2018届二轮复习 等差数列与等比数列 课件理（全国通用）

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专题四　数列与数学归纳法 第 1 讲　等差数列与等比数列 - 3 - 热点考题诠释 高考方向解读 1 . (2017 浙江 ,6) 已知等差数列 { a n } 的公差为 d , 前 n 项和为 S n , 则 “ d> 0” 是 “ S 4 +S 6 > 2 S 5 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 4 - 热点考题诠释 高考方向解读 2 . (2016 浙江 , 理 6) 如图 , 点列 { A n },{ B n } 分别在某锐角的两边上 , 且 |A n A n+ 1 |=|A n+ 1 A n+ 2 | , A n ≠ A n+ 2 , n ∈ N * , |B n B n+ 1 |=|B n+ 1 B n+ 2 | , B n ≠ B n+ 2 , n ∈ N * . ( P ≠ Q 表示点 P 与 Q 不重合 ) 若 d n =|A n B n | , S n 为 △ A n B n B n+ 1 的面积 , 则 ( 　　 ) 答案 : A 　 - 5 - 热点考题诠释 高考方向解读 解析 : 如图 , 延长 A n A 1 , B n B 1 交于 P , 过 A n 作对边 B n B n+ 1 的垂线 , 其长度记为 h 1 , 过 A n+ 1 作对边 B n+ 1 B n+ 2 的垂线 , 其长度记为 h 2 , - 6 - 热点考题诠释 高考方向解读 3 . (2017 全国 3, 理 14) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 +a 2 =- 1, a 1 -a 3 =- 3, 则 a 4 = 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 7 - 热点考题诠释 高考方向解读 4 . (2017 北京 , 理 10) 若等差数列 { a n } 和等比数列 { b n } 满足 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 8 - 热点考题诠释 高考方向解读 5 . (2017 江苏 ,19) 对于给定的正整数 k , 若数列 { a n } 满足 : a n-k +a n-k+ 1 + … +a n- 1 +a n+ 1 + … +a n+k- 1 +a n+k = 2 ka n 对任意正整数 n ( n>k ) 总成立 , 则称数列 { a n } 是 “ P ( k ) 数列 ” . (1) 证明 : 等差数列 { a n } 是 “ P (3) 数列 ” ; (2) 若数列 { a n } 既是 “ P (2) 数列 ” , 又是 “ P (3) 数列 ” , 证明 :{ a n } 是等差数列 .   - 9 - 热点考题诠释 高考方向解读 证明 : (1) 因为 { a n } 是等差数列 , 设其公差为 d , 则 a n =a 1 + ( n- 1) d , 从而 , 当 n ≥ 4 时 , a n-k +a n+k =a 1 + ( n-k- 1) d+a 1 + ( n+k- 1) d= 2 a 1 + 2( n- 1) d= 2 a n , k= 1,2,3, 所以 a n- 3 +a n- 2 +a n- 1 +a n+ 1 +a n+ 2 +a n+ 3 = 6 a n , 因此等差数列 { a n } 是 “ P (3) 数列 ” . (2) 数列 { a n } 既是 “ P (2) 数列 ” , 又是 “ P (3) 数列 ” , 因此 , 当 n ≥ 3 时 , a n- 2 +a n- 1 +a n+ 1 +a n+ 2 = 4 a n , ① 当 n ≥ 4 时 , a n- 3 +a n- 2 +a n- 1 +a n+ 1 +a n+ 2 +a n+ 3 = 6 a n . ② 由 ① 知 , a n- 3 +a n- 2 = 4 a n- 1 - ( a n +a n+ 1 ), ③ a n+ 2 +a n+ 3 = 4 a n+ 1 - ( a n- 1 +a n ) . ④ 将 ③④ 代入 ② , 得 a n- 1 +a n+ 1 = 2 a n , 其中 n ≥ 4, 所以 a 3 , a 4 , a 5 , … 是等差数列 , 设其公差为 d'. 在 ① 中 , 取 n= 4, 则 a 2 +a 3 +a 5 +a 6 = 4 a 4 , 所以 a 2 =a 3 -d' , 在 ① 中 , 取 n= 3, 则 a 1 +a 2 +a 4 +a 5 = 4 a 3 , 所以 a 1 =a 3 - 2 d' , 所以数列 { a n } 是等差数列 . - 10 - 热点考题诠释 高考方向解读 高考中对等差、等比数列的考查主、客观题型均有涉及 , 一般以等差、等比数列的定义或以通项公式、前 n 项和公式为基础考点 , 常结合数列递推公式进行命题 , 主要考查学生综合应用数学知识的能力以及计算能力等 , 中低档题占多数 . 考查的热点主要有三个方面 :(1) 对于等差、等比数列基本量的考查 , 常以客观题的形式出现 , 考查利用通项公式、前 n 项和公式建立方程组求解 , 属于低档题 ;(2) 对于等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现 , 具有 “ 新、巧、活 ” 的特点 , 考查利用性质解决有关计算问题 , 属中低档题 ;(3) 对于等差、等比数列的判断与证明 , 主要出现在解答题的第一问 , 是为求数列的通项公式而准备的 , 因此是解决数列转化问题的关键环节 . 考向预测 : 等差数列和等比数列浙江卷主要考查基本量运算和等差、等比数列的性质 , 题型为选择题或填空题 , 难度一般不是很大 . - 11 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 例 1 (1) 已知等比数列 { a n } 的公比 q> 0, 前 n 项和为 S n , 若 2 a 3 , a 5 ,3 a 4 成等差数列 , a 2 a 4 a 6 = 64, 则 a n = 　　　　　 , S n = 　　　　　 .   (2) 已知等差数列 { a n } 的公差为 d , 等比数列 { b n } 的公比为 q , 设 { a n },{ b n } 的前 n 项和分别为 S n , T n , 若 n 2 ( T n + 1) = 2 n S n , n ∈ N * , 则 d= 　　　　　 , q= 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 12 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 规律方法 此类问题应将重点放在通项公式与前 n 项和公式的直接应用上 , 注重五个基本量 a 1 , a n , S n , n , d ( q ) 之间的转化 , 会用方程 ( 组 ) 的思想解决 “ 知三求二 ” 问题 . 我们重在认真观察已知条件 , 在选择 a 1 , d ( q ) 两个基本量解决问题的同时 , 看能否利用等差、等比数列的基本性质转化已知条件 , 否则可能会导致列出的方程或方程组较为复杂 , 无形中增大运算量 . 同时在运算过程中注意消元法及整体代换的应用 , 这样可减少计算量 . (2) 利用等比数列前 n 项和公式求和时 , 不可忽视对公比 q 是否为 1 的讨论 . - 13 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 14 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 迁移训练 2 　 等差数列 { a n } 的首项为 1, 公差不为 0 . 若 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列 , 则 { a n } 前 6 项的和为 ( 　　 )   A. - 24 B. - 3 C.3 D.8   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 15 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 16 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 规律方法 (1) 解决此类问题的关键是研究数列的通项 , 通过整体代换转化为新的等差、等比数列 , 先实现数列换元再利用等差、等比数列的性质求解 . (2) 应牢固掌握等差、等比数列的性质 : 若数列 { a n } 是等差数列 , 且 m+n=p+q ( m , n , p , q ∈ N * ), 则 a m +a n =a p +a q ; 若数列 { a n } 是等比数列 , 且 m+n=p+q ( m , n , p , q ∈ N * ), 则 a m ·a n =a p ·a q ; 等差数列前 n 项和 S n 存在最值的条件 ; 等差、等比数列的子数列等相关数列的性质 . - 17 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 迁移训练 3 　 已知等比数列 { a n } 前 n 项和满足 S n = 1 -A ·3 n , 数列 { b n } 是递增数列 , 且 b n =An 2 +Bn , 则 A= 　　　 , B 的取值范围为 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 18 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 迁移训练 4 　 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S 2 015 > 0, S 2 016 < 0, 若对任意正整数 n , 都有 |a n | ≥ |a k | , 则 k 的值为 ( 　　 )   A.1 006 B.1 007 C.1 008 D.1 009 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 19 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 20 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 21 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 22 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 规律方法 证明数列 { a n } 为等差或等比数列有两种基本方法 : (1) 定义法 a n+ 1 -a n =d ( d 为常数 ) ⇔ { a n } 为等差数列 ; (2) 等差、等比中项法 2 a n =a n- 1 +a n+ 1 ( n ≥ 2, n ∈ N * ) ⇔ { a n } 为等差数列 ; =a n- 1 a n+ 1 ( a n ≠0, n ≥ 2, n ∈ N * ) ⇔ { a n } 为等比数列 . 我们要根据题目条件灵活选择使用 , 一般首选定义法 . 利用定义法一种思路是直奔主题 ; 另一种思路是根据已知条件变换出要解决的目标 . - 23 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 特别提醒 :(1) 判断一个数列是等差 ( 等比 ) 数列 , 还有通项公式法及前 n 项和公式法 , 但不作为证明方法 ; (2) 若要判断一个数列不是等差 ( 等比 ) 数列 , 只需判断存在连续三项不成等差 ( 等比 ) 数列即可 ; (3) =a n- 1 a n+ 1 ( n ≥ 2, n ∈ N * ) 是 { a n } 为等比数列的必要而不充分条件 , 因此判断一个数列是等比数列时 , 要注意各项不为 0 . - 24 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 迁移训练 5 　 设数列 { a n } 满足 : a 1 = 1, a 2 = 3, 且 2 na n = ( n- 1) a n- 1 + ( n+ 1) a n+ 1 , 则 a 20 的值是 ( 　　 )   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 25 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 26 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 27 - 易错辨析提分 数列 { a n } 的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系 : 根据题目求解特点 , 如需消掉 S n , 利用已知递推式 , 把 n 换成 n+ 1 得到递推式 , 两式相减即可 . 需要注意公式 a n =S n -S n- 1 成立的条件 n ≥ 2 . 需要验证 n= 1 对应的 a 1 是否满足所求的通项公式 , 若满足即可合并 , 若不满足需要分别写出 . - 28 - - 29 - 点评 解答本题过程中利用因式分解的技巧 , 求得 S n , 然后利用 a n =S n -S n- 1 求得数列 { a n } 的通项公式 , 此时要特别注意当 n= 1 时 , 需要代入原递推式求得 a 1 , 然后进一步验证是否满足 { a n } 的通项公式 . - 30 - 1 2 3 4 1 . 若等比数列 { a n } 中 , a n > 0, a 1 +a 2 = 6, a 3 = 8, 则 a 6 = ( 　　 ) A.64 B.128 C.256 D.512 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 31 - 1 2 3 4 2 . 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S k- 1 = 4, S k = 9, 则 a k = 　　　　　 , a 1 的最大值为 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 32 - 1 2 3 4 3 . 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若数列 { a n } 是单调递增数列 , 且满足 a 5 ≤ 6, S 3 ≥ 9, 则 a 6 的取值范围是 　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 33 - 1 2 3 4 4 . 已知数列 { a n } 的各项都不为零 , 其前 n 项为 S n , 且满足 :2 S n =a n ( a n + 1)( n ∈ N * ) . (1) 若 a n > 0, 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 是否存在满足题意的无穷数列 { a n }, 使得 a 2 016 =- 2 015? 若存在 , 求出这样的无穷数列的一个通项公式 ; 若不存在 , 请说明理由 . 答案 答案 关闭