黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东一中克山一中等五校联考2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东一中克山一中等五校联考2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

‎“五校联谊”2019-2020学年度上学期高二年级期中考试 文科数学试卷 ‎2019.10‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目类求的．‎ ‎1.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（ ）．‎ A. Æ B. ｛x|0＜x＜3｝ C. ｛x|1＜x＜3｝ D. ｛x|2＜x＜3｝‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D ‎2.命题“任意，”否定是( )‎ A. 存在， B. 存在，‎ C. 任意， D. 任意，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有量词的命题的否定即可得到结论．‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x＞0，1”的否定是：‎ 存在，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎3.椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据椭圆的标准方程计算椭圆的长半轴长a和半焦距c，再利用离心率定义计算即可 ‎【详解】椭圆的长半轴长a＝2，短半轴长b＝1‎ ‎∴椭圆的半焦距c ‎∴椭圆的离心率e 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，离心率的定义和求法 ‎4.有下列四个命题：‎ ‎①“若，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“面积相等的三角形全等”的否命题；‎ ‎③“若，则有实根”的逆否命题；‎ ‎④“若，则”的逆命题。‎ 其中真命题是( )‎ A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用等价命题判断①否命题“若xy≠1，则x、y一定不互为倒数”正确，所以其等价命题逆命题也正确②逆命题“三角形全等则面积一定相等”正确，所以否命题正确；③△＝4﹣4m≥0原方程有根，则逆否命题正确；④由得判断．‎ ‎【详解】①否命题“若xy≠1，则x、y一定不互为倒数”正确，所以其等价命题逆命题也正确；‎ ‎②逆命题“三角形全等则面积一定相等”正确，所以否命题正确；‎ ‎③△＝4﹣4m≥0原方程有根，则逆否命题正确；‎ ‎④由得，故逆命题错误，所以①②③是真命题 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的等价命题，熟记四种命题的关系是关键.‎ ‎5.已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则( )‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．‎ 详解】椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值．‎ ‎6.已知命题椭圆离心离；椭圆离心率越小其形状越接近于圆.则下列判断中，错误的是( )‎ A. p或q为真，非q为假 B. p或q为真，非p为假 C. p且q为假，非p为真 D. p且q为假，p或q为真 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行求解即可．‎ ‎【详解】椭圆离心离，故命题为假命题；非p为真 椭圆离心率越小其形状越接近于圆，是真命题，故非q为假 则p或q为真，p且q为假,故A,C,D正确，B错误 故选：B ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，椭圆的基本性质，较容易 ‎7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 直线x﹣2y+4＝0与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，2），依题意得进而得离心率 ‎【详解】直线x﹣2y+4＝0与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，2），‎ 直线x﹣2y+4＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；‎ 故．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．‎ ‎8. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A ‎9.如果不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式|x-a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组，解这个不等式组可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，不等式|x-a|＜1的解集是a-1＜x＜a+1，设此命题为p， 命题，为q；则p的充分不必要条件是q， 即q表示的集合是p表示集合的真子集；则有，（等号不同时成立）；‎ 解得． 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析．‎ ‎10.设椭圆过点，离心率为，则椭圆C的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．‎ ‎【详解】由题意得：，又因为a2＝b2+c2，解得a＝5， ‎ 椭圆C的方程为．‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎11.设，且，则的最小值是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用基本不等式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】因为，∴，‎ 又由，所以 ‎，‎ 当且仅当，即，时等号成立，‎ 所以的最小值是，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，其中解答中根据题意，构造使用基本不等式的使用条件，准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎12.已知点P在椭圆上，点，则P，A两点间距离的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由点点距及点在椭圆上换元，利用二次函数求范围即可 ‎【详解】设，则 ‎ 因为 ‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查点点距，考查点在椭圆上的应用，是基础题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.命题“，使得”的否定是 ‎【答案】，都有 ‎【解析】‎ 试题分析：由命题的否定，可得“，都有”‎ 考点：命题的否定 ‎14.已知椭圆左、右焦点为，，上、下顶点为，，则四边形的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆得b，c,由此能求面积 ‎【详解】由题,则四边形的面积为 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的面积问题，是基础题 ‎15.设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，数列{an}的通项公式为________．‎ ‎【答案】 ．‎ ‎【解析】‎ ‎∵an＋1－an＝n＋1，‎ ‎∴a2-a1=2，a3-a2=3，……，an-an-1=n（n≥2），‎ 由累加法可得an-a1=2+3+…+n=∵a1＝1，‎ ‎∴（n≥2）.‎ ‎∵当n=1时，也满足，‎ ‎（n∈N*）.‎ ‎16.已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点．若，则＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知e＝，所以，所以，，则椭圆方程＝1变为．设A，又＝3，所以，所以，所以，①，②．①－9×②，得，所以，所以，所以，，从而，，所以A，B，故．‎ 考点：1、椭圆的几何性质；2、平面向量的坐标运算；3、直线的斜率．‎ ‎【方法点睛】“设而不求”就是指在解题过程中根据需要设出变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到一种“化难为易、化繁为简”的效果．步骤如下：（1）设直线与椭圆的两个交点坐标为，；（2）用直线与曲线方程组成方程组，消元得到一个一元二次方程；（3）利用根与系数的关系，得到与与（交换消元），这个一般用来求弦长以及面积．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．‎ ‎17.如图，在直角坐标系中有一直角梯形，的中点为,，，,,以,为焦点的椭圆经过点.求椭圆的标准方程。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先设出椭圆的标准方程，根据题意可求得c，进而求得a和b的关系式，通过C点的坐标代入椭圆的方程求得a和b的另一关系式，联立求得a和b，则椭圆的方程可得．‎ ‎【详解】设椭圆的方程为 依题意可知c＝4，‎ ‎∴a2﹣b2＝16①‎ 如图可知C点坐标为（4，6）代入椭圆方程得1②‎ ‎①②联立求得a＝8，b＝4‎ ‎∴椭圆的方程为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生对椭圆基础知识的掌握．‎ ‎18.已知二次函数在上是增函数；指数函数在定义域内是增函数；命题“”为假，且“”为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．‎ ‎【详解】p：对称轴 q：由6a2﹣a＞1即 由命题“p∧q”为假，且“￢p”为假⇒p真q假 即 ‎【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件判断p，q的真假是解决本题的关键．‎ ‎19.如图所示，中，，，点D在AC上，且．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理得，结合两角和的正弦求得，则可求 ‎（2）设利用余弦定理求得.则周长可求 ‎【详解】（1）=2，则为等腰三角形， ‎ 在中，利用正弦定理得 ‎ 故 ‎ 故 ‎ ‎（2），设 ‎ ‎ 故的周长为 ‎【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，考查计算能力，是中档题 ‎20.在中，，AC，AB边上的中线长之和等于9．‎ ‎（1）求重心M的轨迹方程；‎ ‎（2）求顶点A的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）1（y≠0）；（2）1（y≠0）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知得△ABC重心M在以B、C为两个焦点的椭圆，由此能求出△ABC重心M的轨迹方程．‎ ‎（2）利用代入法，即可求顶点A的轨迹方程．‎ ‎【详解】（1）如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系 设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知|BM|‎ ‎|BD|，|CM||CE|，于是|MB|+|MC||BD||CE|＝6‎ 根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆．2a＝6，2c＝4，‎ ‎∴a＝3，b， ‎ 故所求的椭圆方程为1（y≠0）‎ ‎（2）设A（x，y），则M（x，），代入1（y≠0），‎ 可得出顶点A的轨迹方程为1（y≠0）‎ ‎【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查代入法，解题时要认真审题，注意椭圆定义的合理运用．‎ ‎21.一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC，并给出证明.‎ ‎【答案】18.证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC ‎(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN 又FD⊥ADFD⊥CD，‎ FD⊥面ABCD FD⊥AC AC⊥面FDN GN⊥AC ‎（2）点P在A点处 证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA G是DF的中点，GS//FC,AS//CM 面GSA//面FMC GA//面FMC即GP//面FMC ‎【解析】‎ 证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC ‎ (1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN 又FD⊥AD FD⊥CD，‎ FD⊥面ABCD FD⊥AC AC⊥面FDN GN⊥AC ‎（2）点P在A点处 证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA G是DF的中点，GS//FC,AS//CM 面GSA//面FMC GA//面FMC 即GP//面FMC ‎22.如图所示，、分别为椭圆左、右焦点，为两个顶点，已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程，进而可得焦点坐标；（Ⅱ）根据题意得到的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式可得求出,.‎ 试题解析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ‎ ，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程为，从而可得焦点坐标为.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ 将与联立，消去，得 ‎.‎ ‎ ‎ ‎ ‎