2013-2017高考数学分类汇编-文科 第四章 三角函数 第4节 解三角形

2013-2017高考数学分类汇编-文科 第四章 三角函数 第4节 解三角形

第四章 三角函数 第4节 解三角形 题型58 正弦定理的应用 1. ‎（2013山东文7）的内角，，所对的边分别为，若，，‎ ‎ ，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.分析 先利用正弦定理，求出角，进而求出角和角，得出角为直角，从而利用勾 股定理求出边.‎ 解析 由正弦定理得：，因为，所示.‎ 因为为三角形的内角，所以.所以.又，所以，‎ 所以.所以，所以为直角三角形.‎ 由勾股定理得.故选B.‎ ‎2. (2013安徽文9） 设的内角所对边的长分别为，若 ‎，则角（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 解析 同理科卷12题.答案B.‎ ‎3.（2013浙江文3）若，则“”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.分析 分别判断能否推出和能否推出.‎ 解析 若，则，所以，即；‎ 但当时，有，此时.所以是的充分不必要条件.故选A.‎ ‎4. (2013湖南文5）在锐角中，角所对的边长分别为. 若，则角等于（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎4.分析 利用正弦定理将边化为角的正弦.‎ 解析 在中，.‎ 因为，所以.所以.又为锐角三角形，所以.故选A.‎ ‎5.（2014广东文7）在中，角所对应的边分别为则“”是“”的（ ）.‎ A. 充分必要条件 B.充分非必要条件 ‎ C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 ‎6.（2014江西文5）在中，内角所对的边分别为，若，则的值为（ ）.‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.（2015安徽文）在中，，，，则 .‎ ‎7.解析 由正弦定理可得，即，解得.‎ ‎8.（2015福建文）若在中，，，，则_______．‎ ‎8.解析 由题意得．‎ 由正弦定理得，则.‎ ‎9.(2015北京文)在中，，，， .‎ ‎9.解析 在中，由正弦定理知，得，，‎ 又，得.‎ ‎10.（2015全国1文）已知分别为内角的对边，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）设，且，求的面积.‎ ‎10.解析 （1由正弦定理得，.又，所以，即.‎ 则.‎ ‎（2）解法一：因为，所以，‎ 即，亦即.‎ 又因为在中，，所以，‎ 则，得.所以为等腰直角三角形，‎ 得，所以.‎ 解法二：由（1）可知，①‎ 因为，所以，②‎ 将②代入①得，则，所以.‎ ‎11.（2015山东文）在△中，角所对的边长分别为. 已知 ‎，，，求和的值.‎ ‎11.解析 在中，由，得.‎ 因为，所以.‎ 因为，所以，可得为锐角，所以，‎ 因此.‎ 由，可得.‎ 又，所以.‎ ‎12.（2016全国丙文9）在中，，边上的高等于，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎12. D 解析 解法一：，，‎ 由正弦定理得，即，所以，所以，.故选D.‎ 解法二：如图所示，由，知.‎ 由，则，.‎ 由正弦定理知，则.故选D.‎ ‎13.（2016北京文13）在中，，，则________.‎ ‎13.解析 由正弦定理及题设，可得，‎ 所以，则.由，得，，，.‎ ‎14.（2016全国甲文15）的内角，，的对边分别为，，.若，，，则_______.‎ ‎14.解析 解法一：由题可知，.‎ 由正弦定理可得.由射影定理可得.‎ 解法二：同解法一，可得.又 ‎，由余弦定理可得.‎ 解法三：因为，，，，‎ ‎.‎ 由正弦定理得，，解得.‎ ‎15.（2016江苏15）在中，，，.‎ ‎（1）求的长；（2）求的值.‎ ‎15. 解析 （1）因为，而，所以.‎ 由正弦定理，故.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 又，所以.故 ‎.‎ ‎16.（2016天津文15）在中，内角，，所对的边分别为，，，‎ 已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎16.分析 （1）利用正弦定理，将边化为角：，再根据三角形内角范围化简得，；（2）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.‎ 解析 （1）在中，由正弦定理化简，‎ 得，所以，得.‎ ‎（2）由，得，则，‎ 所以.‎ ‎17.（2016浙江文16）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎17.解析 （1）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是.又，故，‎ 所以或，因此（舍去）或，所以 ‎（2）由，得，，‎ 故，..‎ ‎18.（2017全国3文15）的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则_________.‎ ‎18.解析 由正弦定理有，所以，又，所以，‎ 所以.‎ 评注 考查用正、余弦定理解三角形问题以及三角形的内角和定理，难度偏低.‎ 题型59 余弦定理的应用 ‎1.（2014福建文14）在中，，则等于 .‎ ‎2.（2015广东文）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）.‎ ‎2.解析 由余弦定理得，‎ 所以，‎ 即，解得或.因为，所以.故选C．‎ ‎3.（2015重庆文）设的内角，，的对边分别为，，，且，，，则________.‎ ‎3.解析 因为，所以根据正弦定理得．又因为，‎ 所以．因为，所以，代入解得．‎ ‎4.（2015江苏文）在中，已知，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎4.解析 （1）由余弦定理，‎ 解得．‎ ‎（2），‎ 因为，故，‎ 故．‎ 评注 在运算的过程中类似，可不化简，有时候会利于下面的运算．‎ ‎5.（2015全国2文）中，是上的点，平分， .‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，求.‎ ‎5.分析 (1)根据题意，由正弦定理可得.‎ ‎(2)由诱导公式可得，由(1)可知，所以，.‎ 解析 (1)由正弦定理得，，.‎ 因为平分，，所以.‎ ‎(2)因为，，‎ 所以.‎ 由(1)知，所以，即.‎ 评注 三角是高中数学的重点内容，在高考中主要是利用三角函数，三角恒等变换及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解时，注意角的转化及定理的使用.‎ ‎6.（2015陕西文）的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎6.解析 (1)因为，所以 ‎ 由正弦定理得， ‎ 将式代入式，又，得到，由于，所以.‎ ‎(2)解法一：由余弦定理得，，而，，，‎ 得，即.因为，所以，‎ 故的面积为.‎ 解法二：由正弦定理，得，从而.‎ 又由知，所以.‎ 故，‎ 所以面积为.‎ ‎7（2015四川文）已知为的内角，，是关于方程的两个实根.‎ ‎（1）求C的大小；‎ ‎（2）若，，求p的值.‎ ‎7.解析 （1）由题意可得方程的判别式，所以或.‎ 由韦达定理，得，，‎ 所以，‎ 可得.‎ 所以，所以.‎ ‎（2）由正弦定理，可得，‎ 解得或（舍去）.所以.‎ 则.‎ 所以.‎ ‎8.（2015天津文）在中，内角，， 所对的边分别为，，，已知的面积为，，.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求 的值.‎ ‎8.分析 （1）由面积公式可得，结合，可解得，.‎ 再由余弦定理求得.最后由正弦定理求的值；（2）直接展开求值.‎ 解析 （1）中，由，得，‎ 由，得，又由，解得，.‎ 由，可得. ‎ 又由，得.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎9.（2015浙江文）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求的面积.‎ ‎9.解析 (1) ，得.‎ ‎.‎ ‎(2) ，.由正弦定理得，，所以，‎ 又，‎ 所以.‎ ‎10.（2016全国乙文4）的内角，，的对边分别为，，.已知，‎ ‎，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎10. D 解析 由余弦定理得，即，‎ 整理得，解得.故选D.‎ ‎11.（2016山东文8）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎11. C解析 由余弦定理，得.‎ 因为，所以. 由已知得，所以，‎ 所以.因为，所以.故选C.‎ 评注 考试的时候得到，若寻找不到因式分解可考虑代入选项检验.‎ 题型60 判断三角形的形状 ‎1. (2013陕西文9）设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）.‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎1.分析 利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系．‎ 解析 因为 ‎,所以.‎ 因为，所以，即是直角三角形．故选B.‎ 题型61 解三角形的综合应用 ‎1. （2013江西文17）在中，角所对的边分别为，已知 ‎.‎ ‎（1）求证：成等差数列；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎1.分析 （1）根据正弦定理把已知条件中的角的关系转化为边的关系，从而证明成等 差数列；（2）应用（1）的结论和余弦定理得出的关系式，从而求出结论.‎ 解析 （1）由已知得.因为，所以.‎ 由正弦定理得，即成等差数列.‎ ‎（2）由及余弦定理得，即有，所以.‎ ‎2. (2013天津文16）在中， 内角所对的边分别是. 已知，， . ‎ ‎（1）求的值; ‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎2.分析 （1）先用正弦定理求出，再用余弦定理求出；（2）用二倍角公式和两角差公式求值.‎ 解析 （1）在△中，由可得又由 可得.又故由可得 ‎（2）由得进而得 所以 ‎3.（2013湖北文18）‎ 在中，角，，对应的边分别是，，. 已知．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积，，求的值．‎ ‎3.分析 利用倍角公式和诱导公式化简已知条件，求得的值，即得角的大小；由面 积求出边，再利用余弦定理求出边，最后利用正弦定理求出的值.‎ 解析 （1）由，得，即，解得.因为，所以.‎ ‎（2）由，得，又，所以.‎ 由余弦定理得，所以.‎ 从而由正弦定理得.‎ ‎4. （2013四川文17）在中，角的对边分别为，且 ‎.‎ ‎（1）求的值；推导的前项和公式；‎ ‎（2）若，求向量在方向上的投影.‎ ‎4.分析 （1）由三角形内角和定理得，即，然后利用两角 和的余弦公式求得.‎ ‎（2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解．‎ 解析 （1）由，得.则，即.‎ 又，则.‎ ‎（2）由正弦定理，有，所以.‎ 故题意知，则，故.‎ 根据余弦定理，有.解得或（负值舍去）.‎ 故向量在方向上的投影为.‎ ‎5. (2013浙江文18）在锐角中，内角的对边分别为，且. ‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积. ‎ ‎5.分析 （1）利用已知条件和正弦定理可求出，进而求出；（2）利用余弦定理求出 ‎，再用面积公式求面积.‎ 解析 （1）由及正弦定理，得.因为是锐角，‎ 所以.‎ ‎（2）由余弦定理，得.‎ 又，所以.‎ 由三角形面积公式，得的面积为.‎ ‎6.（2014四川文8）如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）.‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.（2014新课标Ⅰ文16）如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，‎ 则山高 .‎ ‎8．（2014湖北文13）在中，角所对的边分别为.‎ 输入 开始 否 是 结束 输出 已知，，，则 .‎ ‎9.（2014北京文12）在中，，，，则 ；‎ ‎ .‎ ‎9. 解析 由余弦定理知，故；由，，知，由知.‎ ‎10.（2014陕西文16）（本小题满分12分）‎ ‎ 的内角所对的边分别为.‎ ‎（1）若成等差数列，求证：；‎ ‎（2）若成等比数列，且，求的值. ‎ ‎11. （2014安徽文16）（本小题满分12分）‎ 设的内角所对边的长分别是，且，，的面积为 ‎，求与的值.‎ ‎11. 解析 由三角形面积公式，得，故.因为，所以.‎ ‎①当时，由余弦定理得，所以.‎ ‎②当时，由余弦定理得，所以.‎ 评注 本题考查解三角形，解题时要注意已知求时有两解，防止漏解.‎ ‎12.（2014大纲文18）（本小题满分12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求B.‎ ‎13.（2014辽宁文17）（本小题满分12分）‎ ‎ 在中，内角的对边分别为，且，已知，，，求：‎ ‎（1）和的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎14.（2014山东文17）（本小题满分12分）‎ 中，角所对的边分别为. 已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎15.（2014浙江文18）在中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知，的面积为，求边长的值. ‎ ‎16.（2014重庆文18）（本小题满分12分）‎ 在中，内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，且的面积，求和的值.‎ ‎17. （2014新课标Ⅱ文17）（本小题满分12分）‎ 四边形的内角与互补，，，.‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）求四边形的面积.‎ ‎18.（2014湖南文19）（本小题满分13分）‎ 如图所示，在平面四边形中，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎19.（2015湖北文）如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度= m.‎ ‎19.解析 中，，，所以，‎ 因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，，所以，所以m. ‎ ‎20.（2015湖南）设的内角，，的对边分别为，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，且为钝角，求，，.‎ ‎20.解析 （1）由及正弦定理，得，所以.‎ ‎（2）因为 所以 .‎ 由（1）知，因此，所以，‎ 又为钝角，故，由知，‎ 从而.‎ 综上所述，，，.‎ ‎21.（2016上海文10）已知的三边长分别为，，，则该三角形的外接圆半径等于 .‎ ‎21.解析 不妨设，，，则，故，因此.‎ ‎22.（2016四川文18）在中，角，，所对的边分别是，，，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎22.解析 （1）根据正弦定理，可设，则，，.‎ 代入中，有，‎ 可变形得 在中，由，有，‎ 所以 ‎（2）由已知，根据余弦定理，有.‎ 所以.由（1）得，，‎ 所以，故 ‎23.（2017全国1文11）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎23.解析 由题意得 ‎，‎ 即，所以.‎ 由正弦定理，得，即，得.故选B.‎ ‎24.（2017全国2文16）的内角，B，C的对边分别为，，，若，则 .‎ ‎24.解析 解法一:由正弦定理可得 ‎.‎ 解法二：如图所示，由射影定理知，，所以，所以，所以..‎ ‎25.（2017山东文17）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，求和.‎ ‎25.解析 因为，所以，又 ，所以，‎ 因此， 且，所以.又，所以.‎ 由余弦定理，得，‎ 所以.‎ ‎26.（2017天津文15）在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎26.解析 （1）因为，所以由正弦定理得，则.‎ ‎ 又因为，所以由余弦定理得.‎ ‎（2）因为，所以，且.‎ 因为，所以由正弦定理得.‎ 又因为，所以，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎27.（2017浙江14）已知，，. 点为延长线上的一点，，联结，则的面积是___________，__________.‎ ‎27.解析 如图所示，取的中点为，在等腰中,，所以，，‎ 所以的面积为．因为，所以是等腰三角形，所以，，解得．‎ ‎28.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容器的两底面对角线，的长分别为和． 分别在容器和容器中注入水，水深均为． 现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.‎ ‎（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分 的长度；‎ （2） 将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部 分的长度．‎ ‎ ‎ ‎28.解析 （1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，‎ ‎．‎ 记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形．因为，，所以，从而.记与水面的交点为， 过点作，为垂足，则平面，故，从而．‎ 答：玻璃棒没入水中部分的长度为．‎ ‎（2）如图所示为截面的平面图形，，是正棱台两底面的中心．‎ 由正棱台的定义，平面， 所以平面平面，．‎ 同理，平面平面，．‎ 记玻璃棒的另一端落在上点处．‎ 过作，为垂足，则．‎ 因为，，所以，‎ 从而．‎ 设，，则．‎ 因为，所以．‎ 在中，由正弦定理可得，解得． ‎ 因为，所以，‎ 于是 ‎．‎ 记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，‎ 故，从而．‎ 答：玻璃棒没入水中部分的长度为．‎ 评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．‎ 也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：‎ ‎，，所以，，‎ 所以由，，即，解得．‎ 答：玻璃棒没入水中部分的长度为．‎ 题型 正、余弦定理与向量的综合——暂无