数学文卷·2018届广东省汕头市高三第一次模拟考试（2018

数学文卷·2018届广东省汕头市高三第一次模拟考试（2018

试卷类型：A ‎2018年汕头市普通高考第一次模拟考试 文科数学 本试题卷共5页，24题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。‎ ‎ 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎ 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎ 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 ‎ 符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若实数满足（为虚数单位），则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知等差数列的前项和为，且，则=‎ ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎4．小明与爸爸放假在家做蛋糕，小明做了一个底面半径为10cm的等边圆锥（轴截面为等边三角形）状 ‎ ‎ 蛋糕，现要把1g芝麻均匀地全撒在蛋糕表面，已知1g芝麻约有300粒，则贴在蛋糕侧面上的芝麻 ‎ 约有 A．100 B．200 C．114 D．214‎ ‎5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图1，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎（图2）‎ ‎（图1）‎ ‎6．执行如图2所示的程序框图，输出的结果是 ‎ A．56 B．54 C．36 D．64‎ ‎7．平行四边形中，，，，，则的值为 A．10 B．12 C. 14 D．16‎ ‎8．函数的导数为，若方程的根小于1，则实数的取值范围为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．函数的图象与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差 ‎ 数列，要得到函数的图象，只需将的图象 ‎ A．向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 ‎ C．向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎ 10．若平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的最短距离为 ‎ A． B． C. D． ‎ ‎11．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双 曲线交于、两点，过、分别作、的垂线，两垂线交于点，若到直线的 距离小于， 则双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎12．已知一个四棱锥的正（主）视图和俯视图如图3所示，其中，则该四棱锥的高的最大值为 ‎ A． B． C．4 D．2‎ ‎（图3）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．设函数，已知，则__________．‎ ‎14．已知椭圆的左焦点是，分别是椭圆上顶点和右顶点，为直角三角形，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎15．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥 ‎ ‎ 体积的最大值为2，则球的表面积为__________．‎ ‎16．设数列的前项和为，已知，，则=__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 在中，角所对的边分别为，且满足．‎ ‎ （1）求角的大小；‎ ‎ （2）已知，的面积为，求边．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图4，在四棱锥中，，，，‎ ‎．‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎ （2）当几何体的体积等于时，求四棱锥的侧面积．‎ ‎（图4）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸x（mm）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：‎ 尺寸x（mm）‎ ‎38‎ ‎48‎ ‎58‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎88‎ 质量y (g)‎ ‎16.8‎ ‎18.8‎ ‎20.7‎ ‎22.4‎ ‎24‎ ‎25.5‎ 质量与尺寸的比 ‎0.442‎ ‎0.392‎ ‎0.357‎ ‎0.329‎ ‎0.308‎ ‎0.290‎ ‎（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求恰有一件优等品的概率；‎ ‎（2）根据测得数据作出如下处理：令，得相关统计量的值如下表：‎ ‎75.3‎ ‎24.6‎ ‎18.3‎ ‎101.4‎ ‎（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；‎ ‎（ⅱ）已知优等品的收益（单位：千元）与的关系为，当优等品的质量与尺寸之比为时，求其收益的预报值．（精确到0.1）‎ 附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知抛物线的焦点为，是上关于焦点对称的两点，在点、点处的切线相交于点．‎ ‎ （1）求的方程；‎ ‎ （2）直线交于两点，且的面积为，求的方程．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎ （1）讨论的单调性；‎ ‎ （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答．作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题)。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线，分别交于，两点（异于原点），定点，求的面积．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎ （1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎2018年汕头市普通高考第一次模拟考试 文科数学 参考答案及评分标准 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C B D B D A D C B A 说明：第15题的答案，也可以是；‎ ‎ 第16题的答案，也可以是或写为。‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（1）解：‎ ‎ ∴由正弦定理得：---2分 ‎ ‎ ‎ -------3分 ‎ -----4分 ‎ 又 .........................5分 ‎ ∴ --------6分 （2） 解：， ‎ ‎ ‎ ‎ 即： --------8分 ‎ 又 ‎ 由余弦定理得：‎ ‎ --11分 ‎ 故： -------12分 （3） ‎【方法2】， ‎ ‎ ‎ ‎ 即： ..............①--------8分 ‎ 又.............②‎ 由①②解得：..................9分 ‎ 由余弦定理得：‎ ‎ --11分 ‎ 故： ---------12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（1）解：（解法一）连结，取的中点，连结，‎ ‎ 则直角梯形中，， ‎ ‎ 即： --------------------------2分 ‎ 平面，平面 ‎ --------------------------4分 ‎ 又 -----------------------5分 ‎ 由得： ----------------------6分 给分标准：证明或任意一个垂直给2分 ‎（解法二），，‎ 且-------------------2分 ‎， ---------------------4分 ‎ ‎ ‎ ----------------------6分 给分标准：用文字说明用勾股定理证明垂直且没有详细证明过程最多给4分；有证明中任意两个三角形为直角三角形给2分 ‎（2）解：‎ ‎ ‎ ‎----------------------------8分 ‎ ，，‎ ‎ 又 ----------------------------10分 ‎ 四棱锥的侧面积为 ‎ ---------12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即 ‎ ‎ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品------1分 ‎ 现从任选2件，共有、、、、、、、、 ‎ ‎ 、、、、、、 15种方法 -----2分 ‎ 设任选2件恰有一件优等品为事件，则事件包含、、、、、、、、共9种方法 ------------------------3分 ‎ 由古典概型有，故所求概率为 ----------------------------4分 ‎（2）解：对（）两边取自然对数得 (5分)‎ ‎ 由，得，且 ----------------------------6分 ‎ （ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有 ‎ ----------------------------7分 ‎ ，得，故--------------------------8分 ‎ 所求y关于x的回归方程为 ----------------------------9分 ‎ （ⅱ）由（ⅰ）可知，，则 ----------------------------10分 ‎ 当，即时 ---------------------------11分 ‎ 得收益的预报值（千元）． ----------------------------12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎（1）解：依题意，由抛物线的对称性可知：，，---------------1分 ‎ 由得：，‎ ‎ 故在点、点处的切线的斜率分别为和 ----------------------------2分 ‎ 则在处的切线方程为，即 ----------------------------3分 ‎ 代入，得，故 ----------------------------4分 ‎ 所以抛物线的方程为 ----------------------------5分 ‎ （2）解：直线的斜率显然存在，设直线，、‎ ‎ 由得：‎ ‎ ----------------------------7分 ‎ 由， ----------------------------8分 ‎ 直线方程为：，所以直线恒过定点 ----------------------------9分 ‎ ‎ ‎ ，即 ‎ ，即 ‎ ----------------------------11分 ‎ 所以直线方程为： ----------------------------12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（1）解：函数的定义域为 ----------------------------1分 ‎ 又 ------------------2分 ‎ 当时，在上，，是减函数 -------------------------3分 ‎ 当时，由得：或（舍）‎ ‎ 所以：在上，，是减函数 ‎ 在上，，是增函数 ----------------------------5分 ‎（2）解：对任意，都有成立，即：在上-----------------6分 ‎ 由（1）知：当时，在上是减函数，‎ ‎ 又，不合题意 ----------------------------7分 ‎ 当时，当时，取得极小值也是最小值，‎ ‎ 所以： ----------------------------8分 ‎ 令（）‎ ‎ 所以：‎ ‎ 在上，，是增函数 ----------------------------10分 ‎ 又 ----------------------------11分 ‎ 所以：要使得，即，即， ‎ ‎ 故：的取值范围为 ----------------------------12分 (2) 解法2:‎ ‎，‎ ‎ ……………………………………6分 对于任意，都有成立，即 ……………………………………7分 ‎ …………………………8分 ‎，‎ ‎，则，‎ ‎， ……………………………………9分 又， ……………………………………10分 ‎， ……………………………………11分 ‎，‎ ‎ ……………………………………12分 ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（1）解：曲线的直角坐标方程为：‎ ‎ ----------------------------------------2分 ‎(有转化正确，但最终写错，可给1分)‎ ‎ 由，得：‎ 曲线的极坐标方程为． -------------------------------4分 ‎（没有给出转化公式扣1分，没有给出转化公式但有在做题中体现转化过程，可不扣分）‎ 法一：‎ （2） 解：点到射线的距离为 ‎ -----------------------------------------6分 ‎ ----------------------9分 ‎（两个极径每求一个可得1分，两个2分，算对极径差值得1分）‎ 则 -------------------------------10分 ‎（如，则距离d这步得分可算在这里.）‎ 法二：‎ ‎（2）解：将 ‎ 曲线的极坐标方程为 ‎ 由，得：‎ 由得 ‎ 由得 ‎ ‎-------------------------------6分 ‎(每求对一个交点坐标得1分，两个都对得2分)‎ ‎ -------------------------------7分 点M到直线 ‎ ‎-------------------------------8分 ‎ -------------------------------10分 ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（1）解：当a=1时，原不等式等价于：．----------------1分 当----------------------------2分 当----------------------------3分 当 ---------------------------4分 ‎ ∴原不等式的解集为：----------------------------5分 ‎（2）解：--------------------------6分 ‎ 令，依题意：-----------------7分 ‎ ∵‎ ‎∴ -----------------------------------9分 ‎ ∴，解得或----------------------------10分