【数学】2020届天津一轮复习通用版4-4解三角形作业

【数学】2020届天津一轮复习通用版4-4解三角形作业

‎4.4　解三角形 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.正弦、余弦定理的应用 ‎1.理解正弦定理与余弦定理的推导过程 ‎2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 ‎2016天津,3‎ 利用余弦定理解三角形 ‎★★★‎ ‎2015天津,13‎ 利用余弦定理解三角形 三角形面积公式 ‎2014天津,12‎ ‎2014天津文,16‎ 正弦定理、余弦定理 ‎2.解三角形的综合应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 ‎2018天津,15‎ ‎2017天津,15‎ 利用正弦定理、余弦定理解三角形 三角恒等变换 ‎★★★‎ 分析解读　　1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决实际生活中的相关问题.本节内容在高考中常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　正弦、余弦定理的应用 ‎1.在△ABC中,a=1,∠A=π‎6‎,∠B=π‎4‎,则c=(　　)‎ A.‎6‎‎+‎‎2‎‎2‎　　　　B.‎6‎‎-‎‎2‎‎2‎　　　　C.‎6‎‎2‎　　　　D.‎‎2‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎2.在△ABC中,∠A=π‎3‎,BC=3,AB=‎6‎,则∠C=　　　　.  ‎ 答案　‎π‎4‎ ‎3.在△ABC中,a=2,c=4,且3sin A=2sin B,则cos C=　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎‎4‎ 考点二　解三角形的综合应用 ‎4.在△ABC中,a=1,b=‎7‎,且△ABC的面积为‎3‎‎2‎,则c=　　　　. ‎ 答案　2或2‎‎3‎ ‎5.在△ABC中,a=5,c=7,cos C=‎1‎‎5‎,则b=　　　　,△ABC的面积为　　　　. ‎ 答案　6;6‎‎6‎ ‎6.在△ABC中,a=3,∠C=‎2π‎3‎,△ABC的面积为‎3‎‎3‎‎4‎,则b=　　　　;c=　　　　. ‎ 答案　1;‎‎13‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　三角形形状的判断 ‎1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是(　　)‎ A.等腰三角形　　　　B.直角三角形　　　　C.等腰直角三角形　　　　D.等腰三角形或直角三角形 答案　D　‎ ‎2.在△ABC中,若tanAtanB=a‎2‎b‎2‎,则△ABC的形状是(　　)‎ A.直角三角形　　　　B.等腰或直角三角形　　　　C.等腰三角形　　　　D.不能确定 答案　B　‎ 方法2　解三角形的常见题型及求解方法 ‎3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=π‎3‎,a=‎3‎,b=1,则c=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎4.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ ‎5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2B+cos B=0.‎ ‎(1)求角B的值;‎ ‎(2)若b=‎7‎,a+c=5,求△ABC的面积.‎ 解析　(1)由已知得2cos2B-1+cos B=0,‎ 即(2cos B-1)(cos B+1)=0.‎ 解得cos B=‎1‎‎2‎或cos B=-1.‎ 因为0b,a=5,c=6,sin B=‎3‎‎5‎.‎ ‎(1)求b和sin A的值;‎ ‎(2)求sin‎2A+‎π‎4‎的值.‎ 解析　(1)在△ABC中,因为a>b,所以A>B,故由sin B=‎3‎‎5‎,可得cos B=‎4‎‎5‎.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=‎13‎.‎ 由正弦定理得sin A=asinBb=‎3‎‎13‎‎13‎.‎ 所以,b的值为‎13‎,sin A的值为‎3‎‎13‎‎13‎.‎ ‎(2)由(1)及a0,所以c=3.‎ 故△ABC的面积为‎1‎‎2‎bcsin A=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ 解法二:由正弦定理,得‎7‎sin ‎π‎3‎=‎2‎sinB,‎ 从而sin B=‎21‎‎7‎,‎ 又由a>b,知A>B,‎ 所以cos B=‎2‎‎7‎‎7‎.‎ 故sin C=sin(A+B)=sinB+‎π‎3‎ ‎=sin Bcos π‎3‎+cos Bsin π‎3‎=‎3‎‎21‎‎14‎.‎ 所以△ABC的面积为‎1‎‎2‎absin C=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎8.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A.‎ ‎(1)证明:sin B=cos A;‎ ‎(2)若sin C-sin Acos B=‎3‎‎4‎,且B为钝角,求A,B,C.‎ 解析　(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A.‎ ‎(2)因为sin C-sin Acos B=sin[180°-(A+B)]-sin Acos B ‎=sin(A+B)-sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B ‎=cos Asin B,‎ 所以cos Asin B=‎3‎‎4‎.‎ 由(1)知sin B=cos A,因此sin2B=‎3‎‎4‎.‎ 又B为钝角,所以sin B=‎3‎‎2‎,故B=120°.‎ 由cos A=sin B=‎3‎‎2‎知A=30°.‎ 从而C=180°-(A+B)=30°.‎ 综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.‎ 评析本题考查了正弦定理,三角恒等变换,考查了运算求解能力,熟练、准确地应用公式是求解关键.‎ C组　教师专用题组 考点一　正弦、余弦定理的应用 ‎1.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　)‎ A.a=2b　　　　B.b=2a C.A=2B　　　　D.B=2A 答案　A　‎ ‎2.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=‎3‎,sin B=‎1‎‎2‎,C=π‎6‎,则b=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎3.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=‎3π‎4‎,AB=6,AC=3‎2‎,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.‎ 解析　设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,‎ 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3‎2‎)2+62-2×3‎2‎×6×cos‎3π‎4‎=18+36-(-36)=90,所以a=3‎10‎.‎ 又由正弦定理得sin B=bsin∠BACa=‎3‎‎3‎‎10‎=‎10‎‎10‎,‎ 由题意知00,‎ ‎∴2cos B=-1,可得cos B=-‎1‎‎2‎,‎ ‎∵B是三角形的内角,即B∈(0,π),‎ ‎∴B=‎2π‎3‎.‎ ‎(2)∵‎3‎sinA‎2‎‎+‎π‎6‎cosA‎2‎‎+‎π‎6‎-sin2A‎2‎‎+‎π‎6‎=‎11‎‎26‎,‎ ‎∴‎3‎‎2‎sinA+‎π‎3‎-‎1‎‎2‎‎1-cosA+‎π‎3‎=‎11‎‎26‎,‎ ‎∴‎3‎sinA+‎π‎3‎+cosA+‎π‎3‎=‎24‎‎13‎,‎ ‎∴sinA+π‎3‎+‎π‎6‎=‎12‎‎13‎,即cos A=‎12‎‎13‎,‎ ‎∵A为三角形的内角,即A∈(0,π),‎ ‎∴sin A=‎1-cos‎2‎A=‎5‎‎13‎.‎ ‎∵B=‎2π‎3‎,‎ ‎∴cos C=cosπ‎3‎‎-A=cosπ‎3‎cos A+sinπ‎3‎sin A=‎1‎‎2‎×‎12‎‎13‎+‎3‎‎2‎×‎5‎‎13‎=‎12+5‎‎3‎‎26‎.‎ ‎15.(2018天津耀华中学第一次月考,15)已知函数f(x)=2sin2x-2sin2x-‎π‎6‎,x∈R.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b=3,c=4, fB‎2‎‎+‎π‎6‎=b+c‎2a,求边a的值.‎ 解析　(1)∵f(x)=2sin2x-2sin2‎x-‎π‎6‎ ‎=1-cos 2x-‎‎1-cos2‎x-‎π‎6‎ ‎=cos‎2x-‎π‎3‎-cos 2x ‎=‎1‎‎2‎cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x-cos 2x ‎=sin‎2x-‎π‎6‎,‎ ‎∴函数y=f(x)的最小正周期T=‎2πω=π.‎ ‎(2)∵fB‎2‎‎+‎π‎6‎=b+c‎2a,‎ ‎∴sinB+‎π‎6‎=b+c‎2a,即‎3‎‎2‎sin B+‎1‎‎2‎cos B=b+c‎2a,∴‎3‎asin B+acos B=b+c,‎ ‎∴由正弦定理可得‎3‎sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin C,又A+B+C=π,∴‎3‎sin Asin B=sin B+cos Asin B,‎ ‎∵sin B>0,‎ ‎∴‎3‎sin A-cos A=1,即sinA-‎π‎6‎=‎1‎‎2‎,‎ ‎∵0

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