数学（理）卷·2018届山东师范大学附属中学高三上学期第三次模拟考试（2017

数学（理）卷·2018届山东师范大学附属中学高三上学期第三次模拟考试（2017

绝密 ★ 启用前 试卷类型A 山东师大附中2015级高三第三次模拟考试 数学（理科）试卷 ‎ 命题：高三数学备课组 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分．‎ 考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.命题“”的否定是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设随机变量服从正态分布，若，则=（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 设函数，若，则（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 要得到函数 的图象，需要把函数 的图象（ ）‎ ‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 ‎ C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎6.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）‎ ‎ A. 51 B. 58 C. 61 D. 62 ‎ ‎7. 将编号的小球放入编号为盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编 ‎ 号不能相同，则不同的放球方法有（ ）‎ ‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎ ‎8. ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的 ‎ 区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为（　 ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. “ ”是“为等腰三角形”的（ ）‎ ‎ A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎11. 若点是所在平面内的任意一点，满足 ，则与 ‎ 的面积之比为（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设是定义在上的偶函数，满足，当时，‎ ‎. ‎ ‎ 方程在区间内实根的个数为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13. 若，则向量在向量方向上的投影为 . ‎ ‎14.为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算回归直线方程为，由以上信息可得表中的值为 .‎ 天数 繁殖数量（千个）‎ ‎15.已知 的展开式中第五项与第七项的系数之和为 ,其中为虚数单位，则展开式中常数项为 . ‎ ‎16.已知是上的连续可导函数，满足. 若，则不等式的解集为 . ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本题满分10分）在中，角的对边分别是，已知，．‎ ‎（I）求的值；（Ⅱ） 若角为锐角，求的值及的面积．‎ ‎18. （本题满分12分）已知函数.‎ ‎（I）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ） 当时，讨论函数的单调性.‎ ‎19. （本题满分12分）学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数，成绩分记为优秀）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；‎ ‎（Ⅲ）为参加市里举办的安全知识竞赛，学校举办预选赛.已知在学校安全知识竞赛中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在从学校安全知识竞赛中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望.‎ ‎20. （本题满分12分）已知. ‎ ‎（Ⅰ）求函数最小正周期及其图象的对称轴方程； ‎ ‎（Ⅱ）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求周长的最大值．‎ ‎21.（本题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表：（单位：人）‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（Ⅰ）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）经过多次测试发现：女生甲解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙两人独立解答同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；‎ ‎（III）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.‎ 附表及公式 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎22.（本题满分12分）已知 ‎（Ⅰ）证明：图象恒在直线的上方；‎ ‎（Ⅱ）若在恒成立，求的最小值.‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B B C D C C B D A D ‎ ‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（I） 因为，且 ，‎ 所以． 因为，‎ 由正弦定理，得．‎ ‎（Ⅱ） 由得． ‎ 由余弦定理，得．‎ 解得或（舍负）． 所以． ‎ ‎18. 解：函数定义域，求导得 ‎（I）由已知得，得；‎ ‎（II）‎ 记 ‎（1）当即时，，函数在上单调递增；‎ ‎（2）当即时，令，解得.‎ 又，故.‎ 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.‎ 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递增，函数在单调递减.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. 解：（Ⅰ）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，则有 ‎（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，‎ 所以频率分布直方图如图所示．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）平均分为：‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为0,1,2,3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故所求分布列为 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎20.解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎∴， ‎ 令，解得， ‎ ‎∴函数图象的对称轴方程为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ‎，即， ‎ ‎∵，∴， ‎ ‎∴， ∴． ‎ 由余弦定理可知 当且仅当时等号成立.‎ 于是.故周长的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎21. 解：（Ⅰ）由表中数据得的观测值，‎ 所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关 ‎（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为 设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为 ‎∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率 ‎（III）由题可知可能取值为0，1，2，‎ ‎，，‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎22. 解（Ⅰ）由题意只需证 即证明在上恒成立。‎ 令， ‎ ‎ ‎ 即单调递增。‎ 又，所以在唯一的解，记为，‎ 且 ‎ ‎ ‎ 可得当 所以只需最小值 ‎ 易得，，所以.所以结论得证。‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）令，则， ‎ ‎ ‎ 所以，当时，‎ 要使，只需 ‎ 要使成立，只需恒成立。‎ 令 则，由 当时， 此时有成立。‎ ‎ 所以满足条件。‎ 当时， 此时有 ‎ 不符合题意，舍去。‎ 当时，令得 可得当时，。即时，‎ 不符合题意舍去。‎ 综上， ‎ ‎ ‎ 又 所以的最小值为。‎ ‎ ‎