大小;‎ ‎(3)在棱上是否存在点使得∥平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. ‎ ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点 ‎（1）证明:平面.‎ ‎（2）证明:平面.‎ ‎（3）求二面角的大小.‎ ．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分13分）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD.‎ ‎（1）求证：AB⊥平面PBC；‎ ‎（2）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小；‎ ‎（3）在棱PB上是否存在点M使得CM//平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ 最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编7：立体几何参考答案 一、选择题 B A ‎ 【答案】C ‎ 解:由三视图可知,该几何体下面是半径为1,高为2的圆柱.上面是正四棱锥.真四棱锥的高为,底面边长为,所以四棱锥的体积为,圆柱的体积为,所以该几何体的体积为,选C. ‎ 【答案】A ‎【解析】因为为边长为1的正三角形，且球半径为1，所以四面体为正四面体，所以的外接圆的半径为，所以点O到面的距离,所以三棱锥的高,所以三棱锥的体积为，选A. ‎ 【答案】C ‎【解析】若，，所以，又，所以，即，所以选C.‎ 【答案】B ‎【解析】,取AC的中点M,连结EM,MF，因为E,F是中点，所以,,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角。在三角形MEF中，，所以,所以直线AB与PC所成的角为为，选B.‎ 二、填空题 ; ‎ ‎ ‎ ， ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高是4.所以该三棱柱的表面积为。‎ 【答案】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2,1的长方体挖去一个半径为1的半球。所以长方体的体积为，半球的体积为，所以该几何体的体积为。‎ 【答案】2 ‎ 解:①平行于同一平面的两直线不一定平行,所以①错误.②根据线面垂直的性质可知②正确.③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确,所以真命题的个数是2个. ‎ 【答案】 ‎ 解:由三视图我们可知原几何体是一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个的圆柱体,底面圆的半径为1,圆柱体的高为6,则知所求几何体体积为原体积的一半为. ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知，该几何体为一个放到的四棱柱，以梯形为低，所以梯形面积为，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为。‎ 【答案】80‎ 解：解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高3，正方体棱长为4,所以正方体的体积为.四棱锥的体积为，所以该组合体的体积之和为.‎ 三、解答题 解(Ⅰ)依题意, ‎ 所以是正三角形, ‎ 又 ‎ 所以, ‎ 因为平面,平面,所以 ‎ 因为,所以平面 ‎ 因为平面,所以平面平面 ‎ ‎(Ⅱ)取的中点,连接、 ,连接,则 ‎ 所以是异面直线与所成的角 ‎ 因为,, ‎ 所以 ,, ‎ 所以 ‎ ‎(Ⅰ)(Ⅱ)解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系 ‎ 设(), ‎ 则 ‎ ‎(Ⅰ)设平面的一个法向量为, ‎ 则 ‎ ‎,取,则,从而, ‎ 同理可得平面的一个法向量为, ‎ 直接计算知,所以平面平面 ‎ ‎(Ⅱ)由即 ‎ 解得 ‎ ‎, ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为 ‎ 又,设平面的法向量则得 ‎ 设二面角的平面角为,且为锐角 ‎ 则 ‎ 所以二面角的余弦值为 ‎ 解: ‎ ‎(1) --------------4 (2)------------8 (3)------------------13 ‎ ‎ ‎ ‎ 解:(1)证明:取AB的中点O,连接EO,CO ‎ ‎△AEB为等腰直角三角形 ‎ ‎∴EO⊥AB,EO=1 ‎ 又∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形, ‎ ‎,又 ‎ ‎∵EO⊥平面ABCD,又EO平面EAB,∴平面EAB⊥平面ABCD ‎ ‎(2)以AB的中点O为坐标原点,OB所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,如图建系则,,=(0,2,0) ‎ ‎ ‎ 设平面DCE的法向量为,则,即,解得: ‎ ‎ ‎ 同理求得平面EAC的一个法向量为 ‎ ‎,所以二面角A-EC-D的余弦值为 ‎ （Ⅰ）证明：连接∵是长方体，∴平面， 又平面 ∴ ……1分 ‎ 在长方形中， ∴ …………2分 又∴平面， …………3分 ‎ 而平面∴ ………4分 ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则 ‎,………5分 设平面的法向量为，则 令，则 ‎ ………7分 …………8分 所以 与平面所成角的正弦值为 ………………9分 ‎（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使得∥平面.‎ 设的坐标为，则 因为 ∥平面 所以 ， 即， ，解得， ………………12分 所以 在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长.……13分      ‎ ‎     ‎ 法一:(Ⅰ)证明:为平行四边形 ‎ 连结,为中点, ‎ 为中点∴在中// ‎ 且平面,平面 ∴ ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为面面 平面面 ‎ 为正方形,,平面 ‎ 所以平面 ∴ ‎ 又,所以是等腰直角三角形, ‎ 且 即 ‎ ‎,且、面 ‎ 面 ‎ 又面 面面 ‎ ‎(Ⅲ) 【解】:设的中点为,连结,, ‎ 则由(Ⅱ)知面, ‎ ‎,面,, ‎ 是二面角的平面角 ‎ 中, ‎ ‎ 故所求二面角的正切值为 ‎ 法二:如图,取的中点, 连结,. ‎ ‎∵, ∴. ‎ ‎∵侧面底面, ‎ ‎, ‎ ‎∴, ‎ 而分别为的中点,∴, ‎ 又是正方形,故. ‎ ‎∵,∴,. ‎ 以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系, ‎ 则有,,,,,. ‎ ‎∵为的中点, ∴ ‎ ‎(Ⅰ)证明:易知平面的法向量为而, ‎ 且, ∴ //平面 ‎ ‎(Ⅱ)证明:∵, ∴, ‎ ‎∴,从而,又,, ‎ ‎∴,而, ‎ ‎∴平面平面 ‎ ‎(Ⅲ) 【解】:由(Ⅱ)知平面的法向量为. ‎ 设平面的法向量为.∵, ‎ ‎∴由可得,令,则, ‎ 故∴, ‎ 即二面角的余弦值为, ‎ 所以二面角的正切值为 ‎ 解:(1)如图以A为原点建立空间直角坐标系 ‎ A(0,0,0),B(2,0,0), ‎ C(2,1,0),D(0,2,0) ‎ M(1,,1),N(1,0,1), ‎ E(0,m,2-m),P(0,0,2) ‎ ‎(2,0,-2),(1,-,1) ‎ ‎=0 ‎ ‎(2)=(-2,1,0)平面ADMN法向量=(x,y,z) ‎ ‎=(0,2,0) =(1,0,1) =(1,0,-1) ‎ 设CD与平面ADMN所成角α,则 ‎ ‎(3)设平面ACN法向量=(x,y,z) =(1,-2,-1) ‎ 平面AEN的法向量=(x,y,z) =(1,,-1) ‎ ‎ , ‎ 即 m= PE:ED=(3-4):2 不存在,为135°钝角 ‎ (Ⅰ)证明:因为 , ‎ 所以 ‎ 因为 平面平面,平面平面, ‎ 平面, ‎ 所以 平面 ‎ ‎(Ⅱ)解:取的中点,连接. ‎ 因为, ‎ 所以 . ‎ 因为 平面平面,平面平面,平面, ‎ 所以 平面 ‎ 如图,以为原点,所在的直线为轴,在平面内过垂直于的直 ‎ 线为轴,所在的直线为轴建立空间直角坐标系.不妨设.由 ‎ 直角梯形中可得,, ‎ ‎.所以 ,. ‎ 设平面的法向量. ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 即 ‎ 令,则. ‎ 所以 ‎ 取平面的一个法向量n. ‎ 所以 . ‎ 所以 平面和平面所成的二面角(小于)的大小为. ‎ ‎(Ⅲ)解:在棱上存在点使得∥平面,此时. 理由如下: ‎ 取的中点,连接,,. ‎ 则 ∥,. ‎ 因为 , ‎ 所以 . ‎ 因为 ∥, ‎ 所以 四边形是平行四边形. ‎ 所以 ∥. ‎ 因为 , ‎ 所以 平面∥平面 ‎ 因为 平面, ‎ 所以 ∥平面 ‎ 解：（1）证明：连接与交于，为正方形，为中点.‎ 为中点，‎ 又平面，平面 ‎//平面 ‎ ‎（2）为中点，‎ 为正方形，‎ 又平面，平面 ‎ 又是平面内的两条相交直线，‎ 即平面，又平面，所以 解：（1）证明：因为，所以AB⊥BC 因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB平面ABCD，‎ 所以AB⊥平面PBC.‎ ‎（2）‎ 如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC.因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O－xyz.‎ 不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得，‎ ‎.‎ 所以，‎ 设平面PAD的法向量为.‎ 因为，所以 令，则.所以.‎ 取平面BCP的一个法向量，‎ 所以 所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为 ‎（3）‎ 在棱PB上存在点M使得CM//平面PAD，此时.取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN//PA，AN=AB.因为AB=2CD，所以AN=CD，因为AB//CD，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN//AD.‎ 因为MN∩CN=N，PA∩AD=A，所以平面MNC//平面PAD.‎ 因为CM平面MNC，所以CM//平面PAD.‎