【数学】2018届一轮复习人教A版几何概型学案
第三节
几何概型
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义．
知识点一 几何概型
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(______或______)成比
例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________．
2．几何概型的特点
(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有______个．
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性______．
答案
1．长度 面积 体积 几何概型
2．(1)无限多 (2)相等
1．判断正误
(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中
的每一点被取到的机会相等．( )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( )
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有
限．( )
解析：(1)正确．根据几何概型的概念可知正确．
(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等．
(3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状
无关．
(4)错误．几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基
本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
知识点二 几何概型的概率公式
P(A)＝______________________________________________.
答案
构成事件A的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
2．(2016·新课标全国卷Ⅰ)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至
8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分
钟的概率是( )
A.
1
3 B.
1
2 C.
2
3 D.
3
4
解析：由题意得图：
由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为
1
2.
答案：B
3．(必修③P140 练习第 1 题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃
小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝
3
8，P(B)
＝
2
8，P(C)＝
2
6，P(D)＝
1
3.
答案：A
4．为了测算下图中阴影部分的面积，作一个边长为 6 的正方形将其包含在内，并向正方
形内随机投掷 800 个点，恰有 200 个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是
________．
解析：正方形面积为 36，则阴影部分面积约为
200
800×36＝9.
答案：9
热点一 与长度、角度有关的几何概型问题
【例 1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，
红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯
的概率为( )
A.
7
10 B.
5
8
C.
3
8 D.
3
10
(2)如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CM 交 AB 于 M，则使得 AM 小于 AC
的概率为________．
【解析】 (1)记“至少需要等待 15 秒才出现绿灯”为事件 A，则 P(A)＝
25
40＝
5
8.
(2)当 AM＝AC 时，△ACM 为以 A 为顶点的等腰三角形，∠ACM＝
180°－45°
2 ＝67.5°.当∠
ACM<67.5°时，AM
2R，∴P＝圆的周长＝
1
2.
(2)记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD
的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边长
(此时 F 为 OE 中点)，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型公式
得：P(A)＝
1
2 × 2
2 ＝
1
2.
1题图
2题图
答案：(1)B (2)
1
2
热点二 与面积有关的几何概型问题
考向 1 与一般几何图形面积有关的问题
【例 2】 在面积为 S 的△ABC 内部任取一点 P，则△PBC 的面积大于
S
4的概率为( )
A.
1
4 B.
3
4 C.
4
9 D.
9
16
【解析】 记事件 A＝{ △ PBC的面积大于
S
4}，基本事件是△ABC 的面积(如图)，
事件 A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE∥BC 且 ADAB＝34)，因为阴影部分的面
积是整个三角形面积的 (3
4 )2＝
9
16，所以 P(A)＝
阴影部分的面积
三角形的面积 ＝
9
16.
【答案】 D
【总结反思】
求与面积有关的几何概型的概率的方法
(1)确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；
(2)分别求出 Ω 和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率公式求解.
考向 2 “会面型”几何概型
【例 3】 甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一
刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
【解】 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充
要条件是|x－y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为 60 的
正方形区域，而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．
由几何概型的概率公式得 P(A)＝
S阴影
S ＝
602－452
602 ＝
3 600－2 025
3 600 ＝
7
16.所以，两人能会
面的概率是
7
16.
考向 3 随机模拟方法的应用
【例 4】 (2016·新课标全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，
y2，…，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数
对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为( )
A.
4n
m B.
2n
m
C.
4m
n D.
2m
n
【解析】 设由Error!构成的正方形的面积为 S，x2n＋y2n<1 构成的图形的面积为 S′，所
以
S′
S ＝
1
4π
1 ＝
m
n，所以 π＝
4m
n ，故选 C.
【答案】 C
【总结反思】
求解与面积有关的几何概型的关键点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题
意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
(1)已知 A＝{(x，y)|－1≤x≤1,0≤y≤2}，B＝{(x，y)| 1－x2≤y}．若在区域 A 中随
机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域 B 中的概率为( )
A．1－
π
8 B.
π
4
C.
π
4 －1 D.
π
8
(2)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为 a，b，则方程
x2
a2＋
y2
b2＝1 表示焦点在 x 轴上
且离心率小于
3
2 的椭圆的概率为( )
A.
1
2 B.
15
32
C.
17
32 D.
31
32
(3)如右图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄
豆为 96 颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( )
A．7.68 B．8.68
C．16.32 D．17.32
解析：(1)集合 A＝{(x，y)|－1≤x≤1,0≤y≤2}表示的区域是一正方形，其面积为 4，
集合 B＝{(x，y)| 1－x2≤y}表示的区域为图中阴影部分，其面积为 4－
1
2×12×π.所以向区
域 A 内随机地扔一粒豆子，则豆子落在区域 B 内的概率为
4－
1
2π
4 ＝1－
π
8 .
(2)∵
x2
a2＋
y2
b2＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于
3
2 的椭圆，∴a>b>0，a<2b.它对应的平
面区域如图中阴影部分所示，则方程
x2
a2＋
y2
b2＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于
3
2 的椭圆的概
率为 P＝
S阴影
S矩形＝1－
1
2 × 1＋3 × 2＋
1
2 ×
1
2 × 1
2 × 4 ＝
15
32，故选 B.
(3)由随机模拟的思想方法可得，黄豆落在椭圆内的概率为
300－96
300 ＝0.68.由几何概型的
概率计算公式可得，
S椭圆
S矩形＝0.68，而 S 矩形＝6×4＝24，则 S 椭圆＝0.68×24＝16.32.
答案：(1)A (2)B (3)C
热点三 与体积有关的几何概型问题
【例 5】 一只蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程
中始终保持与正方体玻璃容器的 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正
方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )
A.
1
8 B.
1
16
C.
1
27 D.
3
8
【解析】 由题意，可知当蜜蜂在棱长为 10 的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由
几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为
103
303＝
1
27.
【答案】 C
【总结反思】
对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间
几何体的体积计算.
在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD－
A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________．
解析：记“点P 到点 O 的距离大于 1”为事件A，则事件 A 发生时，点 P 位于以 O 为球心，
以 1 为半径的半球外．又 V 正方体 ABCD－A1B1C1D1＝23＝8，V 半球＝
1
2·
4
3π·13＝
2
3π.∴所求事
件概率 P(A)＝
8－
2
3π
8 ＝1－
π
12.
答案：1－
π
12
1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状
和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求
解方法．
2．对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几
何概型概率公式．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上
即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的
基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表
示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．
专题六 高考解答题鉴赏——概率与统计
在全国卷高考中，概率与统计是每一年必考内容，分值 12 分，难度中等．解答题综合性
较强，将概率、统计的有关知识(特别是直方图、样本数字特征)有机地交融在一起，也有时
仅考利用统计知识解决实际问题．
【典例】 (2016·新课标全国卷Ⅰ，12 分)某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三
年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200
元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时
购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，
得下面柱状图：
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件
上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若 n＝19，求 y 与 x 的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值；
(3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损
零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购
买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？
【标准解答】 (1)当 x≤19 时，y＝3 800；
当 x>19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以 y 与 x 的函数解析式为
y＝Error!(x∈N)．(4 分)
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故
n 的最小值为 19.(7 分)
(3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损
零件上的费用为 3 800 元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台
机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1
100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4
000(元)．
若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零
件上的费用为 4 000 元，10 台的费用为 4 500 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费
用的平均数为
1
100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．
比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件．(12 分)
【阅卷点评】 本题易错点有两处：一是混淆了频率分布直方图与柱状图，导致全题皆
错；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手．避免此类错误，需认真审题，读懂题意，
并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别，纵轴表示的意义．
(2017·昆明两区七校调研)某校高三共有 900 名学生，高三模拟考之后，为了了解学生
学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，并制成如下的频
率分布表.
组号 分组 频数 频率
第一组 [70,80) 6 0.06
第二组 [80,90) 4 0.04
第三组 [90,100) 22 0.22
第四组 [100,110) 20 0.20
第五组 [110,120) 18 b
第六组 [120,130) a 0.15
第七组 [130,140) 10 0.10
第八组 [140,150) 5 0.05
合计 c 1
(1)确定表中 a，b，c 的值；
(2)为了了解数学成绩在 120 分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分
层抽样方法抽取 6 名学生，在这 6 名学生中又再随机抽取 2 名与心理老师面谈，求第七组中
至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率；
(3)估计该校本次考试的数学平均分．
解：(1)因为频率和为 1，所以 b＝0.18，因为频率＝频数/样本容量，所以 c＝100，a＝
15.
(2)第六、七、八组共有 30 个样本，用分层抽样方法抽取 6 名学生，第六、七、八组被
抽取的样本数分别为 3,2,1，将第六组、第八组被抽取的样本分别用 A，B，C，D 表示，第七
组抽出的样本用 E，F 表示．
从这 6 名学生中随机抽取 2 个的方法有 AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、
CF、DE、DF、EF，共 15 种．
其中至少含 E 或 F 的取法有 9 种，则所求概率为
3
5.
(3)估计平均分为 75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15
＋135×0.1＋145×0.05＝110.
