【数学】2019届一轮复习人教A版(文)6-3等比数列及其前n项和学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)6-3等比数列及其前n项和学案

‎ 6.3 等比数列及其前n项和 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎3.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主,等比数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查,也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.‎ ‎1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).‎ ‎2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0).‎ ‎3.等比中项 如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,G2=ab,G=±,称G为a,b的等比中项.‎ ‎4.等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.‎ ‎(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.‎ ‎5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,‎ 当q=1时,Sn=na1;‎ 当q≠1时,Sn==.‎ ‎6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.‎ 知识拓展 等比数列{an}的单调性 ‎(1)满足或时,{an}是递增数列.‎ ‎(2)满足或时,{an}是递减数列.‎ ‎(3)当时,{an}为常数列.‎ ‎(4)当q<0时,{an}为摆动数列.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( × )‎ ‎(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( × )‎ ‎(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × )‎ ‎(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.( × )‎ ‎(5)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.( × )‎ ‎(6)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P51例3]已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=______.‎ 答案 解析 由题意知q3==,∴q=.‎ ‎3.[P54A组T8]在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.‎ 答案 27,81‎ 解析 设该数列的公比为q,由题意知,‎ ‎243=9×q3,q3=27,∴q=3.‎ ‎∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值为________.‎ 答案 - 解析 ∵1,a1,a2,4成等差数列,‎ ‎∴3(a2-a1)=4-1,∴a2-a1=1.‎ 又∵1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,则b=1×4=4,且b2=1×q2>0,∴b2=2,‎ ‎∴==-.‎ ‎5.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=________.‎ 答案 -11‎ 解析 设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵8a2+a5=0,∴8a1q+a1q4=0.‎ ‎∴q3+8=0,∴q=-2,‎ ‎∴=· ‎===-11.‎ ‎6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________分钟,该病毒占据内存64MB(1MB=210KB).‎ 答案 48‎ 解析 由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an},且a1=2,q=2,∴an=2n,‎ 则2n=64×210=216,∴n=16.‎ 即病毒共复制了16次.‎ ‎∴所需时间为16×3=48(分钟).‎ 题型一 等比数列基本量的运算 ‎1.(2018·开封质检)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于( )‎ A.2B.1C.D. 答案 C 解析 由{an}为等比数列,得a3a5=a,‎ 又a3a5=4(a4-1),所以a=4(a4-1),‎ 解得a4=2.设等比数列{an}的公比为q,‎ 则由a4=a1q3,得2=q3,解得q=2,‎ 所以a2=a1q=.故选C.‎ ‎2.(2018届河北衡水中学二调)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且<1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4等于( )‎ A.63或120 B.256‎ C.120 D.63‎ 答案 C 解析 由题意得 解得或 又<1,所以数列{an}为递减数列,故 设等比数列{an}的公比为q,则q2==,‎ 因为数列为正项数列,故q=,从而a1=64,‎ 所以S4==120.故选C.‎ 思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.‎ 题型二 等比数列的判定与证明 典例 (2018·潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.‎ ‎(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明 由a1=1及Sn+1=4an+2,‎ 得a1+a2=S2=4a1+2.‎ ‎∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.‎ 又 由①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),‎ ‎∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).‎ ‎∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),‎ 故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)解 由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,‎ ‎∴-=,‎ 故是首项为,公差为的等差数列.‎ ‎∴=+(n-1)·=,‎ 故an=(3n-1)·2n-2.‎ 引申探究 若将本例中“Sn+1=4an+2”改为“Sn+1=2Sn+(n+1)”,其他不变,求数列{an}的通项公式.‎ 解 由已知得n≥2时,Sn=2Sn-1+n.‎ ‎∴Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,‎ ‎∴an+1=2an+1,‎ ‎∴an+1+1=2(an+1),n≥2,(*)‎ 又a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1),‎ ‎∴当n=1时(*)式也成立,‎ 故{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,‎ ‎∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.‎ 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ ‎(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.‎ 跟踪训练(2016·全国Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ ‎(1)证明 由题意得a1=S1=1+λa1,‎ 故λ≠1,a1=,a1≠0.‎ 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan,由a1≠0,λ≠0得an≠0,‎ 所以=.‎ 因此{an}是首项为,公比为的等比数列,‎ 于是an=n-1.‎ ‎(2)解 由(1)得Sn=1-n.‎ 由S5=得1-5=,即5=.‎ 解得λ=-1.‎ 题型三 等比数列性质的应用 ‎1.已知数列{an}为等比数列,且a2a3a4=-a=-64,则tan等于( )‎ A. B.- C.- D.± 答案 B 解析 由等比数列的性质可得a2a3a4=a=-64,‎ ‎∴a3=-4,a7=a3q4<0,结合a=64可得a7=-8,‎ 结合等比数列的性质可得a4a6=a3a7=32,‎ 即tan=tanπ ‎=tan=tanπ=-.‎ 故选B.‎ ‎2.(2017·云南省十一校跨区调研)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于( )‎ A.40 B.60‎ C.32 D.50‎ 答案 B 解析 由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+32=60,故选B.‎ 思维升华等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类:‎ ‎(1)通项公式的变形.‎ ‎(2)等比中项的变形.‎ ‎(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ 分类讨论思想在等比数列中的应用 典例(12分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:Sn+≤(n∈N*).‎ 思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;‎ ‎(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明.‎ 规范解答 ‎(1)解 设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为-2S2,S3,4S4成等差数列,‎ 所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,‎ 可得2a4=-a3,于是q==-.[2分]‎ 又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为 an=×n-1=(-1)n-1·(n∈N*).[3分]‎ ‎(2)证明 由(1)知,Sn=1-n,‎ Sn+=1-n+ ‎=[6分]‎ 当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,‎ 所以Sn+≤S1+=+=.[8分]‎ 当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,‎ 所以Sn+≤S2+=+=.[10分]‎ 故对于n∈N*,有Sn+≤.[12分]‎ ‎1.(2017·福建漳州八校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则等于( )‎ A.-3 B.5‎ C.-31 D.33‎ 答案 D 解析 设等比数列{an}的公比为q,则由已知得q≠1.‎ ‎∵S3=2,S6=18,∴=,得q3=8,∴q=2.‎ ‎∴==1+q5=33,故选D.‎ ‎2.(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于( )‎ A.-2 B.-1‎ C. D. 答案 B 解析 由S2=3a2+2,S4=3a4+2,得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍去)或q=,将q=代入S2=3a2+2中得a1+a1=3×a1+2,解得a1=-1,故选B.‎ ‎3.(2018届河南洛阳联考)在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则的值为( )‎ A.- B.- C. D.-或 答案 D 解析 由a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,可得a2+a16=-6,a2×a16=2,显然两根同为负值,aq16=2,即有a=2,则的值为a9=±.故选D.‎ ‎4.(2017·安阳一中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=3n-2,n∈N*,则( )‎ A.{an}是递增的等比数列 B.{an}是递增数列,但不是等比数列 C.{an}是递减的等比数列 D.{an}不是等比数列,也不单调 答案 B 解析 ∵Sn=3n-2,∴Sn-1=3n-1-2,∴an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2×3n-1(n≥2),当n=1时,a1=S1=1不适合上式.∴an=∵a1=1,a2=6,当n≥2时,==3.∴数列{an}从第二项起构成首项为6,公比为3的等比数列.综上可得,数列{an}是递增数列,但不是等比数列.‎ ‎5.(2017·广元模拟)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于( )‎ A.5 B.9‎ C.log345 D.10‎ 答案 D 解析 由等比数列的性质知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,所以a5a6=9,‎ 则原式=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=10.‎ ‎6.(2018·南京质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )‎ A.192里B.96里C.48里D.24里 答案 B 解析 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q=,‎ 由题意得=378,‎ 解得a1=192,则a2=192×=96,‎ 即第二天走了96里,故选B.‎ ‎7.已知{an}是各项都为正数的等比数列,其前n项和为Sn,且S2=3,S4=15,则a3=________.‎ 答案 4‎ 解析 S4-S2=a3+a4=12,S2=a1+a2=3,‎ ‎∴=q2==4,q=2或q=-2(舍去),‎ ‎∴a3+a4=a3(1+q)=3a3=12,a3=4.‎ ‎8.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________.‎ 答案 4‎ 解析 因为a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4,得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得q2=2,q2=-1(舍去),a6=a2q4=1×22=4.‎ ‎9.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和为________.‎ 答案 2n-1‎ 解析 设等比数列的公比为q,则有 解得或又{an}为递增数列,∴ ‎∴数列{an}的前n项和为=2n-1.‎ ‎10.(2018·无锡模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1(n∈N*),则通项an=________.‎ 答案 解析 ∵an+Sn=1,①‎ ‎∴an-1+Sn-1=1(n≥2),②‎ 由①-②,得an-an-1+an=0,即=(n≥2),‎ 又a1=,‎ ‎∴数列{an}是首项为,公比为的等比数列,‎ 则an=×n-1=.‎ ‎11.(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解 (1)由题意,得a2=,a3=.‎ ‎(2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0,得 ‎2an+1(an+1)=an(an+1).‎ 因为{an}的各项都为正数,所以an+1≠0,‎ 所以=.‎ 故{an}是首项为1,公比为的等比数列,‎ 因此an=.‎ ‎12.已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=n,记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*.‎ ‎(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn;‎ ‎(2)求T2n.‎ 解 (1)∵an·an+1=n,‎ ‎∴an+1·an+2=n+1,‎ ‎∴=,即an+2=an.‎ ‎∵bn=a2n+a2n-1,‎ ‎∴===,‎ ‎∵a1=1,a1·a2=,‎ ‎∴a2=,∴b1=a1+a2=.‎ ‎∴{bn}是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎∴bn=×n-1=.‎ ‎(2)由(1)可知,an+2=an,‎ ‎∴a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=为首项,以为公比的等比数列,‎ ‎∴T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)‎ ‎=+=3-.‎ ‎13.(2017·新乡三模)若数列{an+1-an}是等比数列,且a1=1,a2=2,a3=5,则an=________.‎ 答案 解析 ∵a2-a1=1,a3-a2=3,∴q=3,‎ ‎∴an+1-an=3n-1,∴an-a1=a2-a1+a3-a2+…+an-1-an-2+an-an-1=1+3+…+3n-2=,‎ ‎∵a1=1,∴an=.‎ ‎14.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+an+1=(n=1,2,3,…),则S2n+3=________.‎ 答案 解析 由题意,得S2n+3=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2n+2+a2n+3)=1+++…+ ‎=.‎ ‎15.(2018届江苏横林高级中学考试)设{an}是等比数列,公比q=,Sn为{an}的前n项和,记Tn=,n∈N*,设为数列{Tn}的最大项,则n0=________.‎ 答案 4‎ 解析 由等比数列的前n项和公式得Sn=,‎ 则Tn= ‎= ‎=,‎ 令()n=t,则Tn= ‎≤,‎ 当且仅当t=,即t=4时等号成立,‎ 即()n=4,n=4时,Tn取得最大值.‎ ‎16.(2017·武汉市武昌区调研)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn+=(-1)nan(n∈N*),则数列{Sn}的前9项和为________.‎ 答案 - 解析 因为Sn+=(-1)nan,‎ 所以Sn-1+=(-1)n-1an-1(n≥2).‎ 两式相减得Sn-Sn-1+- ‎=(-1)nan-(-1)n-1an-1,‎ 即an-=(-1)nan+(-1)nan-1(n≥2),‎ 当n为偶数时,an-=an+an-1,即an-1=-,‎ 此时n-1为奇数,所以若n为奇数,‎ 则an=-;‎ 当n为奇数时,an-=-an-an-1,‎ 即2an-=-an-1,‎ 所以an-1=,此时n-1为偶数,‎ 所以若n为偶数,则an=.‎ 所以数列{an}的通项公式为an= 所以数列{Sn}的前9项和为S1+S2+S3+…+S9=9a1+8a2+7a3+6a4+…+3a7+2a8+a9=(9a1+8a2)+(7a3+6a4)+…+(3a7+2a8)+a9‎ ‎=----- ‎=-=-.‎
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