甘肃省定西市岷县第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

甘肃省定西市岷县第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学 一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）.‎ ‎1.给出下列四个关系式：(1)；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对给出四个选项分别进行分析、判断后可得结论．‎ ‎【详解】（1）R为实数集，为实数，所以正确；‎ ‎（2）Z、Q分别为两个集合，集合间不能用属于符号，所以错误；‎ ‎（3）空集中没有任何元素，所以错误；‎ ‎（4）空集为任何集合的子集，所以正确． ‎ 综上可得正确的个数为2． ‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的基本概念和元素与集合、集合与集合间的关系，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题，解题时根据相关知识逐一判断即可．‎ ‎2.已知函数则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求f(-1),再求f(f(-1)).‎ ‎【详解】由题得f(-1)=.‎ 故答案为A ‎【点睛】(1)本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2)计算类似的函数值时，一般从里往外，逐层计算.‎ ‎3.函数的零点所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 应用函数零点存在性定理判断.‎ ‎【详解】易知函数f（x）=在定义域上连续，‎ 且f()=<0 , f（1）= -1<0 , f(2)= , ,‎ 根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法.‎ ‎4.若直线与互相垂直，则等于（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线垂直的充分必要条件得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值.‎ ‎【详解】∵直线与互相垂直，‎ ‎∴，‎ 解得或．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线垂直的充分必要条件，属于中等题.‎ ‎5.若函数是幂函数，且在上是减函数，则实数为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义，可得，求出的值，再判断是否满足幂函数在上为减函数，即可求出结果．‎ ‎【详解】∵幂函数， ∴， 解得，或； ‎ 又在 上为减函数， ‎ ‎∴当时，，幂函数为，满足题意； ‎ 当时， ，幂函数为，不满足题意； 综上，.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，属于基础题．‎ ‎6.设，则的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质确定a,b,c的范围即可比较其大小关系.‎ ‎【详解】由题意可知：，则：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7.已知正方体内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的内切球的表面积求出球的半径，得到正方体的棱长，求得正方体的外接球的半径，利用球的体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】设正方体的棱长为，正方体内切球的半径为，外接球的半径为，‎ 因为正方体的内切球的表面积为，可得，解得，‎ 所以正方体的棱长，‎ 所以正方体的对角线长为，‎ 即正方体的外接球的半径为，‎ 所以外接球的体积为.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正方体结构特征，以及正方体的内切球和外接球的表面积与体积的计算，其中解答中熟记组合体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得出，不等式mx2mx+2>0的解集为R，从而可看出m＝0时，满足题意，m≠0时，可得出，解出m的范围即可．‎ ‎【详解】∵函数f（x）的定义域为R；‎ ‎∴不等式mx2mx+2>0的解集为R；‎ ‎①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；‎ ‎②m≠0时，则；‎ 解得0＜m<8；‎ 综上得，实数m的取值范围是 故选A．‎ ‎【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△需满足的条件．‎ ‎9.已知函数是(－∞，＋∞)上减函数，则a的取值范围是 A. (0，3) B. (0，3] C. (0，2) D. (0，2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为上的减函数，根据和时，均单调递减，且，即可求解.‎ ‎【详解】因为函数为上的减函数，‎ 所以当时，递减，即，当时，递减，即，‎ 且，解得，‎ 综上可知实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B‎2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A‎2M，从而求解．‎ ‎【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B‎2C2（如图）． 平移AB1至A2B，连接A‎2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角， 在△A2BM中， ‎ ‎ ． 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．‎ ‎11.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 详解：直线分别与轴，轴交于，两点 ‎,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎12.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.‎ 详解：因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ ‎，从而，选C.‎ 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）.‎ ‎13.已知函数f(x+3)的定义域为[-2,4),则函数f(2x-3)的定义域为_____.‎ ‎【答案】[2,5).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，再由可得，进而可得函数f(2x-3)的定义域为．‎ ‎【详解】∵函数f(x+3)的定义域为[-2,4)，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 令，‎ 解得．‎ ‎∴函数f(2x-3)的定义域为．‎ ‎【点睛】解答本题时注意：‎ ‎（1）函数的定义域是指函数中自变量的取值范围．‎ ‎（2）求复合函数的定义域时常用到以下结论：‎ ‎①若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．‎ ‎②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域．‎ ‎14.若函数是奇函数，则a=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 为奇函数，且定义域为，‎ 则，．‎ ‎15.已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数有两个零点，等价于直线和函数有两个交点,‎ 分别作出直线和函数的图象，平移直线即可得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象，‎ 令,可得 ,‎ 画出直线 ,平移可得当时，‎ 直线和函数有两个交点,‎ 则的零点有两个，‎ 故的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题 .‎ ‎16.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔分别为1，3，正广 为 ， 平面，则邪田的邪长为_______；邪所在直线与平面 所成角的大小为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作，垂足为，在Rt中，可求BC长，即为邪长，又由题意可证平面，得到 即为所求，在Rt中，求得正切值，可得角.‎ ‎【详解】过点作，垂足为，延长，使得（如图）‎ ‎.‎ 由题意可得，则 ‎ 由题意知，所以，所以.因为 平面，所以，又，所以 平面 ，则 是直线 与平面 所成角的平面角， ，所以 故答案为 ‎ ‎【点睛】本题以数学文化为载体，考查了线面角及线面垂直的证明，考查了转化与化归思想及推理论证能力，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；‎ ‎（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，根据指数幂的运算性质，‎ 可得.‎ ‎（2）根据对数的运算性质，‎ 可得 ‎【点睛】本题主要考查了指数幂运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知的定义域为集合A，集合B=.‎ ‎（1）求集合A；‎ ‎（2）若AB,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求定义域注意：根号下被开方数大于等于，分式的分母不为；‎ ‎（2）由，分别考虑与区间左端点的大小关系、与区间右端点的大小关系，不熟练的情况下，可画数轴去比较大小.‎ ‎【详解】（1）由已知得 即 ‎ ∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴ 解得 ‎∴的取值范围.‎ ‎【点睛】（1）子集关系中包含了相等关系，这一点考虑问题的时候需要注意；‎ ‎（2）两个集合满足某种关系，当需要考虑到端点处取等号的情况，若不确定，可利用数轴直观进行分析（数形结合）.‎ ‎19.已知圆，直线．‎ ‎（1）判断直线与圆C的位置关系；‎ ‎（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．‎ ‎【答案】(1)直线l与圆C必相交 (2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）判断直线过定点，利用点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；（2）根据直线的倾斜角为，求出直线斜率以及直线的方程，利用弦长公式即可求弦的长.‎ ‎【详解】(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1，1)，‎ 又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．‎ ‎(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－．‎ 此时，圆心C(0，1)到直线l： x＋y－－1＝0的距离d＝＝，‎ 又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．‎ ‎【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及直线过定点问题，属于中档题. 已知直线方程，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）当时，求的最值；‎ ‎（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；‎ ‎【答案】（1）最小值是，最大值是35.；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；‎ ‎（2）求出函数的对称轴，得到关于的不等式，求出的范围即可．‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 由于，在上单调递减，在上单调递增，‎ 的最小值是，又，故的最大值是35.‎ ‎（2）由于函数的图像开口向上，对称轴是，‎ 所以要使在上是单调函数，应有或，即或.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎21.如图所示，在四棱锥中，，，面面．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得根据线面平行的判断定理可证平面；‎ ‎（2）由题，易得，再利用面面可得面，即得证.‎ ‎【详解】(1) 面,面,∴平面 ‎(2) ∵ ∴‎ ‎∵面面,面面,面, ∴面,‎ 又面 ,∴面面 ‎【点睛】本题主要考查了空间几何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定理是解题的关键，属于较为基础题.‎ ‎22.已知是定义在上的奇函数，且当时,.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎（1）根据函数为奇函数可求得当时的解析式，写成分段函数的形式可得的解析式．（2）根据函数为奇函数可将原不等式化为，再根据单调性可得对恒成立，利用换元法求解，即令，可得对恒成立，由函数的最大值小于等于0可得结果．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，则∴，‎ ‎∵是奇函数，∴．‎ 又当时， ，∴ ．‎ ‎（2）由，‎ 可得．‎ ‎∵是奇函数，‎ ‎∴.‎ 又是减函数，所以对恒成立. ‎ 令，∴对恒成立.‎ 令， ，‎ ‎∴，解得．∴实数的取值范围为．‎