【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲 考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的
含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否
定是高考的重点；命题的真假判断常以函
数、不等式为载体，考查学生的推理判断
能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断
p q p 且 q p 或 q 非 p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表
示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号
“∃”表示．
3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈 p(x)
存在性命题 存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈 p(x)
概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈 p：真假相反．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题 p，q 都是真命题．( × )
题组二 教材改编
2．已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题綈 p，綈 q，p∨q，p∧q 中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 p 和 q 显然都是真命题，所以綈 p，綈 q 都是假命题，p∨q，p∧q 都是真命题．
3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．
答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形
题组三 易错自纠
4．已知命题 p，q，“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由綈 p 为真知，p 为假，可得 p∧q 为假；反之，若 p∧q 为假，则可能是 p 真 q 假，
从而綈 p 为假，故“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件，故选 A.
5．(2018·大连质检)命题“∃x∈R，x2－x－1>0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0
C．∃x∈R，x2－x－1≤0 D．∃x∈R，x2－x－1≥0
答案 A
6．若“∀x∈ 0，π
4 ，tan x≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为________．
答案 1
解析 ∵函数 y＝tan x 在 0，π
4 上是增函数，
∴ymax＝tan π
4
＝1.依题意知，m≥ymax，即 m≥1.
∴m 的最小值为 1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．命题 p：若 sin x>sin y，则 x>y；命题 q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A．p 或 q B．p 且 q C．q D．綈 p
答案 B
解析 取 x＝π
3
，y＝5π
6
，可知命题 p 是假命题；
由(x－y)2≥0 恒成立，可知命题 q 是真命题，故綈 p 为真命题，p 或 q 是真命题，p 且 q 是假
命题．
2．已知命题 p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题 q：若 a2
0 恒成立，
∴p 为真命题，綈 p 为假命题．
∵当 a＝－1，b＝－2 时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q 为假命题，綈 q 为真命题．
根据真值表可知 p∧(綈 q)为真命题，p∧q，(綈 p)∧q，(綈 p)∧(綈 q)为假命题．故选 B.
3．已知命题 p：∃x∈R，使 sin x＝ 5
2
；命题 q：∀x∈R，都有 x2＋x＋1>0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈 q)”是假命题；③命题“(綈 p)∨q”是真命题；
④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题，其中正确的是_____．(把所有正确结论的序号都填上)
答案 ②③
解析 因为对任意实数 x，|sin x|≤1，而 5
2 >1，所以 p 为假；因为 x2＋x＋1＝0 的判别式Δ<0，
所以 q 为真．故②③正确．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题 p，q 的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈 p”等形式命题的真假．
题型二 含有一个量词的命题
命题点 1 全称命题、存在性命题的真假
例 1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( )
A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m
C．∀n∈R，∃m∈R，m20 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2
答案 B
解析 当 x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当 x＝1 时取等号，故 B 不正确；易
知 A，C，D 正确，故选 B.
命题点 2 含一个量词的命题的否定
例 2 (1)已知命题 p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈 p 为( )
A．∃x∈R，ex－x－1≥0
B．∃x∈R，ex－x－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈 p 为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选 C.
(2)(2018·福州质检)已知命题 p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈 p 是( )
A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
答案 C
解析 已知全称命题 p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈 p：∃x1，x2∈R，[f(x2)
－f(x1)](x2－x1)<0，故选 C.
思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x，
证明 p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个 x＝x0，使 p(x0)成
立．
(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练 1 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( )
A．∃x∈R，log2x＝0 B．∃x∈R，cos x＝1
C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0
答案 C
解析 因为 log21＝0，cos 0＝1，所以选项 A，B 均为真命题，02＝0，选项 C 为假命题，2x>0，
选项 D 为真命题，故选 C.
(2)已知命题 p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( )
A．p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p 是真命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p 是真命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
答案 B
解析 因为 3x>0，所以 3x＋1>1，则 log2(3x＋1)>0，
所以 p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选 B.
题型三 命题中参数的取值范围
例 3 (1)(2018·包头质检)已知命题 p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题 q：“∃x∈R，使得 x2＋
4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数 a 的取值范围为____________．
答案 [e,4]
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题 p，q 都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得 a≥e；
由∃x∈R，使 x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则 a≤4，因此 e≤a≤4.则实数 a 的取值范围
为[e,4]．
(2)已知 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝
1
2 x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得 f(x1)≥g(x2)，
则实数 m 的取值范围是________________．
答案
1
4
，＋∞
解析 当 x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝1
4
－m，由 f(x)min≥g(x)min，
得 0≥1
4
－m，所以 m≥1
4.
引申探究
本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围
是________________．
答案
1
2
，＋∞
解析 当 x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝1
2
－m，
由 f(x)min≥g(x)max，得 0≥1
2
－m，∴m≥1
2.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求
解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)
解决．
跟踪训练 2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋15
2 a>0”的否定为假命题，则实数 a 的取值范围
是______________．
答案
5
6
，＋∞
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋15
2 a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式
x2－5x＋15
2 a>0 对任意实数 x 恒成立．
设 f(x)＝x2－5x＋15
2 a，则其图象恒在 x 轴的上方．
故Δ＝25－4×15
2 a<0，解得 a>5
6
，
即实数 a 的取值范围为
5
6
，＋∞
.
(2)已知 c>0，且 c≠1，设命题 p：函数 y＝cx 为减函数．命题 q：当 x∈
1
2
，2 时，函数 f(x)
＝x＋1
x>1
c
恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则 c 的取值范围为________．
答案 0，1
2 ∪(1，＋∞)
解析 由命题 p 为真知，01
c
恒成立，需1
c<2，即 c>1
2
，
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则 p，q 中必有一真一假，
当 p 真 q 假时，c 的取值范围是 01.
综上可知，c 的取值范围是 0，1
2 ∪(1，＋∞)．
常用逻辑用语
有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几
乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等
偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．
一、命题的真假判断
例 1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)
①∀x∈R，－x2＋x－1<0；
②∀x∈R，|x|>x；
③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；
④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.
答案 ①
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．
(2)(2018·哈尔滨联考)已知命题 p：∀x∈R，3x<5x；命题 q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题
中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈 p)∧q
C．p∧(綈 q) D．(綈 p)∧(綈 q)
答案 B
解析 若 x＝0，则 30＝50＝1，∴p 是假命题，
∵方程 x3＝1－x2 有解，∴q 是真命题，
∴(綈 p)∧q 是真命题．
二、充要条件的判断
例 2 (1)设 m，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得 m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵存在负数λ，使得 m＝λn，∴非零向量 m 与 n 方向相反，∴m·n<0.
∵m·n<0，即|m||n|cos〈m，n〉<0，
∴cos〈m，n〉<0，∴m 与 n 的夹角为钝角或平角，不一定有 m 与 n 反向，故选 A.
(2)已知圆 C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设 p：00，即 a2－2a－3>0，解得 a<－1 或 a>3.
(2)已知命题 p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题 q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0 恒成立．若 p∧q
为假命题，则实数 m 的取值范围为____________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析 由命题 p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得 m≤－1，
由命题 q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0 恒成立，可得－2－1.
1．已知命题 p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题 q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，
则( )
A．p∨q 为真 B．p∧q 为真
C．p 真 q 假 D．p∨q 为假
答案 D
解析 由 x>3 能够得出 x2>9，反之不成立，故命题 p 是假命题；由 a2>b2 可得|a|>|b|，但 a 不
一定大于 b，反之也不一定成立，故命题 q 是假命题．因此选 D.
2．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数 x，使 x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数 x，1
x>2
答案 B
解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以 A 是假命题；B 中当 x＝0 时，x2＝0，满足 x2≤0，
所以 B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为 2＋(－ 2)＝0 不是无理数，所以 C 是假命题；
D 中对于任意一个负数 x，都有1
x<0，不满足1
x>2，所以 D 是假命题．
3．已知命题 p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题 q：若 mx2－mx＋1>0 恒成立，则 00 恒成立，
则 m＝0 或 m>0，
Δ＝m2－4m<0，
则 0≤m<4，所以命题 q 为假，故选 C.
4．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得 n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得 n>x2
B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得 n>x2
C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得 n>x2
D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得 n>x2
答案 D
解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2 的否定是 n>x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，
∀n∈N＋，使得 n>x2”．故选 D.
5．若∃x∈
1
2
，2 ，使得 2x2－λx＋1<0 成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，2 2] B．(2 2，3] C. 2 2，9
2 D．{3}
答案 A
解析 因为∃x∈
1
2
，2 ，使得 2x2－λx＋1<0 成立是假命题，所以∀x∈
1
2
，2 ，2x2－λx＋1≥0
恒成立是真命题，即∀x∈
1
2
，2 ，λ≤2x＋1
x
恒成立是真命题，令 f(x)＝2x＋1
x
，则 f′(x)＝2
－1
x2
，当 x∈
1
2
， 2
2 时，f′(x)<0，当 x∈
2
2
，2 时，f′(x)>0，所以 f(x)≥f
2
2 ＝2 2，则λ≤2 2.
6．命题 p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈 p 是真命题，则实数 a 的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 D
解析 因为命题 p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以綈 p：∃x∈R，ax2＋a x＋1<0，
则 a<0 或 a>0，
Δ＝a2－4a>0，
解得 a<0 或 a>4.
7．下列命题中，真命题是( )
A．∃x∈R，ex≤0
B．∀x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0 的充要条件是a
b
＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
答案 D
解析 因为 y＝ex>0，x∈R 恒成立，所以 A 不正确；
因为当 x＝－5 时，2－5<(－5)2，所以 B 不正确；
“a
b
＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C 不正确；
当 a>1，b>1 时，显然 ab>1，D 正确．
8．(2018·鄂尔多斯模拟)已知命题 p：∃x∈R，cos x＝5
4
；命题 q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则下
列结论正确的是( )
A．命题 p∧q 是真命题 B．命题 p∧(綈 q)是真命题
C．命题(綈 p)∧q 是真命题 D．命题(綈 p)∨(綈 q)是假命题
答案 C
解析 因为对任意 x∈R，都有 cos x≤1 成立，而5
4>1，所以命题 p：∃x∈R，cos x＝5
4
是假命
题；因为对任意的 x∈R，x2－x＋1＝ x－1
2 2＋3
4>0，
所以命题 q：∀x∈R，x2－x＋1>0 是真命题．
由此对照各个选项，可知命题(綈 p)∧q 是真命题．
9．命题 p 的否定是“对所有正数 x， x>x＋1”，则命题 p 可写为______________．
答案 ∃x∈(0，＋∞)， x≤x＋1
解析 因为 p 是綈 p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则 k 的取值范围是________________．
答案 (－4,0]
解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当 k＝0 时，则有－1<0；当 k≠0 时，则有 k<0
且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－40，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2
－4×2×1
2<0，则－22x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝3
2
，则在命题 q1：p1∨p2；
q2：p1∧p2；q3：(綈 p1)∨p2 和 q4：p1∧(綈 p2)中，真命题是________．
答案 q1，q4
解析 因为 y＝
3
2 x 在 R 上是增函数，即 y＝
3
2 x>1 在(0，＋∞)上恒成立，所以命题 p1 是真
命题；sin θ＋cos θ＝ 2sin θ＋π
4 ≤ 2，所以命题 p2 是假命题，綈 p2 是真命题，所以命题 q1：
p1∨p2，q4：p1∧(綈 p2)是真命题．
13．(2018·鞍山模拟)已知命题 p：∃x∈R，使 tan x＝1；命题 q：x2－3x＋2<0 的解集是
{x|11 时，f′(x)>0，函数 f(x)＝ex
x
在(1，＋∞)上是单调递增函数；当 0m(x2＋1)，q：函数 f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1 存在零点．若“p∨q”
为真命题，“p∧q”为假命题，则实数 m 的取值范围是____________．
答案
8
17
，1
解析 ∀x∈
1
4
，1
2 ，2x>m(x2＋1)，即 m< 2x
x2＋1
＝ 2
x＋1
x
在
1
4
，1
2 上恒成立，当 x＝1
4
时，x＋1
x max＝17
4
，
∴
2x
x2＋1 min＝ 8
17
，
∴由 p 真得 m< 8
17.
设 t＝2x，则 t∈(0，＋∞)，则函数 f(x)化为 g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知 g(t)在(0，＋∞)上
存在零点，令 g(t)＝0，得 m＝－(t＋1)2＋2，又 t>0，所以由 q 真得 m<1.
又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q 一真一假，
则
m≥ 8
17
，
m<1
或
m< 8
17
，
m≥1，
解得 8
17
≤m<1.
故所求实数 m 的取值范围是
8
17
，1 .
