2017-2018学年河北省鸡泽县第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

2017-2018学年河北省鸡泽县第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设全集， ，集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得, ,‎ 所以, ,故选B.‎ ‎2．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 A． 120 B． 160 C． 200 D． 240‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 . 选C.‎ ‎3．已知具有线性相关的变量，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为 ，‎ 所以，‎ 因此，选B.‎ ‎4．设且，则“”是“”的( )‎ A． 必要不充分条件 B． 充要条件 C． 既不充分也不必要条件 D． 充分不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】或;而时,有可能为.所以两者没有包含关系,故选.‎ ‎5．已知， ， ，则， ， 的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题易知： ，∴‎ 故选：A 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．‎ ‎6．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A． 18 B． 200 C． 2800 D． 33600‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组合定义以及分布计数原理列式求解.‎ ‎【详解】‎ 从5种主料中选2种，有种方法,‎ 从8种辅料中选3种，有种方法,‎ 根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为，选C.‎ ‎【点睛】‎ 求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎7．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为(　　)‎ A． a≥3 B． a>3‎ C． a≤3 D． a<3‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵f(x)=x3−ax−1，‎ ‎∴f′(x)=3x2−a，‎ 要使f(x)在(−1,1)上单调递减，‎ 则f′(x)⩽0在x∈(−1,1)上恒成立，‎ 则3x2−a⩽0，‎ 即a⩾3x2，在x∈(−1,1)上恒成立，‎ 在x∈(−1,1)上，3x2<3，‎ 即a⩾3，‎ 本题选择A选项.‎ ‎8．甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有 个，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是.故选D.‎ ‎9．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】是定义在上的偶函数，‎ ‎，即， ‎ 则函数的定义域为 函数在上为增函数，‎ 故两边同时平方解得，‎ 故选 ‎10．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 点是曲线上任意一点,‎ 所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小，‎ 直线的斜率为1，由，解得或（舍）.‎ 所以曲线与直线的切点为.‎ 点到直线的距离最小值是.选C.‎ ‎11．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D ‎12．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为 ‎ A B C D ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，则得的单调性，再根据为奇函数得，转化不等式为，最后根据单调性性质解不等式.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，则，所以在上单独递减，‎ 因为为奇函数，所以.‎ 因此不等式等价于，即，选B.‎ ‎【点睛】‎ 利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知命题 ，，则是_________________‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的否定为写结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的否定为，所以是，.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 的否定为，的否定为.‎ ‎14．设，则二项式的展开式中含项的系数为__________．‎ ‎【答案】192‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 由于通项公式，‎ 令，则，应填答案。‎ ‎15．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣，且当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2013）+f（2015）=_____．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ 当x≥0，都有f（x+2）=﹣，‎ ‎∴此时f（x+4）=f（x），‎ ‎∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=﹣，‎ ‎∵当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），‎ ‎∴f（1）=log2（1+1）=1，‎ 即f（2015）=﹣=﹣1，‎ ‎∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f（﹣2013）=f（503×4+1）=f（1）=1，‎ ‎∴f（﹣2013）+f（2015）=1﹣1=0，‎ 故答案为：0‎ ‎16．函数，若关于的方程在区间内恰有5个不同的根，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作以及图像，根据图像确定实数满足的条件，解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ 作以及图像，根据图像得 ‎【点睛】‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由得，当时，为真时实数的取值范围是，由得为真时实数的取值范围是，则满足题意时实数的取值范围是.‎ ‎（2）由题意可知 ，且无法推出，据此得到关于a的不等式，求解不等式可知实数的取值范围是.‎ 详解：‎ ‎（1）由得，‎ 当时，，即为真时实数的取值范围是，‎ 由，得，得，‎ 即为真时实数的取值范围是，‎ 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）由得，‎ 是的充分不必要条件，则 ，‎ 且无法推出，设，或，‎ 则且其中，所以实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，且命题的应用，充分不必要条件的判定及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．‎ 分数 ‎[50,59)‎ ‎[60,69)‎ ‎[70,79)‎ ‎[80,89)‎ ‎[90,100]‎ 甲班频数 ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ 乙班频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望．‎ 附： ． 临界值表 ‎【答案】（1）在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据数据对应填写，再根据卡方公式求，最后对照参考数据作判断，（2）先根据分层抽样得成绩不优良的人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 根据2×2列联表中的数据，得的观测值为，‎ 在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. ‎ ‎(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0,1,2,3． ‎ ‎；； ‎ ‎；． ‎ 的分布列为：‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎19．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的普通方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为 ‎，与直线的交点为，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用消去即可.‎ ‎（2）先求出的极坐标方程为，在直线和的极坐标方程中分别令得到两点的极径，它们的差的绝对值就是线段的长.‎ 详解：（1）∵圆的参数方程为（为参数)‎ ‎∴圆的普通方程为 ‎（2）化圆的普通方程为极坐标方程得 设，则由得 ‎ 设，则由得 ‎∴.‎ 点睛：化曲线的参数方程为普通方程的方法有反解消参、平方消参等，注意消参后变量的范围.化普通方程为极坐标方程，则需利用关系式来转化.在极坐标系中求线段长度、图形的面积等问题时，注意观察几何对象隐含的特点（如三点共线等），从而得到问题解决的合理方法.‎ ‎20．函数对任意的都有，并且时，恒有.‎ ‎（1）求证：在R上是增函数；‎ ‎（2）若解不等式.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数单调性的定义，设，且，得，由，得，所以是R上的增函数.‎ ‎（2）由，通过递推法求得，进而将等价于，因为在R上为增函数，则，即可求得不等式得解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：设，且，则，所以，‎ ‎，‎ 即，所以是R上的增函数.‎ ‎（2）因为，不妨设，所以,即，，所以.‎ 等价于，‎ 因为在R上为增函数，所以得到，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的应用，函数单调性的证明及应用，以及抽象不等式的求解，考查转化思想和计算能力，抽象函数的单调性常用定义法证明，抽象不等式的求解往往通过函数的性质转化为具体不等式处理.‎ ‎21．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．‎ ‎（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；‎ ‎②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．‎ 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；‎ ‎②若，则，．‎ ‎【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据服从正态分布，从而求出；②根据题意得，的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.‎ 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：‎ ‎．‎ ‎（2）①∵服从正态分布，且，，‎ ‎∴，‎ ‎∴落在内的概率是．　‎ ‎②根据题意得，‎ ‎；；；；.‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴．‎ ‎22．（题文）已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.‎ ‎（Ⅰ）求的值;‎ ‎（Ⅱ）若时,,求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2） 由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．‎ 试题解析：（1）由已知得，‎ 而，‎ ‎（4分）‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 设函数，‎ ‎．‎ 由题设可得，即，‎ 令得, ．．（6分）‎ ‎①若，则，∴当时，‎ ‎，当时，，即F（x）在单调递减，在 单调递增，故在取最小值，‎ 而．‎ ‎∴当时，，即恒成立． ．（8分）‎ ‎②若，则，‎ ‎∴当时，，∴在单调递增，‎ 而，∴当时，，即恒成立，‎ ‎③若，则，‎ ‎∴当时，不可能恒成立． ．（10分）‎ 综上所述，的取值范围为．（12分）‎ 考点：用导数研究函数的性质．‎