2019-2020学年湖北省黄冈市高二10月月考数学试题 解析版

2019-2020学年湖北省黄冈市高二10月月考数学试题 解析版

湖北省黄冈市2019-2020学年高二10月月考数学试题 ‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 已知集合,集合,则(    )‎ A. B. C. D. ‎ 2. 在等差数列中,若,是方程的两根,则的前11项的和为      ‎ A. 22 B. C. D. 11‎ 3. 总体由编号为01,02,03,,49,50的50个个体组成,利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为      ‎ ‎78 16 65 72 08  02 63 14 07 02  43 69 69 38 74 ‎ ‎32 04 94 23 49  55 80 20 36 35  48 69 97 28 01 ‎ A. 05 B. 09 C. 07 D. 20‎ 4. 某地气象局预报说,明天本地降水概率为,你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点 (     )‎ A. 明天本地有的时间下雨,的时间不下雨 B. 明天本地有的区域下雨,的区域不下雨 C. 明天本地下雨的机会是 D. 气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报 5. 设有下面四个命题 ：若复数z满足,则； ：若复数z满足,则； ：若复数,满足,则； ：若复数,则． 其中的真命题为     ‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 6. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 ‎     ‎ A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 7. 某兴趣小组有男生20人,女生10人,从中抽取一个容量为5的样本,恰好抽到2名男生和3名女生,则 ①该抽样可能是系统抽样； ②该抽样可能是随机抽样： ③该抽样一定不是分层抽样； ④‎ 本次抽样中每个人被抽到的概率都是． 其中说法正确的为(     )‎ A.①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④‎ 1. 已知向量,,且,则(     )‎ A. B. C. 6 D. 8‎ 2. 如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示若两个小组的平均成绩相同,则下列结论正确的是(     ) ‎ A. , B. , C. , D. ,2,‎ 3. 如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(     ) ‎ A. 24 B. 18 C. 12 D. 9‎ 4. 定义在R上的奇函数满足,且在上,则(     )‎ A. B. C. D. ‎ 5. 如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 的长方体框架,一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(     ) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 1. 设复数,则复数的共轭复数为______．‎ 2. 的展开式中,的系数为______．‎ 3. 已知向量,,,,若,则的最小值______．‎ 4. 给出下列命题： ①命题“若,则”的否命题为“若,则”； ②“”是“”的必要不充分条件； ③命题“,使得”的否定是：“,均有”； ④命题“若,则”的逆否命题为真命题． 其中所有正确命题的序号是______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 5. ‎（10分）已知函数,．‎ 求函数的单调区间；‎ 若把向右平移个单位得到函数,求在区间上的最小值和最大值． ‎ 6. ‎（12分）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5,按要求完成以下问题：Ⅰ求n的值；Ⅱ求展开式中含的项；Ⅲ计算式子的值． ‎ 7. ‎（12分）已知数列的前n项和,点在函数的图象上 求的通项公式； 设数列的前n项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数a的取值范围． ‎ 1. ‎（12分）如图,四棱锥中,底面ABCD,,,,M为线段AD上一点,,N为PC的中点． 证明：平面PAB； 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． ‎ 2. ‎（12分）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求各有多少种情况出现以下结果： 只鞋子没有成双的； 只恰好成两双； 只鞋子中有2只成双,另2只不成双． ‎ 3. ‎（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图如图所示,规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败． ‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 合计 Ⅰ求图中a的值；Ⅱ根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？Ⅲ将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4‎ 人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为X,求X的分布列与数学期望．参考公式：,其中 ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查不等式求解及集合的补集，属于基础题. ​根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得CBA． 【解答】 解：因为A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}， B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}， 则CBA=[3，+∞) , 故选A． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等差数列的性质和根与系数的关系,重点考查这一性质的运用,属于较易题. 根据方程求出a5+a7的值，根据等差数列的性质求得a6，再利用等差数列的前n项和公式和等差中项得前11项和. 【解析】 解:等差数列{an}中,若a5,a7是方程x2-2x-6=0的两根, 则a5+a7=2, ∴a6=（a5+a7）=1， ∴{an}的前11项的和为 ． 故选D． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了随机数表法的应用问题，是基础题． 从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且为小于或等于50的编号，注意重复的数值要舍去，由此求出答案． 【解答】‎ 解：根据题意，从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始， 由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次为 08，02，14，07，02（重复，舍去），43， 可知选出的第4个数值为07， 故选C．‎ ‎ 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据概率的意义，“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%， 故选C． 根据概率的意义，即可得出结论． 本题考查根据概率的意义，比较基础． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，属于基础题． 根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】 解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题； p2：复数z=i满足z2=-1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题； p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题； p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题． 故选B． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查利用数学知识解决实际问题，用样本估计总体，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论． 【解答】 解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石， 故选B． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假. 【解答】 解：①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30； 第二步确定分段间隔k==6；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l ‎（l≤10）； 第四步将编号为l+6k（0≤k≤4）依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确． ②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确； ③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同， 但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男三女，抽的比例不同，故③正确； ④该抽样男生被抽到的概率=；女生被抽到的概率=，故前者小于后者．因此④不正确． 故选A． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题． 求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案． 【解答】 ​解：∵向量=（1，m），=（3，-2）， ∴+=（4，m-2）， 又∵（+）⊥， ∴（+）=12-2（m-2）=0， 解得：m=8， 故选D． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础． 根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得X的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小． 【解答】 ​解：∵两个小组的平均成绩相同， ∴80+X+72+74+74+63=81+83+70+65+66， 解得：X=2， 由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散， ∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得S甲2＜S乙2， 故选：A． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2‎ 段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论． 【解答】 解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段， 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22=6种走法． 同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法． ∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法． 故选B. 11.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数值的求法，对数函数的性质、运算性质，及函数的周期性、奇函数性质的综合应用，利用条件求出函数的周期、以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键．由已知条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和函数的解析式，逐步转化由运算性质求出f（log354）的值． 【解答】‎ 解：由f（x+2）=-得，f（x+4）=-=f（x）， 所以函数f（x）的周期是4， 因为f（x）是定义在R上的奇函数，且3＜log354＜4， 且在（0，1）上f（x）=3x， 所以f（log354）=f（log354-4）=-f（4-log354） =-（）=-=-. 故选C． ‎ ‎ 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路， ∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次， ∴最近的行走路线共有：n=A=5040， ∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列， 接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53， 则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m==1440种， ∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p===． 故选：B． 根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，最近的行走路线共有：n=A=5040，先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，求出最近的行走路线中不连续向上攀登的次数m==1440‎ 种，由此能法语出其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率． 本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原问题转化为排列、组合问题，特别要注意题干中“不连续向上攀登”的限制． 13.【答案】1-i ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查复数的代数形式混合运算，是基础题． 直接利用复数的代数形式混合运算化简求解即可． 【解答】 解：复数z=1+i，则复数+z2== =1+i． 复数+z2的共轭复数为：1-i 故答案为1-i． 14.【答案】-480 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通项公式Tr+1=，令6-r=2，解得r=4．T5=．又（y2-2y）4，展开即可得出．x2y5的系数为×（-•23）=-480． 【解答】 解：通项公式Tr+1=， 令6-r=2，解得r=4． ∴T5=． 又（y2-2y）4=（y2）4-•2y+-+， ∴x2y5的系数为×（-•23）=-480． 故答案为-480． 15.【答案】​ ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由∥，可得：n+2m=4，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】 解：∵∥， ∴4-n-2m=0，即n+2m=4， ∵m＞0，n＞0， ∴+=（n+2m） = ≥=， ‎ ‎​当且仅当n=4m=时取等号， ∴+的最小值是． 故答案为． 16.【答案】④ ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础． ①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断． 【解答】 解：①根据否命题的定义可知命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①错误． ②由x2-5x-6=0得x=-1或x=6，所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件，所以②错误． ③根据特称命题的否定是全称命题得命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”，所以③错误． ④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题，所以④正确． 故答案为④. 17.【答案】​解：（1）=1+2sinxcosx-2sin2x =sin2x+cos2x=2sin（2x+）， 令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z， 得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z， 可得函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z； 令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z， 得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z， 可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z． （2）若把函数f（x）的图像向右平移个单位， 得到函数=的图像， ∵x∈[-，0]， ∴2x-∈[-，-]， ‎ ‎​∴∈[-2，1]． 故g（x）在区间上的最小值为-2，最大值为1． ‎ ‎【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质和最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题． （1）利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间； （2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，由x的范围求出的范围，即可利用正弦函数的性质求出g(x)的范围． 18.【答案】解：（Ⅰ）依题意，Cn1：Cn2=2：5，即5n=n（n-1），解得n=6； （Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6． ∴Tr+1=C6r（2x）6-r=C6r26-r 由6-r=3，得r=2，∴展开式中含x3的项C6226-2x3=240x3． （Ⅲ）令x=1得C+C+C+C23+C+C+C=36． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，Cn1：Cn2=2：5，即可求n的值； （Ⅱ）写出通项，令x的指数为3，即可求展开式中含x3的项； （Ⅲ）令x=1得C+C+C+C23+C+C+C． 本题主要考查二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想． 19.【答案】解：（1）∵点（n，sn）在函数y=x2+x的图象上， ∴①， 当时，②， ①-②得an=n， 当n=1时，，符合上式， ∴an=n； （2）由（1）知an=n，则=（-）． ∴Tn=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）] =（1+--） =-（+）． ∵Tn+1-Tn=＞0， ‎ ‎∴数列{Tn}单调递增， ∴（Tn）min=T1=． 要使不等式Tn＞loga（1-a）对任意正整数n恒成立，只要＞loga（1-a）， ∵1-a＞0， ∴0＜a＜1， ∴1-a＞a，即0＜a＜． ‎ ‎【解析】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列{Tn}的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于难题． （1）根据题意可得，可得，从而即可求{an}的通项公式； （2）由（1）知an=n，利用裂项法可求=（-），从而可求得Tn​=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]，由Tn+1-Tn=＞0，可判断数列{Tn}单调递增，从而可求得a的取值范围． 20.【答案】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG， ∵N为PC的中点， ∴NG∥BC，且NG=， 又AM=，BC=4，且AD∥BC， ∴AM∥BC，且AM=BC， 则NG∥AM，且NG=AM， ∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG， ∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB， ∴MN∥平面PAB； 法二、 在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME， 在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=， ∵AD∥BC， ∴cos，则sin∠EAM=， 在△EAM中， ∵AM=，AE=， 由余弦定理得：EM==， ‎ ‎∴cos∠AEM=， 而在△ABC中，cos∠BAC=， ∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC， ∴AB∥EM，则EM∥平面PAB． 由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC， ∴NE∥PA，则NE∥平面PAB． ∵NE∩EM=E， ∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB； （2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2-2AC•AM•cos∠MAC=． ∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC， ∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD， ∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD， ∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD． 在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角． 在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==， 在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=， ∴sin． ∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为． ‎ ‎【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题． （1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB； 法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证； （2）由勾股定理得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值． ‎ ‎21.【答案】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只， 结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360， （2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45， （3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只， 结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440． ‎ ‎【解析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得， （2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决 （3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得． 本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧． 22.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1， 可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1， 解得a=0.005； （Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25， 所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人）， 填表如下：‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设“晋级成功”与性别无关， 根据上表数据代入公式可得， 所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关； （Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75， 将频率视为概率， 则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 所以X可视为服从二项分布，即， ， 故， ， ， ， ‎ ‎. 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望为. 或（）． ‎ ‎【解析】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题． （Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值； （Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数， 填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率， 知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望 . ‎