2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（ ）‎ A. 三个方程都没有两个相异实根 B. 一个方程没有两个相异实根 C. 至多两个方程没有两个相异实根 D. 三个方程不都没有两个相异实根 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：“至少有一个”的反面是“一个都没有”，因此本题选C．‎ ‎【考点】反证法．‎ ‎2．已知复数，则对应的点所在的象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】分析：先计算出z,再代入计算得到对应点所在的象限.‎ 详解：由题得 所以= ，‎ 所以对应的点为，在第二象限.‎ 故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查复数的运算、复数的模及复数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数对应的点为（a,b）,它们是一一对应的关系.‎ ‎3．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出函数的导数后再求切线的斜率，从而求出切线方程，再求该切线的横截距和纵截距可得三角形的面积.‎ 详解： ，所以，‎ 切线方程为： 即.‎ 令，则；‎ 令，则，故面积为，故选A.‎ 点睛：本题考查曲线在某点处切线的求法，属于基础题.‎ ‎4．下列函数中，在上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：考虑4个函数在上的导数的符号即可.‎ 详解：对于A中的函数，有，当时， 的符号有正有负，故在上不是增函数；‎ 对于B， ，当时， ，故在上不是增函数；‎ 对于C， ，当时， ，故在上不是增函数；‎ 对于D， ，当时， ，故在上是增函数；‎ 故选D. ‎ 点睛：如果在区间内，有，则在上为单调增函数；如果在区间内，有，则在上为单调减函数.反之，若在上为单调增函数，则；若在上为单调减函数，则.‎ ‎5．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：构建新函数，由得到为上的增函数，结合得到不等式的解集为 .‎ 详解：令，则，从而为 上的单调增函数，有，而即为，从而其解集为，故选B.‎ 点睛：注意依据原函数与其导函数的关系构建合适的新函数，再利用导数讨论该函数的单调性，从而求出不等式的解集.‎ ‎6．若函数图像存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题意，曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线，转化为=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．‎ 详解：令y=f（x）=ax2+3x﹣lnx，‎ 由题意，x+y﹣1=0斜率是﹣1，则与直线x+y﹣1=0垂直的切线的斜率是1，‎ ‎∴=1有解，‎ ‎∵函数的定义域为{x|x＞0}，∴=1有正根，‎ ‎∵f（x）=ax2+3x﹣lnx，∴=2ax+3﹣=1有正根 ‎∴2ax2+2x﹣1=0有正根 ∴2a=﹣=（﹣1）2﹣1‎ ‎∴2a≥﹣1，∴a≥﹣．‎ 故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义、考查零点问题等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及转化能力.(2)本题的关键是转化，首先是把曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线转化为=1有正解，再转化为2ax2+2x﹣1=0有正根 ，最后分 离参数转化为2a=﹣=（﹣1）2﹣1由正解.转化的思想是高中数学比较普遍的数学思想，遇到复杂的问题要会灵活运用.‎ ‎7．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：可设且到直线的距离最小，则曲线在该点处的切线必与已知直线平行，从而可求及点到已知直线的距离.‎ 详解：设且到直线的距离最小，‎ 又，令，则，故.‎ 此时到直线的距离为，故选B.‎ 点睛：曲线上的动点到定直线的最小距离可转化为曲线某点处的切线与已知直线平行的问题.‎ ‎8．设函数 ，若 是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求出 ，根据在处取极大值得到有零点且在的左侧附近为，在的右侧附近.分三种情况讨论即可得到的取值范围.‎ 详解： ，‎ 因为在处取极大值，故且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负.‎ 当时， ，此时，‎ 当时， ，‎ 当时， ‎ 故在处取极大值.‎ 当时， 应为的较小的正根，故，故；‎ 当时， 有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为即可，故时，总存在使得为的极大值点.‎ 综上， 的取值范围为，故选A.‎ 点睛：对于上的可导函数，‎ ‎（1）若在处取极大值，则且在 的左侧附近为正，在的右侧附近为负；‎ ‎（2）若在处取极小值，则且在的左侧附近为负，在的右侧附近为正.‎ ‎9．函数的大致图象如图所示,则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据函数的图像可以得到函数的三个不同的零点及为函数的两个不同的极值点，前者可以得到函数的解析式，后者为函数的导数的零点，从而利用韦达定理求出的值.‎ 详解：由图像可知有三个实数解，分别为，‎ 故，所以.‎ 注意到为的极值点，故它们也是的两个根.‎ 又，故C. ‎ 点睛：题设中的函数图像隐含了函数的零点及其函数的极值点，解题时注意扑捉这些有用的信息.另外，当我们知道函数的零点后，可以类比二次函数的双根式得到三次函数的解析式的形式.‎ ‎10．已知, ,若存在， ，使得，则称函数 与 互为“度零点函数”.若与互为“1 度零点函数”，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：‎ 详解： ，所以， ，‎ 故在内存在零点，也就是在内存在零点.‎ 令 ，故.‎ 当时， ， 在上为增函数；‎ 当时， ， 在上为减函数，‎ 故在上的值域为，故选B.‎ 点睛：本题为导数中的新定义题，其本质为含参数的函数在确定的范围上存在零点，可利用参变分离把零点问题转化为不含参数的函数的值域问题. ‎ 二、填空题 ‎11．已知， 为虚数单位，若为实数，则的值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】为实数，‎ 则.‎ ‎【考点】 复数的分类 ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ 复数，‎ 当时， 为虚数，‎ 当时， 为实数，‎ 当时， 为纯虚数.‎ ‎12．已知函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据导数的运算法则计算出和f(1),再计算出的值.‎ 详解：由题意f（1）=+2+2f（1），化简得f（1）=﹣﹣2，‎ 而=2x+2，所以=2+2，得=﹣2，故f（1）=0，‎ 所以f（x）=﹣2x2+2x，所以=﹣4x+2，‎ 所以=﹣6.‎ 点睛：(1)本题主要考查导数的运算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题的关键是找到关于和f(1)的方程，解答出它们的值.‎ ‎13．设，若函数 有大于零的极值点，则的范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：若函数有大于零的极值点，则导函数有大于零的零点，从而可以求出实数的取值范围．‎ 详解： ，令，则方程有正根，即．‎ 又的值域为，故即．填．‎ 点睛：若函数在内可导，且在取极值，则，反之，若，则未必是的极值点．‎ ‎14．观察下面一组等式 ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，......‎ 根据上面等式猜测，则 _________．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】分析：利用所给等式，对猜测S2n﹣1=（4n﹣3）（an+b），进行赋值，即可得到结论．‎ 详解：当n=1时，S1=（4ו1﹣3）（a+b）=a+b=1，①‎ 当n=2时，S3=（4×2﹣3）（2a+b）=5（2a+b）=25，②‎ 由①②解得a=4，b=﹣3，‎ ‎∴a2+b2=16+9=25，‎ 故答案为：25‎ 点睛：（1）本题主要考查归纳推理和演绎推理等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)解答本题的关键是通过演绎推理赋值求出a=4，b=﹣3.‎ ‎15．已知函数 在区间上不单调，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由函数f（x）在[t，t+1]不单调，得出在[t，t+1]有解，从而x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，进而求出t的范围．‎ 详解：∵=﹣x+4﹣且函数f（x）在[t，t+1]不单调，‎ ‎∴在[t，t+1]有解，‎ ‎∴=0在[t，t+1]有解，‎ ‎∴x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，‎ 令g（x）=x2﹣4x+3，‎ ‎∴g（t）g（t+1）≤0或，‎ ‎∴0＜t＜1，或2＜t＜3.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数，考查方程有解问题，考查二次函数的图像和性质,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析转化能力、数形结合能力. (2)本题有三个关键，其一是转化为在[t，t+1]有解，其二是转化为x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，其三是转化为g（t）g（t+1）≤0或，这里考虑要全面，不能漏掉.‎ ‎16．设函数 ， ，对任意， ，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，问题转化为，可求正数的取值范围．‎ 详解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 ，‎ ‎∴x1∈（0，+∞）时，函数f（）有最小值2e，‎ ‎∵g（x）=，∴=，‎ 当x＜1时， ＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，‎ 当x＞1时， ＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，‎ 则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，‎ ‎∵不等式恒成立且k＞0，‎ ‎∴，∴k≥1.‎ 故答案为：k≥1‎ 点睛：（1）本题主要考查基本不等式、导数和恒成立问题，意在考查学生对这些问题的掌握能力和分析推理能力转化能力.(2)本题的关键是把问题转化为，这一步完成了，后面就迎刃而解了.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数的极值点为2 ．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数的极值；‎ ‎（3）求函数在区间上的最值．‎ ‎【答案】（1）；（2）极小值为；（3）‎ ‎【解析】分析: （1）直接根据求出a的值.(2)利用导数求函数的极值.(3)先求函数的单调性，再根据单调性求函数在区间上的最值．‎ 详解：（1）∵, ∴‎ 又函数的极值点为2，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 经验证得符合题意，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）得.‎ ‎∴，‎ 当时， ， 单调递减，‎ 当时， ， 单调递增.‎ ‎∴当时， 有极小值，且极小值为 ‎（3）由（2）得在当单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∵， ，‎ ‎∴．‎ 点睛：（1）本题意在考查利用导数求极值、最值等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合分析能力. (2) 在当单调递减，在上单调递增，函数的最大值在端点取得，所以要比较和的大小，这个不能看距离极小值点的远近，因为它不是抛物线.‎ ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数的增区间为， 应为其子集，故可求实数的范围.‎ ‎（Ⅱ）方程在上有两个实数根可以转化为直线与函数的图像有两个不同的交点，利用导数刻画的图像后可以得到实数的取值范围.‎ 详解：（Ⅰ） ，‎ 因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为.‎ 因为函数在上为增函数，所以，所以.‎ ‎（Ⅱ）因为方程在区间内恰有两个相异的实根，故 方程在区间内恰有两个相异的实根即 方程在区间内恰有两个相异的实根.‎ 令，则，‎ 当时， ， 在为减函数；‎ 当时， ， 在为增函数. ‎ 的图像如图所示：‎ 要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足，所以的取值范围为.‎ 点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.‎ ‎19．已知函数，且 ‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求的取值范围；‎ ‎（3）证明函数的图象在图象的下方.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析 ‎【解析】分析：（1）直接根据求出a的值即得的解析式.(2)分离参数得到恒成立,再利用导数求的最大值得解.(3)转化为恒成立，即，再转化为转化为最小值大于零.‎ 详解：（1）易知，所以，又 ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎（2）若对任意的，都有，‎ 即恒成立，即： 恒成立.‎ 令，则，‎ 当时， ，所以单调递增；‎ 当时， ，所以单调递减；‎ ‎∴时， 有最大值，‎ ‎∴，即的取值范围为.‎ ‎（3）要证明函数的图象在图象的下方，‎ 即证： 恒成立，‎ 即： .‎ 由（2）可得： ，所以，‎ 要证明，只要证明，即证： ‎ 令中，则，‎ 当时， ，所以单调递增，‎ ‎∴‎ 即，‎ 所以，从而得到，‎ 所以函数的图象在图象的下方.‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性、最值等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合的分析能力转化能力.(2)本题转化关键有二，其一是转化为恒成立，即，其二是转化为转化最小值大于零.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）若直线与函数的图象相切，求的值；；‎ ‎（2）设，对于,都有求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求a的值. (2)转化为，再转化为在上恒成立，再转化为的最小值大于等于a得到a的取值范围.‎ 详解：（1），‎ 设切点为得得到，‎ 所以所以.‎ ‎（2）∵∴时， ，‎ 所以， 在上为增函数.‎ 不妨设则， ，‎ 所以，‎ 可化为,‎ 即，设，‎ 则在上为减函数，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 设，则∴‎ ‎∴‎ 所以在上为增函数，‎ 所以 ‎∴.‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数几何意义，考查导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生利用这些基础知识的掌握能力及分析转化能力数形结合能力. (2)本题的关键是转化，第一次关键转化是把已知转化为，第二次转化是转化为在上恒成立. 转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.‎