专题18 平面向量的概念及其线性运算-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题18 平面向量的概念及其线性运算-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1.了解向量的实际背景 ‎2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 ‎3.理解向量的几何表示 ‎4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 ‎5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 ‎6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 平面向量的有关概念 例1、给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b。‎ 其中真命题的序号是__________。‎ 解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。②正确．∵＝，∴||＝||且∥，‎ 又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝。‎ ‎【提分秘籍】平面向量中常用的几个结论 ‎(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。‎ ‎(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。‎ ‎(3)是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0。上述命题中，假命题的个数是(　　)‎ A．0　　　B．‎1　‎　　C．2　　　D．3‎ 热点题型二 平面向量的线性运算 例2、【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎【变式探究】 (1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝__________。‎ ‎(2)已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么一定有(　　)‎ A.＝2 B.＝2 C.＝2 D.＝2 解析：(1)∵＋＝＝2，∴λ＝2。‎ ‎(2)∵＋＋＝＝－，‎ ‎∴＝－2＝2。‎ 答案：（1）2 （2）D ‎【提分秘籍】 向量线性运算的方法技巧 向量线性运算，要转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量(基底向量)来求解。‎ ‎ 【举一反三】 ‎ 在△ABC中，已知D是AB边上一点，＝＋λ，则实数λ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案：D ‎ 解析：如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，‎ 则＝＋。‎ 因为＝＋λ，‎ 所以＝，＝λ。‎ 由△ADE∽△ABC，得＝＝，‎ 所以＝＝，故λ＝。‎ 热点题型三 共线向量定理及其应用 例3．【2017江苏，16】 已知向量 ‎（1）若a∥b,求x的值；‎ ‎（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）因为， ，a∥b，‎ ‎ 所以.‎ 若，则，与矛盾，故.‎ 于是. ‎ 又，所以.‎ ‎【变式探究】设两个非零向量a与b不共线，‎ ‎(1)若＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)。‎ 求证：A、B、D三点共线。‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线。‎ 解析：(1)证明：∵＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，‎ ‎∴＝＋＝‎2a＋8b＋3(a－b)＝‎2a＋8b＋‎3a－3b＝5(a＋b)＝5。∴、共线，又∵它们有公共点B，‎ ‎∴A、B、D三点共线。‎ ‎(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，‎ 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb。‎ ‎∴(k－λ)a＝(λk－1)b。‎ ‎∵a、b是不共线的两个非零向量，‎ ‎∴k－λ＝λk－1＝0，‎ ‎∴k2－1＝0，∴k＝±1。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎ 1．共线向量定理及其应用 ‎(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值。‎ ‎(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛。‎ ‎2．证明三点共线的方法 若＝λ，则A，B，C三点共线。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为__________。‎ 答案：1‎ ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 设 ‎ 根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是 ‎ ‎，若满足 即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。‎ ‎【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理 ‎2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.‎ ‎【考点】1.向量；2.充分必要条件.‎ ‎3.【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【考点】 平面向量的坐标运算；函数的最值 ‎4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，‎ 所以.‎ ‎【考点】平面向量的运算.‎ ‎5.【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎【考点】向量的数量积 ‎6.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得：．‎ ‎【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.‎ ‎7．【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．‎ ‎【答案】4，‎ ‎【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有： ，‎ ‎，则：‎ ‎，‎ 令，则，‎ 据此可得： ，‎ 即的最小值是4，最大值是．‎ ‎【考点】平面向量模长运算 ‎8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为， ， ，所以，故选C。‎ ‎【考点】 平面向量数量积运算 ‎9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .‎ ‎ ‎ A ‎ C ‎ B O ‎(第12题) ‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】由可得， ，根据向量的分解，‎ 易得，即，即，即得，‎ 所以．‎ ‎【考点】向量表示 ‎10.【2017江苏，16】 已知向量 ‎（1）若a∥b,求x的值；‎ ‎（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 于是，当，即时， 取到最大值3；‎ 当，即时， 取到最小值.‎ ‎【考点】向量共线，数量积 ‎1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量，由得，解得，故选D.‎ ‎2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，‎ ‎， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）‎ ‎（A） (B) ‎ ‎（C） (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知=，故选A.‎ ‎1．（2014·辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q ‎ C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．‎ ‎2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．‎ ‎【答案】90°　‎ ‎【解析】由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.‎ ‎3．（2014·四川卷）平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】c＝ma＋b＝(m＋4，‎2m＋2)，由题意知＝，即＝，即‎5m＋8＝，解得m＝2.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎ 1.下列说法正确的是　(　　)‎ A.若a与b都是单位向量，则a=b B.若a=b，则|a|=|b|且a与b的方向相同 C.若a+b=0，则|a|=|b|‎ D.若a-b=0，则a与b是相反向量 ‎【解析】选C.因为向量相等必须满足模相等且方向相同，所以A不正确;因为0的方向是任意的，当a=b=0时，B不正确;因为a+b=0，所以a=-b，所以|a|=|-b|=|b|，故C正确;因为a-b=0，所以a=b，a与b不是相反向量，故D不正确.‎ ‎2.已知点D是△ABC的边AB的中点，则向量等于　(　　)‎ A.-+ B.--‎ C.- D.+‎ ‎【解析】选A.因为点D是AB的中点，所以=+=+=-+.‎ ‎3.已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点，若=(1+λ)-λ，其中λ∈R，则点P一定在　(　　)‎ A.AB边所在的直线上 B.BC边所在的直线上 C.BD边所在的直线上 D.四边形ABCD的内部 ‎【解析】选C.因为=(1+λ)-λ，所以-=λ(-)，所以=‎ λ，所以B，D，P三点共线，因此点P一定在BD边所在的直线上.‎ ‎4.已知向量a与b共线反向，则下列结论正确的是　(　　)[‎ A.|a+b|=|a|+|b|‎ B.|a+b|=|a|-|b|‎ C.|a-b|=|a|+|b|‎ D.|a-b|=|a|-|b|‎ ‎【解析】选C.因为向量a与b共线反向，所以|a+b|<|a|+|b|，|a+b|≥0，而|a|-|b|的符号不确定，所以A，B不正确.同理，D不正确，C显然正确.‎ ‎5.已知下列结论 ‎①已知a是非零向量，λ∈R，则a与λ‎2a方向相同 ‎②已知a是非零向量，λ∈R，则|λa|=λ|a|‎ ‎③若λ∈R，则λa与a共线 ‎④若a与b共线，则存在λ∈R，使a=λb 其中正确的个数为　(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎6.在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若=m+n ‎(m，n∈R)，则的值为　(　　)‎ A.-2 B.- C.2 D.‎ ‎【解析】选A.如图.设=a，=b，‎ 则=ma+nb，=-=b-a，‎ 由向量与共线可知存在实数λ，使得=λ，即ma+nb=λb-λa，‎ 又a与b不共线，则 所以=-2.‎ ‎7.已知D为△ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3，则△ABM与△ABC的面积比为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.如图，由5=+3得 ‎2=2+3-3，‎ 即2(-)=3(-)，‎ 即2=3，故=，‎ 故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，‎ 故S△ABM∶S△ABC=3∶5.‎ ‎8.在△ABC中，N是AC边上一点，且=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为　(　　)‎ A. B. C.1 D.3‎ ‎【解析】选B.如图所示.‎ 设=λ，‎ 则=+=+λ=+λ(-)‎ ‎=+λ(-)=(1-λ)+，‎ 因为=，所以λ=，‎ 所以1-λ=，所以m=.‎ ‎9.O是△ABC所在平面外一点且满足=+‎ λ，λ为实数，则动点P的轨迹必经过△ABC的　(　　)‎ A.重心　　B.内心　　C.外心　　D.垂心 ‎【解析】选B.如图，设==，已知均为单位向量，‎ 故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC，‎ 由=+λ 得=λ，又与有公共点A，‎ 故A，D，P三点共线，‎ 所以P点在∠BAC的平分线上，故动点P的轨迹经过△ABC的内心.‎ ‎10.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足=，则点P一定为三角形ABC的　(　　)‎ A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)‎ C.重心 D.AB边的中点 ‎11.已知点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，给出下列命题:‎ ‎①=a-b; ②=a+b;‎ ‎③=-a+b; ④++=0.‎ 其中正确命题的序号为　　　　.‎ ‎【解析】=a，=b，=+‎ ‎=-a-b，故①错;‎ ‎=+=a+b，故②正确;‎ ‎=(+)=(-a+b)‎ ‎=-a+b，故③正确;‎ ‎++=-b-a+a+b+b-a=0.‎ 故④正确.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎12.在▱ABCD中，=a，=b，3=，M为BC的中点，则=　　　　　.(用a，b表示) ‎ ‎【解析】如图所示.‎ ‎=+‎ ‎=+‎ ‎=+(+)‎ ‎=+ (+)‎ ‎=b-a-b=-a-b.‎ ‎【答案】-a-b ‎13.在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则=　　　　.‎ ‎【解析】如图，因为在△ABC中，=c，=b，且点D满足=2，‎ 所以+=2(+)，=+=b+c.‎ ‎【答案】b+c ‎14.在△ABC中，已知D是AB边上一点，=+λ，则实数λ=　　　　　.‎ ‎【解析】如图，D是AB边上一点，‎ 过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则=+.‎ 因为=+λ，‎ 所以==λ.‎ 由△ADE∽△ABC，得==，‎ 所以==，故λ=.‎ ‎【答案】‎ ‎15.已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设t∈R，如果‎3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上?若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】由题设知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3)a+tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k，‎ 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，‎ 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b，‎ 因为a，b不共线，‎ 所以有 解之得t=.‎ 故存在实数t=使C，D，E三点在一条直线上.‎ ‎16.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若=m+，求实数m的值.‎ ‎ ‎ 解得 故实数m=.‎ ‎17.已知△ABC中，=a，=b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足=+λa+λb，若动点P的轨迹与边BC的交点为M，试判断M点的位置.‎ ‎【解析】依题意，由=+λa+λb，‎ 得-=λ(a+b)，‎ 即=λ(+).‎ 如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，‎ 则=λ，‎ 所以A，P，D三点共线，‎ 即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹与BC的交点为BC的中点，即点M为BC的中点.‎ ‎ ‎ ‎ ‎