山东省潍坊市诸城市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
2019—2020学年度上学期诸城期中考试
高二数学试题
（本试卷共4页 满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号答案写在试卷上无效.
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4．填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第I卷（选择题 共52分）
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质和特殊值法来判断各选项中结论的正误.
【详解】对于A选项，若，由，可得，A选项错误；
对于B选项，取，，则满足，但，B选项错误；
对于C选项，若，，由不等式的性质可得，C选项正确；
对于D选项，若，则，D选项错误.故选C.
【点睛】本题考查利用不等式的性质来判断不等式的正误，同时也可以利用特殊值法等一些基本方法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.
2.不等式的解集为（ ）
A. {x|-2
2}
【答案】C
【解析】
【分析】
直接解不等式得到答案.
【详解】，等价于，解得.
故选：.
【点睛】本题考查了解分式不等式，属于简单题.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，结合题中条件，即可得出结果.
【详解】因为，，所以，，因此，；
故选：B
【点睛】本题主要考查由已知条件判断所给不等式的真假，熟记不等式的性质即可，属于基础题型.
4.在下列函数中，最小值是2的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案.
【详解】A. ，，错误；
B. ，故，，错误；
C. ， ，故，错误；
D ，当，即时等号成立，正确.
故选：.
【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5.若点都在函数图象上，则数列前项和最小时的等于（ ）
A. 7或8 B. 7 C. 8 D. 8或9
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得,进一步求得的前n项,利用二次函数性质求最值即可求解
【详解】由题得,则的前n项=,对称轴为x=,故的前n项和最小时的n等于7或8
故选A
【点睛】本题考查等差数列通项公式，二次函数求最值，熟记公式，准确计算是关键，是基础题
6.给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由且可得且，所以是的充分不必要条件．
【考点定位】本题考查充分必要条件的判断，通过等价命题的转化化难为易，本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单，也渗透了转化思想的考查.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为
A. an＝2n－3 B. an＝2n＋3
C. an＝ D. an＝
【答案】C
【解析】
试题分析：当时，当时，因此数列通项公式
考点：数列求通项公式
8.在数列中，， (n∈N+)，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取倒数，确定是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案.
【详解】，则，故是首项为，公差为的等差数列.
，，.
故选：.
【点睛】本题考查了数列的通项公式，取倒数确定等差数列是解题的关键.
9.某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.
该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ）
A. 可能是国画 B. 可能是书法 C. 可能是排球 D. 一定是篮球
【答案】B
【解析】
【分析】
依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案.
【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；
若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；
若小刚选择是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；
若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；
故小刚可能选择的是书法和篮球.
故选：.
【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.
10.已知数列满足，，则数列的前8项和为（ ）
A. 29 B. 37 C. 45 D. 61
【答案】C
【解析】
【分析】
根据递推公式依次计算前8项，再计算和得到答案.
【详解】，，故，
故数列的前8项和为.
故选：.
【点睛】本题考查了数列求和，意在考查学生的计算能力.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的的0分.
11.下列命题中是真命题的是（ ）
A. ∃x∈R， B. ∃x∈R，cos x=1
C. ∀x∈R，x2>0 D. ∀x∈R，2x 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据全称命题和特称命题的性质，依次判断每个选项的真假得到答案.
【详解】A. ∃x∈R， ，取时，，正确；
B. ∃x∈R，cos x=1，取时，，正确；
C. ∀x∈R，x2>0，当时，不成立，错误；
D. ∀x∈R，2x 0，，正确；
故选：.
【点睛】本题考查了命题的真假，意在考查学生的推断能力.
12.若正实数满足，则（ ）
A. 有最大值4 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
【答案】C
【解析】
试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于
，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确．
考点：基本不等式
13.已知是等差数列()的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有（ ）
A. 数列中的最大项为 B. 数列的公差
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意得到，且，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】，故，且，
故数列中的最大项为，错误；
数列的公差，正确；
，正确；
，正确；
故选：.
【点睛】本题考查了等差数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.
第II卷（非选择题 共98分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
14.命题“”的否定为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题，故命题“”的否定为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.
15.已知是等比数列，且，则______；若公比，则_____.
【答案】 (1). 3 (2). 81
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质和公式计算得到答案.
【详解】是等比数列，故，故，.
故答案为：3；81.
【点睛】本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力.
16.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植5棵，以后每天植树的棵数比前一天多5棵，则需要的最少天数n(n∈N*)为___________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题意每天植树棵树是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案.
【详解】根据题意：每天植树棵树是首项为，公差为的等差数列，
故，，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
17.下表给出一个“直角三角形数阵”：
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为（i，j∈N*)，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
先计算第一列形成的数列，再计算第20行形成的数列，得到答案.
【详解】设第一列形成的数列为，则是首项为，公差为的等差数列，故，.
设第20行形成的数列为，是首项为，公比为的等比数列，故.
即.
故答案：.
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
四、解答题：本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.解关于的不等式
（1）
（2）；
【答案】（1）或（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）直接解不等式得到答案.
（2）变换得到，讨论，，三种情况，计算得到答案.
【详解】（1）原不等式化为，即，即，
所以原不等式的解集为或.
（2）原不等式化为，
当时，； 当时，； 当时，；
故不等式的解集为：
当时，；当时，；当时，；
【点睛】本题考查了解不等式，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.
19.已知非零数列满足，且的等差中项为6.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）确定数列为以2为公比的等比数列，代入公式计算得到答案.
（2）计算，得到，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】（1）非零数列满足，数列为以2为公比的等比数列；
因为 的等差中项为6，所以，即，所以，
所以.
（2）将代入，得到，
所以，
所以
.
【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的灵活运用.
20.已知正数满足，求的最小值有如下解法：
∵且，∴ ，
∴．
判断以上解法否正确，并说明理由．若不正确，请给出正确解法．
【答案】题中解法错误．见解析
【解析】
【分析】
解法错误，两次均值不等式不能同时成立，变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】题中解法错误．理由如下：
∵，当且仅当2x=y时取到等号，
，当且仅当时取到等号，
以上两个不等式不能同时取到等号，因此不成立．
正确解法：∵且，
∴ ，
当且仅当，，即时，取到等号，
故．
【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.
21.已知命题: 和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立;命题:不等式有解.命题为真命题.
（1）求实数的取值范围;
（2）是真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）a≥6或a≤-1.（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，计算，故，代入解不等式得到答案.
（2）讨论a>0，a=0，a<0三种情况，根据命题的真假得到，再计算交集得到答案.
【详解】（1）∴命题p是真命题，∵x1，x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，∴
∴ ∴当时， ，
由不等式a2-5a-3≥对任意实数m∈[-1，1]恒成立，可得a2-5a-3≥3，
解得a≥6或a≤-1， 则当命题p为真命题时，a≥6或a≤-1.
（2）∵命题p是真命题，命题q是假命题， 命题q：不等式ax2+2x-1>0有解.
①当a>0时，显然有解；
②当a=0时，2x-1>0有解；
③当a<0时，∵ax2+2x-1>0，∴Δ=4+4a>0，∴-10有解时，a>-1.
∵命题q是假命题，∴a≤-1 ，所以的取值范围为.
【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和推断能力.
22.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知.
（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前n项和.
【答案】（1）或者；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接根据等差数列，等比数列公式计算得到答案.
（2），利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1）由题意知 ，解得或，
所以或者；
（2）当时，，故，
，
，
①-②得，所以.
【点睛】本题考查了等差数列等比数列公式，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
23.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
【答案】（1）最多调整500名；（2），
【解析】
【分析】
（1）根据题意可列出，进而解不等式求得的范围，确定问题的答案．
（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求的范围．
【详解】（1）设调整出名员工，则由题意，得，即，又，所以．
即最多调整500名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，所以，
所以，即在时恒成立．
因为，当且仅当，即时等号成立，所以，
又，所以．所以的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．
