【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第4章第2讲平面向量的基本定理及坐标表示作业

【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第4章第2讲平面向量的基本定理及坐标表示作业

对应学生用书[练案29理][练案28文]‎ 第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(　B　)‎ A．a＝(1,2)，b＝(0,0)‎ B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)‎ C．a＝(3,2)，b＝(9,6)‎ D．a＝(－，)，b＝(3，－2)‎ ‎[解析]　在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B．‎ ‎2．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(　B　)‎ A．2　 B．3　‎ C．4　 D．6‎ ‎[解析]　因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.故选B．‎ ‎3．(2019·抚州模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(　B　)‎ A．‎3a＋b　 B．‎3a－b C．－a＋3b　 D．a＋3b ‎[解析]　解法一：设c＝ma＋nb，则(4,2)＝(m－n，m＋n)，所以所以所以c＝‎3a－b.‎ 解法二：代入验证法对于A,‎3a＋b＝3(1,1)＋(－1,1)＝(2,4)≠c，故A不正确；同理选项C、D也不正确；对于B,‎3a－b＝(4,2)＝c，故B正确．‎ ‎4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　B　)‎ A．(－8,1)　 B．(－1，－)‎ C．(1，)　 D．(8，－1)‎ ‎[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，‎ 而＝(－8,1)＝(－4，)，‎ 所以解得 所以P点坐标为(－1，－)．‎ 故选B．‎ ‎5．(2020·北京八十中学月考)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三点共线，则mn＝(　C　)‎ A．　 B．2　‎ C．1　 D．－3‎ ‎[解析]　∵A，B，D三点共线，∴∥，设＝λ，则∴mn＝1.故选C．‎ ‎6．(2020·湖南重点中学联考)已知m＝(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是(　A　)‎ A．(，)　 B．(，)‎ C．(，)　 D．(－，)‎ ‎[解析]　设所求向量为n＝λm(λ>0)，‎ ‎∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，‎ ‎∴25λ2＋144λ2＝1，得λ＝，‎ ‎∴n＝(，)．故选A．‎ ‎7．若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为(　A　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D．2‎ ‎[解析]　设AC的中点为D，则＋＝2，于是2＝4，从而＝2，即M为BD的中点，于是＝＝＝.‎ ‎8．(2019·江西新余第一中学四模)如图，已知△OAB，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D．‎ 二、填空题 ‎9．(2020·广西贺州联考)已知向量＝(m，n)，＝(2,1)，＝(3,8)，则mn＝7 .‎ ‎[解析]　∵＝＋＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，‎ ‎∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.‎ ‎10．(2020·北京海淀区期中)已知向量a＝(1,0)，b＝(m，n)，若b－a与a平行，则实数n的值为0 .‎ ‎[解析]　b－a＝(m－1，n)，若b－a与a平行，则n×1＝(m－1)×0，得n＝0.‎ ‎11．设向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，向量λa－2b与a＋b平行，则实数λ＝－2 .‎ ‎[解析]　∵a＝(3,2)，b＝(－1,3)，‎ ‎∴λa－2b＝(3λ＋2,2λ－6)，a＋b＝(2,5)，‎ 又λa－2b与a＋b平行，‎ 所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.‎ ‎12．(2019·江西南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝－6 .‎ ‎[解析]　∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20　①，　②，联立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.‎ 三、解答题 ‎13．已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：‎ ‎(1)|a＋3b|；‎ ‎(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？‎ ‎[解析]　(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ 所以a＋3b＝(7,3)，‎ 故|a＋3b|＝＝.‎ ‎(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，‎ 因为ka－b与a＋3b平行，‎ 所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.‎ 此时ka－b＝(k－2，－1)＝(－，－1)，‎ a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，‎ 即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．‎ ‎14．(2019·河北六校第三次联考)已知向量a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R.‎ ‎(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；‎ ‎(2)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)b＋c＝(sin x－1，－1)，因为a∥(b＋c)，‎ 所以－(2＋sin x)＝sin x－1，即sin x＝－.‎ 又x∈[－，]，所以x＝－.‎ ‎(2)a＋d＝(3＋sin x,1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)，‎ 若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，‎ 即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0，‎ 所以k＝sin2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5，‎ 由sin x∈[－1,1]，可得k∈[－5，－1]，‎ 所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．‎ B组能力提升 ‎1．(文)(2019·东北三省三校二模)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，若(a－b)∥(‎2a＋tb)，则t＝(　C　)‎ A．0　 B．　‎ C．－2　 D．－3‎ ‎(理)(2019·河北石家庄二中模拟)已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零实数λ，使得a＝λ(a＋b)，则t＝(　B　)‎ A．6　 B．－6　‎ C．－　 D． ‎[解析]　(文)因为a－b＝(2，－1)，‎2a＋tb＝(2－t，2＋2t)，且(a－b)∥(‎2a＋tb ‎)，所以2(2＋2t)＝－(2－t)，解得t＝－2.‎ ‎(理)因为a＋b＝(2，t＋2)，a＝λ(a＋b)，‎ 所以解得t＝－6.‎ ‎2．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　B　)‎ A．a＋b　 B．a＋b C．a＋b　 D．a＋b ‎[解析]　‎ 如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF.‎ ‎∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋.‎ 则＝＋＝(＋)＋(－)＝＋＝a＋b.故选B．‎ ‎3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　A　)‎ ‎[解析]　由题意知＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A．‎ ‎4．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n eq o(OB,sup6(→))(m，n∈R)，则＝3 .‎ ‎[解析]　如图所示，因为·＝0，所以⊥.不妨设||＝2，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，则四边形ODCE是矩形.＝＋＝＋.因为||＝2，∠COD＝30°，所以||＝1，||＝.又因为||＝，||＝1，故＝，＝.所以＝＋，此时m＝，n＝.所以＝＝3.‎ ‎5．(文)(2019·河南濮阳二模)如图，有5个全等的小正方形，＝x＋y，则x＋y的值是1 .‎ ‎(理)(2020·安徽五校联考)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝，点O在线段CD上(不与点C，D重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(－2,0) .‎ ‎[解析]　(文)因为＝－，而＝2，＝＋＝2－，‎ 所以＝－＝2－(2－)＝3－2.‎ 又，不共线，且＝x＋y，‎ 所以x＋y＝3－2，所以x＝3，y＝－2，故x＋y＝1.‎ ‎(理)设＝y，则＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y)，因为＝，点O在线段CD上，且不与C，D重合，所以y∈(0,2)，因为＝x＋(1－x)，所以x＝－y∈(－2,0)．‎