合肥市2020届零模数学理数答案

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数学(理科)试题答案 第 1 页（共 3 页） 合肥市 2020 届高三调研性检测 数学试题(理科)参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.8 14. 2 2 15. 0a  或 1 2a  16.1 三、解答题： 17.(本小题满分 10 分) 解：(Ⅰ)  31cos 2 sin 2 cos 222f xx x x  31sin 2 cos 2 sin 222 6xxx . ∴ 函数 f x 的最小正周期T  . …………………………5 分 (Ⅱ)由22226 2kxk   (kZ )，解得 36kxk    ， ∴函数  f x 的单调递增区间为 36kk  ， (kZ ). ∵  0x  ， ，∴ 所求单调递增区间为 0 6      ， 和 2 3       ， . …………………………10 分 18.(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)设等差数列na 的公差为 d ，则 5212 3 12 4aa d d ，，， ∴ 2 244naa n d n ，∴ 1 44nnbbn  ， ∴   12132 1nnnbb bb bb bb       (1)n    4414424 4 14n           4412 1 4 1nn  222nn(1)n  ， 1 4.b  也适合 ∴ 44nan， 222nbnn  *()nN . …………………………5 分 (Ⅱ)∵ 2 11 1111 212 122nbnnnnnn    ， ∴ 123 111 11 1 11 1 1 1 1112223 12 121n n bbb b nn n n                          ， 即  8 2117 n n  ，解得 16n  ， ∴满足条件的最小正整数 n 的值为 17. …………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ) 0.02 45 0.16 55 0.22 65 0.30 75 0.20 85 0.10 95 73.00x  . …………………………5 分 (Ⅱ)由题意知，成绩在 70 80， ， 80 90， ， 90 100， 的学生分别选取了 3 人，2 人，1 人. 6 人平均分成 3 组分配到 3 个社区，共有 22 64 90CC  种方法. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D B C D D B B C A 数学(理科)试题答案 第 2 页（共 3 页） 同一分数段的学生分配到不同社区的方法有 32 33 36AA  种， ∴“同一分数段的学生分配到不同社区”的概率 36 2 90 5P   .…………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)连接 1AC 交 1AC 于M ，连结 OM . 棱柱 111ABC A B C 知，四边形 11ACC A 为平行四边形， M 为 1AC 的中点. 又∵ O 为 AB 的中点，∴ 1 //BC OM . ∵ 1 ,OM ACO 平面 11BC ACO 平面 ， ∴ 1 //BC 平面 1ACO . …………………………5 分 (Ⅱ)∵ ABC 是等边三角形，且 1ABAA ， 1 60AAB ，∴ 1AOABCOAB ， . 又∵平面 11AABB  平面 ABC ，∴ 1AO  平面 ABC ，∴ 1AOCO . 以O 为坐标原点，直线 1OC OA OA，， 所在方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设 1 2AC AB BC AA ，则 C ( 3 ，0，0)， A (0，1，0)， B (0，-1，0)， 1A (0，0， 3 ). 设平面 1A AC 的法向量为 1111nxyz  ，， ，则 111 nACnAA   ， ，∴ 1 11 0 0 nAC nAA        . ∵ AC   ( 3 ，-1，0)， 1AA   (0，-1， 3 )，∴ 11 11 30 30 xy yz     . 令 1 3y  ，得 111 1xz， ，即  1 1 3 1n   ，，. 设平面 1A BC 的法向量为 2222nxyz  ，， ， 则 221 nBCnBA ， ，∴ 2 21 0 0 nBC nBA      ， ∵BC   ( 3 ，1 ，0 ) ， 1BA   (0，1， 3 )，∴ 22 22 30 30 xy yz      . 令 2 3y  ，得 2211xz ， ，即  2 13 1n   ，，. ∴ 12 12 12 1cos 5 nnnn nn    ， . 由题意可知，二面角 1A AC B为锐角，其余弦值为 1 5 . …………………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)由离心率为 3 2 得， 3 2 c a  ①.由 12ΔA AB的面积为 2 得， 2ab  ②. ∵ 222abc③，联立①②③解得， 21ab ， ， ∴椭圆 C 的方程为 2 2 14 x y. …………………………5 分 (Ⅱ)记点 M N， 的坐标分别为  11 2 2M xy Nxy，， ， . 注意到 1 2 0A  ， ，∴直线 1PA 的方程为 26 myx  ，与椭圆 2 2 14 x y  方程联立并整理得 222294 4360mxmxm ，由 2 1 2 42 9 mx m    得 2 1 2 18 2 9 mx m   ， 数学(理科)试题答案 第 3 页（共 3 页） 代入直线 1PA 的方程得 1 2 6 9 my m  ，即 2 22 18 2 6 99 mmM mm    ， . 同理可得 2 22 222 11 mmN mm   ， . 因为 Q (1，0)，所以 2 22 93 6 99 mmQM mm    ， ， 2 22 32 11 mmQN mm     ， ， 由 22 22 22 93 2 3 6 91 19 mmm m mm mm    知， M QN，， 三点共线. …………………………12 分 22.(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)曲线 lnyx 在点 2 ,2e 处的切线方程为 2 2 12yxee  ，即 2 1 1yxe  . 令该切线与曲线  xf xemx 相切于点  0 00, xx emx ，则切线方程为    00 0 1xxye mxex  ， ∴ 0 00 2 0 , 1. x xx eme exe    ∴ 221ln 1me me. 令 2me t，则  1ln 1tt. 记   1lng tt t ，   11ln lng ttt    . 于是， g t 在(0，1)上单调递增，在(1，  )上单调递减， ∴  max 11gt g，于是 2 1tme ， 21me  . …………………………5 分 (Ⅱ)  xf xem . (1)当 0m  时，   0fx  恒成立，  f x 在R 上单调递增，且  01 0fm ， 11 10mfem  ， ∴函数  f x 在R 上有且仅有一个零点； (2)当 0m  时，   xf xe 在R 上没有零点； (3)当 0m  时，令  0fx  ，则 lnx m ，即函数  f x 的增区间是  ln ,m  . 同理，减区间是 ,lnm ，∴     min ln 1 lnf xfmmm. ①若 0 me，则   min 1ln 0fx m m ，  f x 在R 上没有零点； ②若 me ，则 () xf xeex有且仅有一个零点； ③若 me ，则   min 1ln 0fx m m . )ln2(ln2)ln2( 2 mmmmmmmf  . () 2lnhm m m令 ，  21hm m  则 ， ∴当 me 时， ()hm 单调递增，  () 0hm g e. ∴    22ln 2 ln 2ln 2 0fmmmmmmmme    ，又∵  010f   ， ∴  f x 在R 上恰有两个零点. 综上所述，当 0 me时，函数  f x 没有零点；当 0m  或me 时，函数  f x 恰有一个零点；当 me 时，  f x 恰有两个零点. …………………………12 分