2018届二轮复习 不等式与线性规划学案（全国通用）
第19讲 不等式与线性规划
(对应 生用书第113页)
一、选择题
1．(2017·山西吕梁二模)已知0
0 B．2a－b<
C．log2 a＋log2 b<－2 D．2<
C [对于A，由log2 a>0得log2 a>log2 1，即a>1，而由01>b，矛盾，故B不正确．
对于C，当a、b>0时，log2 a＋log2 b<－2⇔log2(ab)2可得ab<，故C正确．
对于D，由2<得＋<，而由02，矛盾，故D不正确．
故选C.]
2．(2017·湖北四校联考)若变量x，y满足约束条件，则z＝(x－1)2＋y2的最大值为( )
【导 号：07804125】
A．4 B．
C．17 D．16
C [z＝(x－1)2＋y2表示点(x，y)与点P(1,0)间距离的平方．画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知P(1,0)与A(2,4)间的距离最大，因此zmax＝(2－1)2＋42＝17.]
3．(2017·广东五校协作体联考)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x
，y)∈D,2x＋3y≥－1；p2：∃(x，y)∈D,2x－5y≥－3；p3：∀(x，y)∈D，≤；p4：∃(x，y)∈D，x2＋y2＋2y≤1.其中的真命题是( )
A．p1，p2 B．p2，p3
C．p2，p4 D．p3，p4
C [作出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，其中A(0,3)，B(－1,0)，由得，即C(1,1)，对于p1，因为2×(－1)＋0≤－1，故p1是假命题，排除A；对于p2，将C(1,1)代入2x－5y＋3＝0得到2×1－5×1＋3＝0，说明点C(1,1)在2x－5y＋3＝0上，故p2是真命题，排除D；对于p3，因为＝1>，故p3是假命题，排除B，故选C.]
4．(2017·郑州二模)已知实数x，y满足，则z＝2|x－2|＋|y|的最小值是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
C [法一：(数形结合法)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由图易知1≤x≤2，y>0，z＝2(2－x)＋y＝4－2x＋y，即y＝2x＋z－4，平移直线y＝2x可知，当直线经过点M(2,4)时，z取得最小值，最小值为4.故选C.
法二：(特殊值验证法)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由可行域的形状可知，z＝2|x－2|＋|y|的最值必在顶点M(2,4)，N(1,3)，P(1,5)处取到，分别代入z＝2|x－2|＋|y|可得z＝4或z＝5或z＝7，故选C.]
5．(2017·湘中名校模拟)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( )
A．2 B．
C． D．1＋
A [由a，b为正数，且＋＝1，得b＝>0，所以a－1>0，所以＋＝＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝b＝3时等号成立，所以＋的最小值为2，故选A.]
6．(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)＝，则f(f(x))<2的解集为( )
A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2)
C．(1－ln 2,1) D．(1,1＋ln 2)
B [因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，所以f(f(x))<2等价于f(x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f(f(x))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.]
7．(2017·武昌区模拟)设x，y满足约束条件，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
B [根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：
图1
可知可行域为开口向上的V字型．在顶点处z有最小值，顶点为，则＋a＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图2，
图2
虚线向上移动时z减小，故z→－∞，没有最小值，故只有a＝3满足题意．选B.]
8．(2017·河南、湖北、山西三省联考)已知实数x，y满足则z＝的取值范围为( )
【导 号：07804126】
A. B．
C. D．
B [不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝表示点D(2,3)与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率．因点D(2,3)与B(8,1)连线的叙率为－且C的坐标为(2，－2)，故由图知z＝的取值范围为，故选B.
]
9．(2017·洛阳一模)已知实数x，y满足条件，若z＝y－ax取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a的取值集合为( )
A．{2，－1} B．{a∈R|a≠2}
C．{a∈R|a≠－1} D．{a∈R|a≠2且a≠－1}
D [不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由z＝－ax＋y得y＝ax＋z，若a＝0，直线y＝ax＋z＝z，此时最大的最优解只有一个，满足条件．若a>0，则直线y＝ax＋z的纵截距最大时，z取得最大值，若z＝y－ax取得最大值时的最优解有且只有一个，则a≠2.若a<0，则直线y＝ax＋z的纵截距最大时，z取得最大值，若z＝y－ax取得最大值时的最优解有且只有一个，则a≠－1.选D.]
10．(2017·石家庄二模)在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为( )
A．－1 B．－
C． D．－
D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知πr2＝π，解得r＝2.z＝＝1＋，表示可行域内的点与点P(－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝1－＝－，故选D.]
11．(2017·郑州一模)设正实数x，y满足x>，y>1，不等式＋≥m恒成立，则m的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
C [依题意得，2x－1>0，y－1>0，＋＝＋≥＋≥4×2＝8，即＋≥8，当且仅当，即时，取等号，因此＋的最小值是8，m≤8，m的最大值是8，选C.]
12．(2017·安徽师大附中模拟)当x，y满足不等式组时，－2≤kx－y≤2恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,0]
C. D．
D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z＝kx－y，由得，即B(－2,2)，由得，即C(2,0)，由得，即A(－5，－1)，要使不等式－2≤kx－y≤2恒成立，则，
即，
所以－≤k≤0，故选D.]
二、填空题
13.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
－5 [作出可行域如图阴影部分所示．
由z＝3x－2y，得y＝x－.
作出直线l0：y＝x，并平移l0，知当直线y＝x－过点A时，z取得最小值．
由得A(－1,1)，
∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.]
14．(2015·全国Ⅰ卷)若x、y满足约束条件则的最大值为________.
【导 号：07804127】
3 [画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
∴点(x，y)在点A处时最大．
由得
∴A(1,3)．
∴的最大值为3.]
15．(2017·福州二模)已知实数x，y满足，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数多个，则z＝x＋ay的最大值为________．
[作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，C.当a>0时，y＝－x＋z，作直线l0：y＝－x，平移l0，易知当直线y＝－x＋z与4x＋y－8＝0重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a＝，当直线过点A时，z取得最大值，且zmax＝3＋＝；当a≤0时，数形结合知，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解不可能有无数多个．综上所述zmax＝.]
16.(2016·全国Ⅰ卷)某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
216 000 [设生产产品A为x件，产品B为y件，则
目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．
当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]
