四川省宜宾四中2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题

四川省宜宾四中2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题

‎2020年春四川省宜宾四中高三第一学月考试 理科数学 注意事项：‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则的子集个数为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知f(x)=,则f[f(3)]= ‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．5‎ 4． 下列函数中，任取函数定义域内，满足，且 在定义域内单调递减的函数是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他 在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是 比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项 式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为 A． B． C． D．‎ ‎6．函数的图象大致形状为 ‎7．已知平面向量的夹角为，且，则 A．64 B．‎36 ‎C．8 D．6‎ ‎8．二项式的展开式中第项是常数项，则的值是 A． B． C． D．‎ ‎9．函数的一条对称轴是 A． B． C． D．‎ ‎10．若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的外接圆方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎12．若，，，则的最大值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则______.‎ ‎14．已知向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥， ，则______．‎ ‎15．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，，若，则数列的前项和为______．‎ ‎16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照 …… 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图 ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计 的值，并说明理由。‎ ‎18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求中的最长边.‎ ‎19．（12分）如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎20．（12分）已知椭圆过点,直线与椭圆相交于两点(异于点).当直线经过原点时,直线斜率之积为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线斜率之积为,求的最小值.‎ ‎21．（12分）已知.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，求证：对于，恒成立；‎ ‎（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知直线的参数方程是（是参数），以坐标原点为原点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.‎ ‎23．（10分）已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围.‎ ‎2020年春四川省宜宾四中高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．D 8．B 9．A 10．B 11．A 12．C ‎13．5 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）由直方图，可得 ，‎ 解得.‎ ‎（2）因为前6组频率之和为 而前5组的频率之和为 ‎ ‎ 所以.‎ 由 解得.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准.‎ ‎18．（1）因为.‎ ‎（2）由（1）知为钝角，所以为最大角，‎ 因为，所以，又，所以.‎ 由正弦定理得：，所以为最大边.‎ ‎19．（Ⅰ）证明：∵，，‎ ‎∴，∴， ‎ 取的中点，连结，则， ‎ ‎∵ 平面平面，‎ ‎∴平面，∴ ，‎ 从而平面，∴‎ ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，‎ 则、、、，‎ ‎，从而=（4,0,0），，.‎ 设为平面的法向量，‎ 则可以取 设为平面的法向量，‎ 则可以取 因此，，有，即平面 平面，‎ 故二面角的大小为.‎ ‎20．(1)当经过原点时,,此时,‎ 又,椭圆方程为.‎ ‎(2)由,‎ ‎,,由,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,恒过定点,‎ ‎===,‎ 当时,的最小值为3,当直线的斜率为零时,不合题意,综上,.‎ ‎21．（1），‎ 当时，.解得．‎ 当时，解得．所以单调增区间为，‎ 单调减区间为．‎ ‎（2）设，‎ 当时，由题意，当时，‎ 恒成立．，‎ ‎∴当时，恒成立，单调递减．又，‎ ‎∴当时，恒成立，即．‎ ‎∴对于，恒成立．‎ ‎（3）因为．‎ 由（2）知，当时，恒成立，‎ 即对于，，‎ 不存在满足条件的；当时，对于，，‎ 此时．∴，‎ 即恒成立，不存在满足条件的；‎ 当时，令，可知与符号相同，‎ 当时，，，单调递减．∴当时，，即恒成立．综上，的取值范围为．‎ ‎22．（1）由直线的参数方程消去参数得的方程为.‎ ‎，‎ ‎，‎ 曲线的直角坐标方程为，‎ 即.‎ 圆心到直线的距离为，‎ 直线与圆的相离.‎ ‎（2）直线上的点向圆引切线，则切线长为 ‎．‎ 即切线长的最小值为.‎ ‎23．（Ⅰ）可化为，‎ 即或或 解得或，或；‎ 不等式的解集为． ‎ ‎（Ⅱ）易知； ‎ 所以，又在恒成立； ‎ 在恒成立；‎ 在恒成立；‎ ‎．‎